sen - Matematica in Rete
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Progetto Matematica in Rete
Appunti di matematica 4
Indice
1. Goniometria e trigonometria:
Funzioni goniometriche
Triangolo rettangolo
Formule goniometriche
Equazioni goniometriche e problemi
Disequazioni goniometriche
Triangolo qualsiasi
Complementi di trigonometria
2. Trasformazioni geometriche
3. Numeri complessi
4. Geometria dello spazio
5. Calcolo combinatorio
6. Calcolo delle probabilità
7. Laboratorio di informatica
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Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Funzioni goniometriche
Definizione di angolo
Consideriamo due semirette a , b aventi l’origine O in comune.
Le due semirette individuano due porzioni di piano che sono dette angoli di lati a e b e vertice
O. Si presentano tre casi:
1) a e b non appartengono alla stessa retta
In questo caso abbiamo un angolo convesso (presi comunque due punti appartenenti all’angolo
il segmento che li unisce appartiene all’angolo) e un angolo concavo (esistono coppie di punti
appartenenti all’angolo tali che il segmento che li unisce non appartiene all’angolo).
2) a e b appartengono alla stessa retta (ma non coincidono)
In questo caso vengono individuati due angoli uguali (convessi) chiamati angoli piatti.
3) a e b coincidono : in questo caso abbiamo l’angolo nullo (ci sono solo i lati) e l’angolo giro
(tutto il piano).
1
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Misura degli angoli
Gli angoli possono essere misurati in gradi o in radianti.
1
grado =
(angolo giro)
360
radiante = angolo che, tracciata una circonferenza di raggio qualsiasi avente centro nel vertice
dell’angolo, sottende un arco uguale al raggio.
misura 1 radiante
Da notare che questa definizione non dipende dalla
circonferenza considerata perché se sottende un
arco uguale al raggio per una data circonferenza,
allora accadrà lo stesso per ogni circonferenza
centrata nel suo vertice.
Misure in gradi
Angolo giro
Angolo piato
Angolo retto
ecc…
360°
180°
90°
Non si usano sottomultipli decimali ma sessagesimali cioè si considera
il primo
1
1' =
1° = 60'
60
il secondo
1
1' ' =
60
'
1' = 60' '
Esempio:
1
90
1
di angolo retto = = 22,5° = 22°+ = 22° +
4
4
2
'
1
60 = 22° 30'
2
Esempio:
'
1
angolo retto 5,625
16
''
625
5
'
60 = 5° 37,5 = 5° 37' 60 = 5° 37' 30' '
= 5° +
1000
10
2
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
ESERCIZI
1)
Trasformare in frazioni di grado i seguenti angoli:
a)
30
15° 30' = 15
60
b)
7
1 10800 420 1 11221
3° 7' 1' ' = 3
=
=
60 3600
3600
3600
1
31
= 15
2
2
2)
Trasformare in gradi, primi e secondi la seguente frazione di grado:
'
1
1201 1200
1
'
60
=
=
4°
+
= 4° 0,2 = 4° 0,2 60' ' = 4° 12' '
300
300 300 300
Misure in radianti
Per misurare α in radianti traccio una circonferenza di raggio r, con centro il vertice di α e se l è
la lunghezza dell’arco sotteso da α
r
Quindi:
2r
2 rad
r
angolo piatto rad
angolo retto
rad
2
angolo giro
3
l
rad (se l r ritrovo r = 1 rad )
r
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche Relazione tra la misura in gradi e la misura in radianti di un angolo
Indichiamo con o
Avremo che
la misura in gradi di un angolo e con r la sua misura in radianti.
° : r = 360° : 2
Questo ci permetterà di determinare o se conosciamo r e viceversa.
360
180
= r
2
2
= °
r = °
360
180
° = r
Esercizi
1) Esprimere in radianti le seguenti misure espresse in gradi
a) ° = 12°
12 : a r 360 : 2
r = 12
=
180 15
b) ° = 10° 30'
Trasformo prima in frazione di grado:
30 21
10° 30' = 10 =
60 2
r =
21
7
=
2 180 120
2) Esprimere in gradi le seguenti misure di angoli espresse in radianti
a) r = 1 rad
o : 1 360 : 2 ° = 1
180
( 57,3°)
rad
3
180
= 60°
o : 360 : 2 ° =
3
3
b) r =
4
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Angoli orientati
Un angolo, oltre che come parte di piano, può essere associato al concetto di rotazione cioè al
movimento che porta uno dei lati dell’angolo a sovrapporsi all’altro.
La rotazione però può essere in verso orario o antiorario.
Possiamo stabilire quale considerare come 1° lato (lato origine della rotazione) e allora avremo un
angolo “orientato”: per convenzione stabilisco di chiamare positivo un angolo orientato se la
rotazione che porta il primo lato sul secondo lato spazzando l’angolo è antioraria , negativo se è
invece una rotazione oraria.
Con la scrittura ab intendiamo che a sia il 1° lato,
Nel nostro esempio ab è un angolo positivo.
Con la scrittura ba intendiamo che il 1° lato sia b .
Nel nostro esempio ba è un angolo negativo.
.
Considerando il concetto di rotazione possiamo avere anche angoli di ampiezza maggiore
dell’angolo giro perché possiamo pensare di ruotare di un certo numero k di giri completi: e
2 sono angoli rappresentati dalla stessa parte di piano ma associati a rotazioni diverse
perché nel secondo angolo ho fatto un giro in più.
In generale scrivendo 2k considererò l’angolo associato alla rotazione di ampiezza più k
giri completi (se k 0 ruoto in senso antiorario, se k 0 in senso orario).
5
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
La circonferenza goniometrica
Possiamo rappresentare gli angoli orientati su una circonferenza che viene detta “circonferenza
goniometrica”.
Fissato un sistema di riferimento (O;x,y) la circonferenza goniometrica è una circonferenza di
centro l’origine e raggio 1.
Possiamo associare ad un angolo orientato un punto sulla circonferenza goniometrica
riportando il 1° lato dell’angolo sul semiasse positivo delle ascisse: il 2° lato dell’angolo
intersecherà la circonferenza in un punto P che risulterà quindi il punto associato all’angolo .
Osserviamo che lo stesso punto P sulla circonferenza è associato a più angoli, non solo perché
posso sommare 2k ma anche perché posso ruotare in senso orario o antiorario. Per esempio il
7
7
punto P in figura può rappresentare ma anche (oltre che 2k e 2k ).
4
4
4
4
Esercizio: rappresenta gli angoli di 30°, 45°, 60° ecc. sulla circonferenza goniometrica.
6
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Definizione di seno, coseno e tangente di un angolo acuto
Consideriamo un angolo acuto.
Prendiamo un punto P appartenente ad un lato (vedi figura) e proiettiamo sull’altro lato e sia A la
proiezione. Il triangolo OPA è un triangolo rettangolo.
I) Consideriamo il rapporto
AP
OP
Questo rapporto risulta minore di 1 ed è indipendente dalla scelta del punto P: infatti considerando
un altro punto P’e la sua proiezione A’ il triangolo OP' A' risulta simile al triangolo OPA e quindi
A' P' AP
OP' OP
Questo rapporto viene chiamato seno dell’angolo ed indicato con la scrittura sen .
Quindi per definizione abbiamo:
def
sen
AP
OP
Considerando il triangolo rettangolo OPA possiamo dire che :
sen
cateto.opposto.ad .
ipotenusa
7
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche Calcoliamo il seno di qualche angolo.
a)
(45°)
4
Per semplicità possiamo prendere OP 1 .
Poiché il triangolo OPA in questo caso è metà di un quadrato avremo AP
Quindi
b)
sen
1
2
( OP AP 2 ).
1
4
2
(30°)
6
Prendiamo sempre OP 1 . Poiché OPA risulta la metà di un triangolo equilatero avremo
1
( OP 2 AP ).
AP
2
1
Quindi
sen
6 2
c)
(60°)
3
Se OP 1 , poiché OPA è la metà di un triangolo equilatero in cui AP è l’altezza, avremo
3
3
( AP OP
)
AP
2
2
Quindi
sen
3
3
2
8
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Nota
In questi esempi abbiamo considerato angoli “particolari” nel senso che nel triangolo OPA siamo
riusciti a determinare AP in funzione di OP sfruttando proprietà geometriche.
In generale per calcolare il seno di un angolo occorre fare una costruzione precisa del triangolo
OPA e misurare AP e OP .
Noi non dovremo comunque fare queste misurazioni perché il valore del seno di un qualsiasi
angolo può essere ricavato da delle “tavole” o, ancora più semplicemente, utilizzando la
calcolatrice.
Basterà indicare la misura dell’angolo (attenzione all’unità di misura utilizzata : DEG sta per gradi
e RAD per radianti)e poi premere il tasto SIN (o viceversa a seconda del tipo di calcolatrice).
Per esempio:
sen31 0,5150...
Naturalmente anche con la calcolatrice ritroveremo per esempio che
sen30 0,5
ecc.
9
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche II) Consideriamo il rapporto
OA
OP
Anche questo rapporto risulta minore di 1 ed è indipendente dalla scelta del punto P (vedi
motivazione data in I)).
Questo rapporto viene chiamato coseno dell’angolo e indicato con la scrittura cos .
Quindi abbiamo
def
cos
OA
OP
e considerando il triangolo rettangolo OPA possiamo dire
cos
Proviamo a calcolare il coseno di
a)
cateto.adiacente.ad .
ipotenusa
, , .
4 6 3
4
Se prendiamo OP 1 con le stesse considerazioni fatte per il seno avremo che OA
cos
b)
2
e quindi
1
4
2
6
Se OP 1 considerando OPA come metà di un triangolo equilatero avremo OA
cos
c)
1
3
Se OP 1 avremo OA
3
6
2
1
e quindi
2
cos
1
3 2
10
3
e quindi
2
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Osservazione
e cos sen .
cos
3
6
3
6
Questo dipende chiaramente dal fatto che
e
sono angoli complementari e che quindi il ruolo
3
6
di cateto adiacente e opposto si scambiano portando ad uno scambio dei valori del seno e del
coseno.
Osserviamo che sen
sen
AP
6 OP
; cos
AP
3 OP
sen
cos
6
3
Questo vale naturalmente per tutte le coppie di angoli complementari:
sen
AP
OP
sen cos
2
AP
cos
2
OP
E’ chiaro che vale anche cos sen .
2
Proprio da questa ultima relazione deriva la denominazione di coseno che significa
complementi sinus
cioè seno dell’angolo complementare.
Nota
Per calcolare il coseno di angoli per i quali non si possono utilizzare proprietà geometriche per
determinare OA in funzione di OP valgono le stesse considerazioni fatte per il seno e quindi
utilizzeremo la calcolatrice.
Per esempio: cos 31 0,8571...
11
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
III) Consideriamo infine il rapporto
PA
OA
Questo rapporto, a differenza dei precedenti, può risultare anche un numero molto grande o molto
piccolo in relazione all’angolo considerato ed è indipendente dalla scelta del punto P per le
stesse motivazioni date in I) e II).
Questo rapporto viene chiamato tangente dell’angolo e indicato con la scrittura tg , cioè si ha
def
tg
PA
OA
e considerando il triangolo rettangolo OPA possiamo scrivere
tg
Calcoliamo la tangente di
a)
4
Se OP 1 PA OA
b)
2
,
, .
4 6 3
tg
1
4
6
Se OP 1 PA
c)
1
catet.opposto.ad .
cateto.adiacente.ad .
1
3
1
, OA
tg
2
2
6
3
3
Se OP 1 PA
3
1
, OA tg 3
2
2
3
In generale, per calcolare la tangente di un angolo , per le stesse considerazioni svolte in I) e II)
useremo la calcolatrice.
E’ importante osservare che
tg
sen
cos
12
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Estensione della definizione di seno,coseno e tangente
Osserviamo che se nel triangolo OAP l’ipotenusa OP 1 abbiamo
sen AP
cos OA
Questo suggerisce un metodo per estendere la definizione di seno e coseno anche per angoli
90 .
Riportiamo l’angolo sulla circonferenza goniometrica e poiché OP 1 avremo:
sen PH y P
cos OH x P
Diamo allora la seguente definizione di seno e coseno di :
def
sen y P
def
cos x P
dove P è il punto associato all’angolo orientato sulla circonferenza goniometrica.
Osserviamo che con questa definizione i valori del seno e del coseno di un angolo possono essere
anche negativi, ma che comunque sono numeri compresi tra -1 e 1.
Vediamo meglio come variano i valori di sen e cos .
13
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Variazione del seno di un angolo
0 sen 0
0
i valori aumentano da 0 a 1
2
sen 1
2
i valori diminuiscono da 1 a 0
2
sen 0
3
i valori diminuiscono da 0 a -1
2
3
sen 1
2
3
2 i valori aumentano da -1 a 0
2
2 sen 0
sen yP
Osserviamo che il grafico si ripete ogni 2 cioè la funzione y senx è periodica di periodo 2 .
14
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Variazione del coseno di un angolo
0 cos 1
0
i valori diminuiscono da 1 a 0
2
cos 0
2
i valori diminuiscono da 0 a -1
2
cos 1
3
i valori aumentano da -1 a 0
2
3
cos 0
2
3
2 i valori aumentano da 0 a 1
2
2 cos 1
cos xP
Osserviamo che anche la funzione y cos x è periodica di periodo 2 .
Osservazione
Il grafico di y cos x corrisponde a quello di y senx “traslato” verso sinistra di
dipende dal fatto che , come vedremo, cos sen .
2
15
: questo
2
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Tangente di un angolo orientato
Vediamo come possiamo estendere la definizione di tangente data per un angolo acuto
utilizzando la circonferenza goniometrica
.
Tracciamo la tangente t alla circonferenza goniometrica nel punto A(1;0) e consideriamo il punto
T di intersezione tra t e il prolungamento del 2° lato dell’angolo .
Osservando i triangoli simili OPH e OAT potremo scrivere
tg
PH TA
TA yT
OH OA
def
Definiamo allora
tg yT
dove T è il punto di intersezione del prolungamento del 2° lato dell’angolo α con la tangente alla
circonferenza goniometrica nel punto A(1;0).
Naturalmente possiamo anche scrivere che
tg
sen
cos
3
2k e 2k la tangente non è definita (il 2° lato dell’angolo
2
2
non incontra la tangente t ).
Osserviamo che per
16
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche Inoltre osserviamo che e avranno la stessa tangente in quanto sono associati allo stesso
punto T.
tg tg
Questo significa che, considerando la variazione della tangente, i valori si ripeteranno dopo un
periodo di (e non di 2 come per seno e coseno).
Vediamo come risulta il grafico di y tgx .
0 tg 0
0 i valori della tangente aumentano e sono positivi
2
la tangente non è definita
2
i valori della tangente sono negativi e aumentano
2
tg 0
è un asintoto verticale del grafico
2
di y = tgx
( x k sono gli asintoti verticali del
2
grafico)
x
Quindi la funzione y = tgx è definita per
x k ed ha periodo .
2
17
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche Osservazione
Osserviamo che la tangente di un angolo α è uguale al coefficiente angolare di una retta per
l’origine che forma un angolo con il semiasse positivo delle x.
r : y mx
y
tga m
x
Esempio: se considero y 2 x ho che tga 2
(se è acuto m 0 )
Esempio: se considero y 2 x ho che tg 2
( se è ottuso m 0 )
Se la retta non passa per l’origine il suo coefficiente angolare continua ad avere lo stesso
significato.
y 2 x 1 tg 2
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Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Cosecante, secante e cotangente di un angolo
Vengono definite, oltre al seno, coseno e tangente di un angolo , anche altre tre funzioni
goniometriche:
1
k
sen
1
secante sec
k
cos
2
cos
k
cotangente cotg
sen
cosecante cosec
Nota: possiamo ottenere la cotangente di intersecando il secondo lato dell’angolo con la
tangente della circonferenza goniometrica in (0;1)
Poiché i triangoli OPH e OBQ sono simili abbiamo:
cotg
cos OH BQ
BQ xQ (ascissa di Q)
sen PH OB
Il grafico di y = cotgx risulta
Infatti se 0 ma è positivo avremmo valori
grandi valori di cotg ( cos 1 e sen 0 )
mentre se ed è minore di avremo valori
molto piccoli perché il coseno sarà negativo e il seno
positivo 0 .
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Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Un po’ di storia delle funzioni goniometriche
Lo studio della trigonometria nasce con gli astronomi della scuola di Alessandria di Egitto ed
infatti la prima ad essere sviluppata fu la trigonometria sferica cioè lo studio dei triangoli sferici
(tracciati sulla superficie di una sfera e i cui lati sono archi di cerchio).
Il fondatore della trigonometria è considerato Ipparco da Rodi (II sec a.C.) che visse ad
Alessandria ma la maggior parte delle notizie sui metodi trigonometrici alessandrini ci vengono
dal massimo astronomo dell’antichità, Tolomeo (II sec d.C.) che scrisse “Composizione
matematica” mutata poi in “Grande Composizione” e chiamata infine Almagesto (nome arabo che
deriva dal greco , il massimo) in cui pose le basi della teoria astronomica.
La differenza fondamentale tra la trigonometria antica e quella moderna è che al posto della
definizione
sen y P
la trigonometria alessandrina usava questa definizione
c PQ (corda sottesa dall’angolo α)
(praticamente PQ 2 sen
)
2
Seguendo la tradizione babilonese, gli alessandrini dividevano la semicirconferenza in 180 parti
uguali, i gradi, e il suo diametro in 120 e così per esempio la corda di un angolo di 60° è 60.
20
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
AB 120
c60 AP 60
AP AO OP
E’ chiaro che così facendo l’unità di misura degli archi è diversa dall’unità di misura delle corde
perché se AB 120 dovremmo avere AB 60 e quindi avremo la stessa unità di misura solo
se consideriamo 3 .
Nel 1° libro dell’Almagesto di Tolomeo troviamo una “tavola delle corde” che procede di mezzo
grado in mezzo grado da 1° a 180°. Per ottenerla Tolomeo ricavò il cosiddetto “teorema di
Tolomeo”* da cui dedusse la relazione per trovare la corda dell’angolo differenza e la
corda dell’angolo
: in questo modo dalla corda di 60° e 72° trova per differenza la corda di 12°
2
e poi, per successivi dimezzamenti c(6°), c(3°), c(1° 30' ) e poi ottiene un’approssimazione della
corda di 1°.
*Teorema di Tolomeo: in un quadrilatero iscritto in un cerchio il prodotto delle diagonali è uguale
alla somma dei prodotti dei lati opposti.
AC BD AB CD AD BC
Se applichiamo questo teorema quando AD è un diametro abbiamo che (ponendo AB e
AC )
c( ) c180 c c(180 ) 120 c( )
da cui si ricava c
21
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Il seno come lo definiamo attualmente fu introdotto in India e furono calcolati i seni degli angoli
(tavola dei seni) intorno al V sec. d.C.
Inoltre gli astronomi indiani introdussero anche il coseno definito come seno dell’angolo
complementare e la tangente definita come l’ombra che un’asta, infissa perpendicolarmente su un
muro verticale (gnomone) e di lunghezza 1, proietta sul muro per una data altezza del sole
sull’orizzonte (angolo ) (si tradusse in latino con “umbra versa”*). Il termine tangente fu
introdotto solo nel 1600.
AC 1
AB tg
* La cotangente (tangente dell’angolo complementare) era definita come l’ombra proiettata da un
orologio orizzontale (“umbra recta”)
AB cotg
22
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Relazioni fondamentali tra senα, cosα e tgα
1.Osservando la circonferenza goniometrica ed applicando il teorema di Pitagora si ha subito che
2
2
PH OH OP
sen 2 cos 2
2
1
Per convenzione sen si scrive sen 2 e quindi scriveremo
2
sen 2 cos 2 1
(1° relazione fondamentale)
2.Avevamo già osservato più volte che
tg
sen
cos
(2° relazione fondamentale)
Utilizzando queste relazioni è possibile, conoscendo una funzione goniometrica dell’angolo ,
ricavare le altre due supponendo però di sapere in quale “quadrante” si trova l’angolo.
23
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche Esempi
a. Se sen
1
e
determinare cos e tg .
3
2
1
:
3
questa individua sulla circonferenza goniometrica due punti e noi dovremo considerare quello del
2° quadrante poiché sappiamo che .
2
Osserviamo che per individuare graficamente l’angolo possiamo tracciare la retta y
Quindi dalla 1° relazione avremo:
cos 2 1 sen 2
e nel nostro caso ,essendo il coseno negativo, abbiamo
1
2
cos 1 sen 2 1
2
9
3
Poi dalla 2° relazione abbiamo
1
sen
1
tg
3
cos 2 2
2 2
3
24
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche b. Se cos
3
3
e 2 determina sen e
5
2
tg .
Possiamo intersecare la circonferenza goniometrica con la
3
retta x per individuare graficamente .
5
Osserviamo che il seno di risulta negativo.
4
4
tg 5
3
3
5
sen 1 cos 2 1
c. Se tg 2 e
2
9
4
25
5
determina sen e cos .
Possiamo ricavare graficamente considerando la tangente t
e su di essa il punto T di ordinata -2: tracciando la retta OT
otteniamo i punti associati sulla circonferenza goniometrica
In questo caso dobbiamo risolvere un sistema dove utilizziamo insieme le relazioni fondamentali:
sen
2
cos
sen 2 cos 2 1
2
sen 5
cos 1
5
sen 2 cos
1
2
2
2
4 cos cos 1 5 cos 1 cos 5
25
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
NOTA: possiamo ricavare una relazione tra sen e tg , cos e tg in modo da non essere
costretti a risolvere il sistema precedente. Infatti possiamo scrivere:
sen 2
sen 2
sen 2
tg 2
1
sen 2 cos 2 tg 2 1
sen 2
cioè
(abbiamo diviso num. e denom. per cos 2 )
tg 2
tg 2 1
e analogamente
cos 2
cioè
cos 2
cos 2
1
2
2
2
1
sen cos tg 1
cos 2
(abbiamo diviso num. e denom. per cos 2 )
1
tg 1
2
Per esempio nell’esercizio c. avremo potuto procedere così:
sen 2
cos 2
2 2 4 sen
2 2 1 5
1
2
2
1
2
5
1
1
cos
5
5
2
26
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Esercizi
Determina le rimanenti funzioni goniometriche dell’angolo
circonferenza:
1) sen
1
4
2
2) cos
1
4
3
2
2
3) tg
1
4
3
2
4) sen
3
5
3
2
5) cos
4
5
2
2
6) tg 3
2
7) sen
1
5
0
8) cos
2
5
3
2
2
9) tg
1
2
3
2
2
10) sen
2
3
3
2
2
27
e rappresenta
sulla
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Angoli associati
Dalla conoscenza delle funzioni goniometriche di un angolo si possono ricavare informazioni
sulle funzioni goniometriche di altri angoli, detti “angoli associati” ad .
Osserviamo la seguente figura:
Consideriamo i punti Q, R, S simmetrici di P (rispetto all’asse y, all’origine e all’asse x).
Se P è il punto della circonferenza goniometrica che rappresenta si dimostra facilmente che:
Q
R
S 2 (oppure )
Questi angoli si dicono “angoli associati” ad .
Quindi, ricordando la definizione di seno (y) e coseno(x), avremo:
sen sen
cos cos
sen sen
cos cos
sen2 sen
cos2 cos
sen sen
cos cos
Di conseguenza
tg tg
tg tg
tg 2 tg
tg tg
28
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Consideriamo per esempio gli angoli associati a
:
4
3
1
3
1
, cos
sen
4
4
2
2
Vediamo gli angoli associati a
e :
6
3
Abbiamo quindi
7
5
Esercizio: calcola: sen , tg ecc…
6
3
Ci sono anche altri 2 angoli associati ad :
ecc…
(angolo complementare di ) e
2
.
2
P
Q
2
I triangoli OPH e OQK sono uguali poiché sono
triangoli rettangoli , OQ OP 1 e HOP OQK
quindi
sen 2 cos
(come avevamo già osservato)
cos sen
2
29
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Vediamo
:
2
P
Q
2
I triangoli OPH e OQK sono uguali
( OP OQ 1 triangoli rettangoli e
POH OQK ) e quindi, considerando
i segni:
sen 2 y Q x P cos
cos x y sen
Q
P
2
Di conseguenza:
sen
2
cos cot g
tg
2
cos sen
2
sen
2
cos cot g
tg
sen
2
cos
2
30
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Esercizi
1)
Calcolare le seguenti espressioni:
7
2
3
5
4
5
a. cos tg sen tg sen tg
6
3
4
6
3
3
2)
1
1
2 3
3
2
11
5
b. tg sen cos tg
4
3
6
4
0
7
5
5
11
c. tg cos sen tg
6
3
6
6
0
Sviluppa le seguenti espressioni:
a. tg sen cos cos tg 2 cos
2
2
1
tg tg
b. sen cos sen cos
2
2
c. cos sen tg sen cos
2
2
2
d. tg sen sen2
2
e. tg cos2 sen
2
31
1
1
tg
0
tg
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Esercizi di ricapitolazione
1) Ricava le rimanenti funzioni goniometriche di ,determina graficamente nella
circonferenza goniometrica e calcolane il valore approssimato usando la calcolatrice:
a) sen
<
2
1
5
b) cos
c) tg
1
4
3
2
3
2
3
2
2
2) Sviluppa le seguenti espressioni:
7
2
3
5
4
7
4
a) cos tg sen tg sen cos tg
6
3
4
6
3
4
3
b) cos( ) tg (
) sen( ) cos( ) cos( ) tg (2 )
2
2
3) Verifica la seguente identità:
sen(
) cos( ) sen( ) cos( )
tg ( )
2
2
2( sen 2 cos 2 )
tg ( ) cot g ( )
2
Soluzioni
1) a) cos
2
1
6 ; tg
5
2 6
15
; tg 15
4
3
2
c) sen
; cos
13
13
b) sen
2) a)
1
3
b) tg cot g
32
Progetto Matematica in Rete
- Triangolo rettangolo -
Triangolo rettangolo
Dato il triangolo rettangolo OPA sappiamo che:
PA cateto opposto ad
sen
ipotenusa
OP
cos
tg
OA cateto adiacente ad
ipotenusa
OP
PA
cateto opposto ad
OA cateto adiacente ad
Possiamo perciò utilizzare sen , cos , tg per determinare gli elementi del triangolo (lati ed
angoli).
a) Conoscendo l’ipotenusa OP e l’angolo (cioè sen , cos , tg )
cateto opposto ad α = PA ipotenusa sen
cateto adiacente ad α = OA ipotenusa cos
b) Conoscendo il cateto AP e l’angolo opposto
cateto..opposto..ad ..
sen
cateto..adiacente..ad .. ipotenusa cos
ipotenusa
c) Conoscendo il cateto OA e l’angolo adiacente
cateto..adiacentead
cos
cateto..opposto.ad . ipotenusa sen
ipotenusa
d) Conoscendo il cateto PA e l’ipotenusa OP posso trovare
sen
PA
OP
e quindi anche cos e tg
Dalla conoscenza di sen posso risalire all’angolo
(tasto di “inversione” della calcolatrice)
33
Progetto Matematica in Rete
- Triangolo rettangolo -
Per determinare OA posso utilizzare il teorema di Pitagora oppure cos poiché OA OP cos
e) Conoscendo il cateto OA e l’ipotenusa OP abbiamo
cos
AP
OA
OP
AP OP sen
con il teorema di Pitagora oppure
f) Conoscendo i due cateti PA e OA possiamo determinare
tg
PA
OA
(anche sen e cos )
OP con il teorema di Pitagora oppure OP
PA
sen
Nota:
Naturalmente in tutti questi esempi dalla conoscenza di si può ricavare anche OPA
2
In conclusione, dalla conoscenza di 2 elementi di un triangolo rettangolo, che però non siano due
angoli, posso determinare tutti gli altri (si dice “risolvere” il triangolo).
Conoscere equivale a conoscere sen o cos o tg .
Osserviamo che si ha
cateto..opposto..ad .. cateto..adiacente..a..
cos
ipotenusa
ipotenusa
cateto..adiacente..ad .. cateto..opposto..a..
cos
sen
ipotenusa
ipotenusa
1
tg
tg
sen
34
Progetto Matematica in Rete
- Triangolo rettangolo -
Esempi
a) Nel triangolo rettangolo OPA sia l’ipotenusa OP 2 e sen
1
POA . Determinare
3
gli altri elementi del triangolo.
OP 2
sen
1
3
1 2
AP OP sen 2
3 3
Per determinare OA posso anche utilizzare il teorema di Pitagora oppure ricavo
cos 1
Se OPA
1 2
2
4
2 OA OP cos 2
2
2
9 3
3
3
abbiamo
2
sen cos
cos sen
Per avere un’idea della misura degli angoli e possiamo utilizzare la calcolatrice
premendo, per esempio, il tasto SIN 1 che permette di risalire all’angolo che ha come valore
del seno il numero indicato.
1
SIN 1 (o viceversa, a seconda delle calcolatrici) otteniamo (19,47…)° come
3
valore di .
Prendendo
Infine 90 70,53
35
Progetto Matematica in Rete
- Triangolo rettangolo b)
AP 3
cos
4
5
16 3
4
abbiamo sen 1
25 5
5
AP
5
Quindi OP
3 5
3
3
5
4
e OA OP cos 5 4 (oppure con il teorema di Pitagora)
5
Se cos
Per ricavare utilizzando per esempio il tasto cos 1 della calcolatrice abbiamo
4
cos 1 36,86
5
e quindi OPA 90 53,14
c)
OA 2
tg
Se tg
2
4
2
posso ricavare sen e cos dal sistema
4
sen
2
4
cos
sen 2 cos 2 1
oppure ricordare che
sen 2
tg 2
tg 2 1
Si ottiene, in ogni caso, che sen
e
cos 2
1
tg 2
2 2
1
e cos
da cui
3
3
OA
2
3
cos 2 2
2
3
3 1
1
2
e AP OP sen
2
2 3
2
2
Utilizzando la calcolatrice tg 1
19,47 e 90
4
OP
36
Progetto Matematica in Rete
- Triangolo rettangolo Nota: il problema poteva essere risolto anche così
AP
2
2
tg AP OA tg 2
4
2
OA
e OP si può trovare con il teorema di Pitagora.
d)
OP 8
AP 5
Posso determinare sen
utilizzare
il
teorema
OA OP cos 8
5
e con la calcolatrice 38,68 e per determinare OA posso
8
25
39
di Pitagora oppure calcolare cos 1
e
64
8
39
39
8
e)
OP 10
OA 4
4 2
(con la calcolatrice 66,42 ).
10 5
Se non voglio utilizzare il teorema di Pitagora per determinare AP , basterà calcolare
9
21
21
sen 1
e avrò
AP OP sen 10
2 21
25
5
5
Determino cos
f)
AP 2
OA 2 15
AP
2
1
(con la calcolatrice 14,47 ).
OA 2 15
15
Se non voglio utilizzare il teorema di Pitagora per determinare OP basta ricavare sen (o cos )
da tg .Risoluzione
Per esempio
1
2
.
tg
1 15 1
1
sen 2 2
15
sen
15 16 16
4
tg 1 1
1
15
AP
2
OP
8
sen 1
4
37
Posso determinare tg
Progetto Matematica in Rete
- Triangolo rettangolo -
Problemi sul triangolo rettangolo
1. In un triangolo isoscele ABC la base AB 2a e sen
3
( ABC ). Determina perimetro
5
e area del triangolo.
[2p =
9
3
a ; A = a2 ]
2
4
2. In un triangolo isoscele ABC di base AB , il lato obliquo CB l e tg 2 ( ABC ).
Determina perimetro e area del triangolo ABC. Determina infine la misura dell’altezza AK
relativa al lato obliquo.
2
2
4
[2p
5l 2l ; A l 2 ; AK l ]
5
5
5
1
dove
4
è uno degli angoli adiacenti alla base maggiore. Determina perimetro e area del trapezio.
3. In un trapezio isoscele ABCD il lato obliquo e la base minore misurano a e cos
[2p
5 15 2
9
a ]
a ; A
16
2
4. In un trapezio rettangolo ABCD la diagonale minore AC misura a , forma un angolo retto con
3
il lato obliquo BC e sen
dove è l’angolo acuto adiacente alla base maggiore.
5
Determina perimetro e area del trapezio.
22
68 2
[2p
a ; A
a ]
5
75
5. In un triangolo isoscele ABC di base AB il lato obliquo misura 2a e cos
1
5
dove è
l’angolo alla base. Determina la misura delle altezze CH e AK del triangolo.
4 5
8
[ CH
a ; AK a ]
5
5
6. In un trapezio rettangolo ABCD il lato obliquo BC misura 20 e la base minore DC misura 10.
3
Sapendo che cos , dove è l’angolo ottuso adiacente alla base minore, determina
5
perimetro e area del trapezio.
[ 2 p 68 ; A 256 ]
38
Progetto Matematica in Rete
- Triangolo rettangolo 7. In una semicirconferenza di diametro AB 2r si prolunga il diametro dalla parte di B e si
considera un punto P tale che, tracciata da P la tangente t alla semicirconferenza e detto T il
3
punto di tangenza, si abbia sen( APT ) . Tracciata la tangente t’ alla semicirconferenza in A
5
e detto Q il punto di intersezione tra t e t’, determina perimetro e area del triangolo APQ .
8
[ 2 p 8r ; A r 2 ]
3
8. Dato un trapezio rettangolo ABCD avente l’altezza AD a , sen( BAC )
maggiore, AC diagonale minore), cos( ABC )
3
(AB base
5
3
, determina perimetro e area di ABCD.
2
[2p=
83 3 2
17
a ]
a 3a ; A
6
3
9. In un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC 2a si consideri il punto medio O di BC e si
tracci la perpendicolare a BC per O, indicando con M l’intersezione di questa con il cateto
3
AB. Sapendo che tg ( ABC ) , determinare il perimetro del quadrilatero ACOM.
4
33
[2p a ]
10
10. In un trapezio rettangolo ABCD, la diagonale minore AC è perpendicolare al lato obliquo
3
BC. Sapendo che AD a e che tg ( ABC ) , determina perimetro e area del trapezio.
4
[2p
11
17
a ; A a2 ]
2
12
11. L’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura a e l’angolo che essa forma
4
con uno dei due cateti ha coseno uguale a . Calcola perimetro e area del triangolo.
5
25 2
[ 2 p 5a ; A
a ]
24
39
Progetto Matematica in Rete
- Triangolo rettangolo
12. In un triangolo isoscele ABC di base AB, il raggio della circonferenza inscritta misura r e
1
cos( ABC ) . Determina i lati del triangolo.
3
[ AB 2 2r ; BC 3 2r ]
13. In un triangolo isoscele ABC di base AB, BC AC a e cos( ABC )
1
. Determina
3
perimetro e area del triangolo e l’altezza AK relativa a BC.
2 2 2
8
4
[2p a ; A
a ; AK
2a ]
9
3
9
14. In un trapezio scaleno ABCD la base minore DC è uguale ad uno dei due lati obliqui e si ha
DC AD l . Sapendo che DAB
e che tg ( ABC ) 2 , determina i lati del trapezio e le
4
funzioni goniometriche di C e D .
3 2 4
3
5
l ; BC
[ AB
….;
C
]
l
D
4
4
2 2
15. Un trapezio isoscele di base maggiore AB è circoscritto ad una circonferenza di raggio r e,
24
indicato con uno degli angoli alla base, si ha sen
. Determina i lati del trapezio.
25
8
3
25
[ AB r ; DC r ; CB AD
r]
3
2
12
40
Progetto Matematica in Rete
- Triangolo rettangolo -
Area di un triangolo
Supponiamo di conoscere due lati di un triangolo e l’angolo compreso: possiamo calcolare l’area?
Tracciamo l’altezza AH :
e quindi area ( ABC )
AH bsen
1
a b sen .
2
Osserviamo che se anche fosse ottuso avremo:
AH b sen b sen
e quindi ancora area ( ABC )
1
a b sen .
2
Se, come caso particolare, avessi
il triangolo sarebbe rettangolo in C e infatti:
2
area( ABC )
sen sen
41
1
ab
2
1
2
Progetto Matematica in Rete
- Triangolo rettangolo -
Lunghezza di una corda di una circonferenza
Consideriamo una corda AB in una circonferenza di raggio r: se conosciamo un angolo alla
circonferenza che insiste sulla corda possiamo trovare AB ?
Sappiamo che tutti gli angoli che insistono su AB sono uguali: disegniamo allora quello che ha un
lato passante per il centro della circonferenza.
Il triangolo ABC è rettangolo in B e quindi, essendo AC 2 R :
AB 2 R sen
Osserviamo che questa relazione vale anche considerando un angolo come in figura: infatti
( e sono angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza) e quindi
sen sen
AB 2 R sen
Quindi in generale abbiamo AB 2 R seno (angolo alla circonferenza che insiste sulla corda AB)
Esercizio: ricava il lato del triangolo equilatero, del quadrato e dell’esagono regolare inscritti in
una circonferenza di raggio r.
42
Progetto Matematica in Rete
- Triangolo rettangolo -
Circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo
Dato un triangolo ABC come possiamo calcolare il raggio R della circonferenza circoscritta e il
raggio r della circonferenza inscritta?
Cominciamo con la circonferenza inscritta.
L’area del triangolo ABC è data dalla somma delle aree dei triangoli aventi base a, b, c e altezza r
e quindi:
1
1
1
S ar br cr
abc
2
2
2
ma
psemiperimetro
1
2
S r a b c
2
S
e quindi S r p r
p
Quindi conoscendo l’area S e il semiperimetro possiamo calcolare il raggio r della circonferenza
inscritta nel triangolo.
Esempio: in un triangolo equilatero ABC di lato l abbiamo:
1 l
1 l
1
r l
3
3
2 2 3 l 3 2
2
43
Progetto Matematica in Rete
- Triangolo rettangolo Consideriamo ora la circonferenza circoscritta al triangolo
Ricordando che la corda BC diametro sen
a 2 R sen R
Naturalmente è anche R
a
2 sen
(1)
b
c
2 sen 2 sen
Possiamo anche scrivere, moltiplicando nella (1) per b c numeratore e denominatore, e
1
ricordando che bc sen area ABC S
2
a
a b c
a b c
R
2 sen 2 sen b c
4S
Quindi conoscendo i lati del triangolo e l’area posso determinare R.
Esempio: in un triangolo equilatero ABC di lato l abbiamo:
l l l
l
2 l
R
3
1 l
3 3 2
4 l
3
2 2
44
Progetto Matematica in Rete
- Formule goniometriche -
Formule goniometriche
Come possiamo calcolare
sen ( )
?
E’ chiaro che non può risultare sen sen sen : se infatti fosse così e per esempio
avremo sen sen sen 1 1 2 !
2
2
2
2 2
Dobbiamo ricavare delle relazioni che ci permetteranno di calcolare il seno, il coseno e la tangente
di una somma o di una differenza di angoli.
Formule di addizione e sottrazione
1) Cominciamo con questa osservazione: se riportiamo su una circonferenza goniometrica due
angoli e , per esempio con come in figura, possiamo considerare l’angolo e
riportarlo con il primo lato sul semiasse positivo delle x. Avremo quindi:
Pcos ; sen
Qcos ; sen
T cos ; sen
A1;0
Poiché AOT QOP allora avremo anche PQ AT e possiamo scrivere:
cos cos 2 sen sen 2 cos 12 sen 2
e sviluppando:
45
Progetto Matematica in Rete
- Formule goniometriche -
cos 2 2 cos cos cos 2 sen 2 2 sen sen sen 2 cos 2 2 cos 1 sen 2
Quindi poiché :
sen 2 cos 2 1 , sen 2 cos 2 1 , sen 2 cos 2 1
avremo:
e quindi
1 1 2 cos cos 2sensen 1 1 2 cos
cos cos cos sensen
Quindi abbiamo ricavato la formula di sottrazione per il coseno.
Esempio
cos15 cos45 30 cos 45 cos 30 sen45 sen30
1
2
3
1 1
1
2
2 2 2 2
3 1
Da questa formula possiamo anche ricavare cos : basta infatti scrivere .
Quindi avremo , poiché cos cos mentre sen sen :
cos cos cos cos sen sen cos cos sen sen
Quindi
cos cos cos sen sen
Esempio
cos 75 cos45 30 cos 45 cos 30 sen45 sen30
46
1
2
3
1 1
1
2
2 2 2 2
3 1
Progetto Matematica in Rete
- Formule goniometriche 2) Come si possono ricavare sen e sen ?
Ricordando che il seno di un angolo è uguale al coseno dell’angolo complementare possiamo scrivere:
sen cos cos cos cos sen sen
2
2
2
2
sen cos cos sen
sen sen cos cos sen
Quindi
Allora
sen sen sen cos cos sen sen cos cos sen
sen sen cos cos sen
Esempio
sen15 sen45 30 sen45 cos 30 cos 45 sen30
1
2
3
1 1
1
2
2 2 2 2
3) E come si calcola tg e tg ?
tg
sen sen cos cos se
cos cos cos sen sen
Se dividiamo numeratore e denominatore per cos cos otteniamo:
tg
Allora
tg a tg
tg tg
1 tg tg
tg tg
tg tg
1 tg tg 1 tg tg
tg
tg tg
1 tg tg
Esempio
tg 15 tg 45 30
tg 45 tg 30
1 tg 45 tg 30
1
1
3 1
3
1
3 1
1
3
47
3 1
Progetto Matematica in Rete
- Formule goniometriche -
Problema 1
4
e tg B 1 . Se AC l possiamo
5
risolvere il triangolo, cioè determinare tutti gli altri suoi elementi?
Dato il triangolo ABC , acutangolo, sappiamo che sen A
sen
4
3
cos
5
5
tg 1
AH l
3 3
l
5 5
CB CH 2
CH l
4 4
l
5 5
HB CH
( è acuto)
4
4
7
l AB l
5
5
4
2l
5
C e
sen C sen sen sen cos cos sen
4 1 3 1
7
5 2 5 2 5 2
Problema 2
Ricordando che il coefficiente angolare di una retta, nel piano cartesiano, è uguale alla tangente
dell’angolo α formato dalla retta con il semiasse positivo delle x, possiamo ricavare l’angolo (o la
tangente dell’angolo) formato da due rette di equazione assegnata?
Per semplicità disegniamo due rette per l’origine.
r : y m x tg m
s : y m' x tg m'
Se e sono angoli acuti (come in figura), cioè m
e m’ sono positivi, l’angolo acuto γ formato da r e s
avrà tangente
tg tg
m'm
tg tg
1 tg tg 1 m m'
48
Progetto Matematica in Rete
- Formule goniometriche -
Esempio
Considera le rette di equazione :
r : y 2x m 2
1
1
s : y x m'
3
3
1
3 1
tg tg
1
4
1 2
3
Naturalmente abbiamo anche
3
'
4
2
Esercizio
Dato il triangolo di vertici O0;0 , A6;2 B2;4 , determina le tangenti goniometriche dei suoi
angoli.
1
1
2
x
3 1 AOB
3 tg AOB
2
4
1
: y 2x
3
rOA : y
rOB
rAB m
1
2
La tangente di β non può essere calcolata perché rOB è perpendicolare a rAB e quindi
1 1
5
3 2
tg
6 1
1 1 5
4
1
3 2 6
Infatti OAB è un triangolo rettangolo isoscele.
49
.
2
Progetto Matematica in Rete
- Formule goniometriche -
Formule di duplicazione
Come possiamo calcolare il seno, il coseno e la tangente dell’angolo 2 ?
Utilizzando le formule di addizione abbiamo:
sen2 sen sen cos cos sen 2sen cos
sen 2 2 sen cos
cos 2 cos cos cos sen sen cos 2 sen 2 cos 2 cos 2 sen 2
tg 2 tg
tg tg
2tg
1 tg tg 1 tg 2
tg 2
2tg
1 tg 2
3
, con
5
l’angolo adiacente alla base, possiamo determinare le funzioni goniometriche dell’angolo al
Esempio: dato un triangolo isoscele ABC di base AB, se sappiamo che sen
vertice C ?
sen
3
9
4
cos 1
5
25 5
C 2
sen C sen 2 sen2 2 sen cos
3 4 24
2
5 5 25
Conoscendo sen C possiamo poi determinare anche coseno e tangente.
Osservazione: cos 2 può essere sviluppato in due modi diversi utilizzando la relazione
sen 2 cos 2 1 .
cos 2 cos 2 sen 2
1 sen 2 sen 2 1 2 sen 2
cos 2 1 cos 2 2 cos 2 1
50
Progetto Matematica in Rete
- Formule goniometriche -
Formule di bisezione
Come possiamo calcolare il seno, il coseno e la tangente dell’angolo
Osserviamo che 2
a) Se sostituiamo cos 2
cos 1 2 sen 2
2
b) Se sostituiamo sen 2
cos 2 cos 2
1
2
. Proviamo a sviluppare
2
cos cos 2 cos 2 sen 2
2
2
2
?
2
abbiamo:
1 sen 2
2
2
sen 2
1 cos
2
2
abbiamo:
1 cos 2
2
2
cos 2
1 cos
2
2
Ricaviamo infine una formula per calcolare tg
:
2
1
sen cos
sen
sen
sen
2 *
2
2 2
**
tg
1 cos
2 1 cos
1 cos
cos
cos 2
2
2
2
*Nota: moltiplico numeratore e denominatore per cos
2
tg
2
sen
**Nota:
sen
1
1
1
cos 2 sen cos sen 2 sen
2
2 2
2
2 2
2 2
Se avessimo moltiplicato per sen
avremmo ottenuto invece:
2
1 cos
sen 2
1 cos
1 cos
2
2
2
tg
tg
1
2
sen
2
sen
cos
sen cos
sen
2
2
2
2
sen
Osserviamo chele due espressioni sono equivalenti poiché:
1 cos 1 cos 1 cos
1 cos 2
sen 2
sen
sen
sen 1 cos
sen 1 cos sen 1 cos 1 cos
51
Progetto Matematica in Rete
- Formule goniometriche
Esempio 1: Dato un triangolo isoscele ABC di base AB, se conosciamo sen C
24
e il lato
25
BC l , possiamo risolvere il triangolo?
24
576
7
cos 1
25
625
25
7
a) Se è ottuso cos
25
7
1
1
cos
25 16 sen 4
sen 2
2
2
2
25
2 5
Abbiamo: sen
4
8
l AB l e A B
2 5
5
2 2
(e quindi posso ricavare le funzioni goniometriche ).
7
1
7
25 9 sen 3
b) Se è acuto cos
sen 2
25
2
2
25
2 5
Quindi HB l sen
3
6
Quindi HB l AB l
5
5
e AB
2 2
12
( =
13
angolo adiacente alla base) e il raggio r della circonferenza inscritta, possiamo risolvere il
triangolo?
12
5
( è acuto)
sen
cos
13
13
Esempio 2: Dato un triangolo isoscele ABC di base AB, se conosciamo sen
sen 2
2
5
13 4 sen 2 ; cos 3
2
13
2
2
13
13
1
OH
r
r 3
HB
r AB 3r
2 2
2 HB
tg
2 3
3
r
HB
39
CB
2
r
5 10
cos
13
C 2 sen C sen 2 sen 2 2 sen cos
tg
52
Progetto Matematica in Rete
- Formule goniometriche -
Problemi sulle formule goniometriche
1)* Proviamo a ricavare sen e cos in funzione della
tg
( si otterranno le cosiddette
2
“formule parametriche”).
sen sen2
2 sen cos
2
2
2
Possiamo a questo punto dividere per 1 e ricordare che 1 può essere pensato anche come
:
sen 2 cos 2
2
2
2
e quindi sena
1 tg 2
2
cos
2tg
2
2
2
sen
2
2
2
sen
cos
1 tg
2
2
2
2tg
2 sen
(abbiamo diviso numeratore e denominatore per cos 2
)
2
Analogamente :
sen 2
1 tg 2
2
2
2 e quindi
cos cos 2 cos 2 sen 2
2
2
2
sen 2 cos 2
1 tg 2
2
2
2
cos 2
2
cos a
1 tg 2
2
1 tg 2
2)* Possiamo trovare delle formule per calcolare, per esempio, sen cos oppure sen sen
oppure cos cos ?
Partiamo da questa osservazione: sen sen 2sen cos
Quindi:
sen cos
1
sen sen
2
(Analogamente se voglio ricavare cos cos posso partire da…….).
D’altra parte se poniamo
pq
p
pq
pq
2
e quindi
senp senq 2 sen
cos
2
2
q
p q
2
53
Progetto Matematica in Rete
- Formule goniometriche -
3)* Determina il lato dell’ottagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r.
Poiché
sen 2
8
2
dovrò calcolare sen sen ( AH r sen l8 2r sen ).
8
4
2
8
8
8
1 1
2 2 1 2 2 sen
4
2
2
4
8
2 2
1 cos
2 2
2
4)* Determina il lato del dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r .
Poiché
sen 2
12
2
( AH r sen l12 2r sen
).
dovrò calcolare sen sen
12 6
2
12
12
12
3
1
6
2 2 3 sen
2
2
4
12
1 cos
54
2 3
2
Progetto Matematica in Rete
- Formule goniometriche -
5)* Determina il lato del pentagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r.
Cominciamo con il ricavare il lato l10 del decagono inscritto in una circonferenza di raggio r :
poiché l10 è la sezione aurea del raggio (si dimostra utilizzando la similitudine…..) avremo :
l10
r : l10 l10 : r l10 l10 r 2 r l10 0 l10 r l10 r 2 0 l10
2
2
l10 2r sen
Poiché, per il teorema della corda, abbiamo :
r 5r
( 5 1)r
l10
2
2
5 1
sen
10
10
4
Possiamo ora ricavare anche il lato l 5 del pentagono regolare inscritto in una circonferenza di
raggio r , poiché avremo
5 1 10 2 5
l5 2r sen 2r sen2 2r 2 sen cos 4r
5
10
10
10
4
4
1
( cos 1 sen 2
10
10
5 1
16
2
16 6 2 5
10 2 5
)
16
4
55
( 5 1) 10 2 5
r
4
Progetto Matematica in Rete
- Formule goniometriche -
Problemi
(triangolo rettangolo e formule goniometriche)
1) In un triangolo isoscele ABC di base AB, il lato obliquo misura l e cos C
7
. Determina
25
perimetro e area del triangolo.
[2p
16
12 2
l ; A
l ]
5
25
1
è inscritto in una circonferenza di
4
raggio r . Determina i lati del triangolo e le funzioni goniometriche dell’angolo alla base.
15
5
5
[ AB
,…..]
r ; AC
r ; sen ABC
2
2 2
2
2) Un triangolo isoscele ABC di base AB e avente cos C
3) In un trapezio rettangolo ABCD, la base maggiore AB 56 , il lato obliquo BC 50 e
7
. Determina base minore e altezza del trapezio. Dopo aver verificato che il
cos ABC
25
trapezio è circoscrivibile ad una circonferenza, detto O il suo centro, calcola sen COD .
7
[ DC 42 ; AD 48 ; sen COD
]
5 2
4) Considera una semicirconferenza di raggio r e centro O e sia ABCD un trapezio rettangolo ad
1
essa circoscritto. Sapendo che cos ABC (AB base maggiore del trapezio ) , determina i
3
lati del trapezio e calcola sen OCB .
2
; AD r sen OCB
]
3
2 2
2 2
2
5) Considera il trapezio isoscele ABCD, circoscritto ad una semicirconferenza di raggio r e centro
4
O, avente sen ABC ( AB base maggiore del trapezio, BC lato obliquo ). Determina i lati
5
[ AB r
3
r ; CB
3
r ; DC r
r
del trapezio e sen OCB .
5
5
2
]
r ; AB r ; DC r ; sen OCB
4
2
5
6) Un trapezio rettangolo ABCD (base maggiore AB ) è circoscritto ad una circonferenza di
5
centro O e raggio r e cos ABC
( ABC angolo adiacente alla base maggiore ).
13
[ CB AD
Determina i lati del trapezio e sen OCB .
13
5
5
3
[ CB r ; AD 2r ; DC r ; AB r ; sen OCB
]
6
3
2
13
56
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
Equazioni goniometriche
Equazioni goniometriche elementari
senx
a) Consideriamo un’ equazione “elementare”:
1
2
Le soluzioni saranno:
2 k
6
5
x 2 k
6
x
In generale se abbiamo senx k con 1 k 1 avremo:
x 2 k
x 2 k
Se considero
senx 1 x
2k
2
senx 1 x
b) Vediamo ora con il coseno:
Otteniamo:
2k
2
cos x
1
2
2 k
3
x 2 k
3
x
57
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
cos x k
e in generale
con 1 k 1
x 2 k
x 2k
Se
cos x 1 x 2k
cos x 1 x 2k
c) Consideriamo infine la tangente, per esempio:
tgx 1
x
In generale quindi
k
4
tgx k x k
58
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
Equazioni goniometriche “riconducibili” ad equazioni elementari
1) Vediamo i seguenti esempi:
1
a)
sen x
4 2
In questo caso non conviene sviluppare con la formula di sottrazione! Consideriamo x
4
come un unico angolo. Per quello che abbiamo già visto:
5
2k x 2k 2k
4 6
4 6
12
5
5
13
x 2k x 2k 2k
4 6
4 6
12
x
cos2 x
1
2
Anche in questo caso non conviene sviluppare con la formula di duplicazione ma considerare
2x come un unico angolo e per quello che abbiamo già visto avremo:
b)
2 k x k
3
6
2 x 2 k x k
3
6
2x
c)
tg 3 x 1
6
come un angolo avremo:
6
3 x k 3 x k
6 4
6 4
Considerando 3 x
3x
x
5
k
12
5
k
36
3
59
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi 2)
Considerando i seguenti esempi:
a) sen 2 x sen x
4
2 angoli hanno lo stesso seno se sono associati allo stesso punto della circonferenza
goniometrica oppure se sono supplementari. Quindi:
2k x 2k
4
4
5
2 x x 2k 3 x 2k
4
4
5
2
x k
12
3
2x x
b) cos 2 x cos x
4
2 angoli hanno lo stesso coseno se sono associati allo stesso punto della circonferenza
goniometrica oppure sono opposti. Quindi:
d
2 x x 2k x 2k
4
4
2
2 x x 2k 3 x 2k x
k
4
4
12 3
c) tg 2 x tg x
4
k ) hanno la stessa tangente quando sono associati allo stesso
2
punto della circonferenza goniometrica o differiscono di , quindi potremo semplicemente
scrivere:
2 angoli (diversi da
2x x
k x k
4
4
60
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
3) Vediamo infine i seguenti esempi:
a)
sen 2 x senx 2 0
Consideriamola come un’equazione di 2° grado e ricaviamo:
senx1, 2
Quindi
b)
1 1 8 1 3
senx1 1 senx 2 2
2
2
senx 1 x 2k
2
senx 2 nessuna soluzione
2 cos 2 x cos x 0
Possiamo semplicemente mettere in evidenza:
cos x 2 cos x 1 0
e quindi avremo:
2k
2
1
2
cos x x 2k
2
3
cos x 0 x
c)
tg 2 x tgx 0
tgxtgx 1 0
tgx 0 x k
tgx 1 x
d)
k
4
cos 2 x senx 0
In questo caso dobbiamo utilizzare la prima relazione fondamentale e sostituire 1 sen 2 x a
cos 2 x .
1 sen 2 x senx 0
sen 2 x senx 1 0
senx1, 2
1 1 4 1 5
2
2
61
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
senx
1 5
nessuna soluzione
2
1 5
utilizzando la calcolatrice abbiamo
2
x 2k
con 38
x 2k
senx
e)
sen 2 x cos x 0
In questo caso gli argomenti del seno e del coseno sono diversi: possiamo riportarci
all’angolo x utilizzando la formula di duplicazione.
2 senx cos x cos x 0
cos x 2 senx 1 0
cos x 0 x 2k
2
7
x 2k
1
6
senx
11
2
x 2k
6
f)
sen 2
x
cos x 0
2
Utilizzando la formula di bisezione avremo:
1 cos x
cos x 0
2
1 cos x 2 cos x 0
cos x 1 x 2k
62
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
Equazioni goniometriche di 1° grado in seno e coseno
Consideriamo la seguente equazione:
senx cos x 1 0
Per determinare x cerchiamo il punto P associato all’angolo x sulla circonferenza goniometrica.
Ricordando che
senx y P
cos x x P
Risolvere l’equazione data equivale a risolvere il sistema:
yP xP 1 0 yP xP 1
2
2
xP y P 1
Per non confondere x (angolo) con x P (ascissa del punto P) possiamo indicare x P con X e y P
con Y. Quindi abbiamo l’intersezione tra una retta e la circonferenza goniometrica:
Y X 1
2
2
X Y 1
2k
Troviamo
2
P2 1;0 x 2k
P1 0;1 x
Osservazione: non sempre occorre utilizzare questo “metodo grafico”.
Esempio: senx cos x 0
Possiamo dividere per cos x ( possiamo supporre cos x 0 perché le soluzioni di cos x 0 ,cioè
x k , non sono soluzioni dell’equazione) e otteniamo:
2
tgx 1 x k
4
Con il metodo grafico avremmo ottenuto lo stesso risultato:
Y X 0
2
2
X Y 1
x
63
k
4
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
Equazioni goniometriche di 2° grado in seno e coseno
senx cos x cos 2 x 0
Esempio 1:
Basta mettere in evidenza:
cos x senx cos x 0
cos x 0 x k
2
senx cos x 0 tgx 1 x
k
4
sen 2 x 1 3 senx cos x 3 cos 2 x 0
Esempio 2:
k non è soluzione dell’equazione):
2
tg 2 x 1 3 tgx 3 0
Proviamo a dividere per cos 2 x ( x
tgx1, 2
3 1 4 2 3 4 3
3 1 4 2 3
3 1 3 1
2
2
2
k
3
tgx 1 x k
4
tgx 3 x
Osservazione
L’equazione precedente potrebbe essere risolta anche in modo diverso (soprattutto se l’equazione
di 2° grado in tgx che si ottiene avesse come soluzioni valori non noti della tangente) utilizzando
le seguenti sostituzioni:
1 cos 2 x
2
sen x
2
sen2 x
senx cos x
2
1 cos 2 x
2
cos x
2
1 cos 2 x 1 3 sen2 x 3 3 cos 2 x 0
1 3 sen2 x 1 3 cos 2 x 1 3 0
1 3 cos 2 x 1 0 ... sen2 x 2 3 cos 2 x 1 0
sen2 x
1 3
1 cos 2 x
sen2 x
1 cos 2 x
1 3
3
0
2
2
2
64
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
sen2 x Y
e avremo:
cos 2 x X
Adesso poniamo
Y 2 3 X 1 0
2
x Y 2 1
Y 2 3 X 1
2
X 7 4 3 X 2 1 2 2 3 X 1 8 4 3 X 2 2 2 3 X 0 4 2 3 X 2 2 2 3 X 0
1
X2
Y 2 3 X 1
X
0
1
2
P1
P2
2
2 X X 0
Y1 1
Y 3
2
2
I punti P1 e P2 sono però associati all’angolo 2x e quindi :
2 x 2k x k
2
4
2
2 x 2k x k
3
3
(soluzioni che avevamo già trovato, molto più semplicemente, con il primo metodo)
3 3 sen x 2 cos
2
Esempio 3:
2
x
3 1 senx cos x 3
Possiamo moltiplicare il termine noto per sen 2 x cos 2 x poiché sen 2 x cos 2 x 1 e avremo:
3 3 sen x 2 cos x 3 1senx cos x 3 sen x cos x
3sen x 3 1senx cos x cos x 0
2
2
2
2
2
2
Dividendo per cos 2 x :
3tg 2 x
tgx1, 2
3 1 tgx 1 0
1 3 4 2 3 4 3
2 3
1
x k
6
3
tgx 1 x k
4
tgx
65
1 3
2 3
3 1
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
Esercizi sulle equazioni goniometriche
1) Risolvi le seguenti equazioni goniometriche elementari:
3
1
a) senx
d) cos x
2
2
3
1
b) cos x
e) tgx
2
3
1
c) tgx 3
f) senx
2
2) Risolvi le seguenti equazioni goniometriche riconducibili ad equazioni elementari:
1
a) sen x
4
2
1
b) cos 2 x
6
2
c) tg x 1
3
x 2 2k ; x 2k
7
x 4 k ; x 12 k
x 12 k
x 4 k
2
x 3 3 k
x 12 k 4
d) sen 2 x 1
e) cos 3 x 1
f) tg 4 x 3
3) Ricordando le relazioni tra le funzioni goniometriche degli angoli associati, risolvi le seguenti
equazioni:
2
x 2k ; x 3 3 k
2
x 2k ; x 5 k
x 15 k 5
a) sen 2 x senx
b) cos 3 x cos 2 x
c) tg 3 x tg 2 x
3
66
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi 4) Risolvi le seguenti equazioni riconducibili ad equazioni elementari:
[ x k ; x
a) sen 2 x senx 0
2
[ x 2k ; x 2k ]
3
[ x k ; x k ]
3
6
[ x k ; x 2k ]
2
3
5
[ x k ; x 2k ; x 2k ]
6
6
5
[ x 2k ; x 2k ; x 2k ]
2
6
6
[ x k ; x k ]
4
[ x k ; x k ]
6
[ x 2k ; x 2k ]
3
[ x k ; x k ]
6
3
b) 2 cos 2 x 3 cos x 1 0
c)
3tg 2 x 4tgx 3 0
d) 2 cos 2 x cos x 0
e) 2 sen 2 x senx 0
f) 2 sen 2 x 3senx 1 0
g) tg 2 x tgx 0
h)
2k ]
2
3tg 2 x tgx 0
i) 2 cos 2 x cos x 1 0
l) 3tg 2 x 2 3tgx 3 0
5) Risolvi le seguenti equazioni:
2k ; x 2k ]
3
5
[ x 2k ; x 2k ; x 2k ]
6
6
2
[ x k ; x k ]
3
[ x k ]
[ x 2k ; x 2k ]
3
2
[ x 2k ]
4
[ x k ]
6
[ x k ]
2
[ x k ]
2
5
[ x 2k ; x 4k ; x 4k ]
3
3
[x
a) sen 2 x cos 2 x cos x
b) 2 cos 2 x senx 1
c) tgx senx 3senx
d) senx tgx
e) 2 senx cos x 2 cos x 1 senx
f) sen x sen x 1
4
4
g) tg x 2 3tgx
4
h) cos 2 x sen 2 x 0
x
cos x 1
2
x
l) senx cos
2
i) 2 cos 2
67
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
6) Risolvi le seguenti equazioni lineari:
2k ; x 2k ]
2
[ x 2k ]
4
[ x 2k ; x 2k ]
2
6
2
[ x 2k ; x 2k ]
3
[ x 2k ; x 2k ]
6
3
[x
a) senx cos x 1
b) senx cos x 2
c) cos x 3senx 3
d)
3 cos x senx 3 0
e) 2 cos x 2 senx 3 1
f) senx cos x 2
[ impossibile]
7) Risolvi le seguenti equazioni di 2° grado in seno e coseno:
k ]
6
[ x k ; x k ]
4
[ x k ; x k ]
2
3
[ x k ; x k ]
3
6
[ x k ; x k ]
6
[ x k ; x k ]
2
3
[x
a) 3sen 2 x cos 2 x 0
b) sen 2 x senx cos x 0
c)
3 cos 2 x cos x senx 0
d) 2 sen 2 x 3senx cos x cos 2 x
1
2
e) 4 sen 2 x 3senx cos x cos 2 x 1
f) 2 sen 2 x 3senx cos x cos 2 x 2
8) Risolvi le seguenti equazioni goniometriche:
a) 2 cos 2
k ]
2
[ x k ; x k ]
4
[ x k ; x k ]
6
x
x 1
sen 2 sen 2 x
2
2 2
[x
b) senx cos x cos 2 x
2
c) tg 2 x 3tgx 0
68
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
Problemi sul triangolo rettangolo
risolubili con equazioni
Esempio 1
Consideriamo questo problema: data una semicirconferenza di diametro AB 2r , determina su di
3 2
essa un punto P tale che l’area del triangolo ABP risulti uguale a
r
2
Posso individuare il punto P appartenente alla semicirconferenza con l’angolo x BAP .
Limiti di x: il valore di x potrà variare da 0 (quando P B ) a
(quando P A ).
2
Poiché il triangolo ABP è retto in P avremo:
AP 2r cos x
PB 2r senx
1
Area ABP 2r cos x 2rsenx 2r 2 senx cos x
2
Quindi dovrò risolvere l’equazione
2r 2 senx cos x
sen2 x
Poiché 0 x
0 2x
2
3 2
r
2
3
2
x
3
6
2
2x x
3
3
2x
e quindi
69
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi Il problema ha quindi 2 soluzioni, corrispondenti a triangoli uguali.
Nota: è molto importante considerare la limitazione dell’angolo x per capire quali sono le
soluzioni del problema.
Esempio 2
Data una semicirconferenza di diametro AB 2r , determina su di essa un punto P tale che
2 p ABP 2r 1 2 .
x BAP
0 x
2
AP 2r cos x
BP 2rsenx
2r cos x 2rsenx 2r 2r 1 2
2r cos x 2rsenx 2r 2
cos x senx 2
X Y 2
2
X Y 2 1
X 2 Y
1 1
2
2
;
2 2 2 Y Y 1.....
2
2
x è l’unica soluzione del problema
4
Infatti:
AP BP r 2
70
2 p ABP 2r 2r 2 2r 1 2
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi PROBLEMI SUL TRIANGOLO RETTANGOLO
RISOLUBILI CON EQUAZIONI
1) Data una semicirconferenza di diametro AB= 2r si consideri il trapezio isoscele ABCD
inscritto nella semicirconferenza e si ponga BAˆ D x . Determinare per quale x si ha
2 p ( ABCD ) 5r .
[x ]
3
2) Si consideri un triangolo equilatero ABC di lato l e si consideri una semiretta uscente da C
interna al triangolo. Siano H e K le proiezioni ortogonali sulla semiretta rispettivamente di A e B.
1
Determinare per quale semiretta si ha area( AHC ) area( KBC ) . (Poni ACH x )
2
[x ]
12
3) Si consideri una semicirconferenza di diametro AB= 2r e si costruisca il triangolo equilatero
ABC esternamente alla semicirconferenza. Sia P un punto sulla semicirconferenza e poni
BAˆ P x . Determina per quale x si ha area( ACBP ) ( 3 1)r 2 .
[x ]
4
4) Si consideri una semicirconferenza di diametro AB = 2r e un trapezio isoscele CDEF
circoscritto alla
semicirconferenza. Posto DCˆ F x determina x per il quale si ha
area(CDEF ) 3r 2 .
[x
]
3
5) Considera una semicirconferenza di diametro AB = 2r e un punto P su di essa. Costruisci il
quadrato PBRQ esternamente alla semicirconferenza. Determina la posizione di P in modo che si
abbia area( ABRQ) 3r 2 . Poni BAP x .
[x
]
4
6) Considera una semicirconferenza di diametro AB = 2r e un punto P su di essa. Costruisci il
triangolo equilatero PBD esternamente alla semicirconferenza e determina P per cui si abbia
area( ABDP) 3r 2 . Poni PAB x .
[x
71
3
]
, x arctg
2
2
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
7) Considera una semicirconferenza di diametro AB = 2r una corda PQ parallela ad AB. Posto
AOˆ P x e costruito il triangolo equilatero PQR, con R esterno alla semicirconferenza, determina
x in modo che si abbia area( POQR) 3r 2 .
[ x 0, x ]
6
8) Dato un triangolo isoscele ABC avente base AB e altezza CH 2a , posto ACˆ H x ,
considera il punto D, punto medio dell’ altezza CH, e traccia le sue proiezioni ortogonali M e N
rispettivamente su AC e CB. Determina x in modo che 2 p (CMDN ) 2a 2 .
[x ]
4
9) Considera una circonferenza di diametro AB = 2r e la corda AC r . Sia P un punto
appartenente alla semicirconferenza non contenente C e poni PAˆ B x . Determina x in modo che
3 2
si abbia area( APC )
r .
2
[ x 0, x ]
6
e AO OB r . Si consideri un punto P
3
appartenente all’ arco AB e si ponga AOˆ P x .Si consideri la proiezione ortogonale H del
punto P su AO , il segmento PP’ parallelo ad AO e sia K la proiezione ortogonale di P’ su AO.
r2
Determina x in modo che area( HPP' K )
.
2 3
[x ]
6
10) Sia ABO un settore circolare con AOˆ B
11) Considera una circonferenza di raggio r e le corde AB r e BC r 3 . Considera un punto
P appartenente alla semicirconferenza AC non contenente B. Determina P in modo che
2 p ( ABCP ) 2r (1 3 ) . Poni PAC x .
[x
72
,x ]
6
3
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE
Risolvi le seguenti equazioni goniometriche
1
)
4
2
1
2. tg 2 (3 x )
2
3
3. cos( x ) cos(2 x )
3
4
1. sen( x
17
25
2k ; x 2k ]
12
12
2
[x k ;x k ]
9
3
9
3
7
[ x 2k ; x
2k ]
12
36
3
2
[ x 2k ]
3
7
[ x 2k ]
4
[ x 2k ]
3
[x
4. 2 sen 2 x 2 sen 2 x cos 2 x 5 cos x 1
5. senx cos x 2
) 1
6
7. 2 sen 2 x ( 3 1) senx cos x ( 3 1) cos 2 x 1
6. cos x sen( x
k ; x k ]
3
4
7
[ x k ; x k ]
4
12
[x
8.
3 cos 2 x 1 sen2 x
Problema 1
Considera una semicirconferenza di diametro AB = 2r e sia P un punto su di essa. Disegna il
triangolo equilatero ABC esternamente alla semicirconferenza e determina x = PAB in modo che
2 p ( ACBP ) 2(2 2 )r .
[x ]
4
Problema 2
Considera una circonferenza di diametro AB =2r e traccia la corda AC = r 3 . Determina un
punto P (poni BAP x ) appartenente alla semicirconferenza AB non contenente C tale che l'area
del quadrilatero ACBP sia uguale a 3r 2 .
[x ;x ]
6
3
73
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
Problemi con discussione
Esempio 1
Riprendiamo l’esempio 1 dei problemi sul triangolo rettangolo risolubili con equazione: data una
semicirconferenza di diametro AB 2r , si considera un punto P su di essa e si traccia il triangolo
ABP .
Avevamo posto x BAP .
Possiamo chiederci: quali valori può assumere l’area del triangolo BAP ?
È come chiedere: per quali valori di k il problema “determina P tale che area ABP kr 2 ” ha
soluzione? E quante soluzioni ha ?
Questo problema è molto semplice e possiamo fare queste considerazioni: l’area del triangolo
1
ABP può essere calcolata come AB PH .
2
Poiché AB è costante (uguale a 2r) l’area varia al variare di PH : PH varia da 0 (quando P A
o P B ) a r ( quando P punto medio di AB ).
Quindi l’area varia da un minimo di 0 ad un massimo di
area( ABP) 0
area( ABP) 0
74
1
2r r r 2 e quindi k varia da 0 a 1.
2
area( ABP) r 2
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
Ma, per un dato valore dell’area, quante soluzioni ha il problema?
Vediamo che ci sono sempre 2 triangoli uguali in corrispondenza di un certo valore dell’area (cioè
di PH ).
Quindi il problema avrà 2 soluzioni per 0 k 1 .
Proviamo però a risolvere utilizzando le equazioni (vediamo quindi un metodo che servirà per
problemi più complessi di questo):
x BAP
AP 2r cos x
0 x
PB 2r senx
2
1
Area ABP 2r cos x 2rsenx
2
2
2r senx cos x kr 2
sen 2 x k
Abbiamo trovato un’equazione goniometrica parametrica, cioè contenente un parametro variabile
( k R ).
Per risolverla utilizziamo il metodo grafico, ponendo sen 2 x Y e avremo:
Y k
2
2
X Y 1
0 2 x
cioè l’intersezione di un fascio di rette parallele all’asse X con la circonferenza goniometrica ( con
la limitazione dell’angolo 2x).
75
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
Disegniamo solo la parte della circonferenza goniometrica data dalla limitazione della x: il fascio
Y=k interseca la parte di circonferenza goniometrica quando 0 k 1 in 2 punti
Quindi il problema ha
2 soluzioni 0 k 1
(come avevamo già capito precedentemente)
Esempio 2
Riprendiamo il 2° esempio che avevamo sviluppato come problema sul triangolo rettangolo
risolubile con equazioni. Questa volta il problema diventa: per quali valori di k esiste P tale che
2 p ABP kr ?
x BAP
AP 2r cos x
PB 2rsenx
2r 2r cos x 2rsenx kr
2 cos x 2 senx 2 k
2 X 2Y 2 K
2
2
X Y 1
0 x
2
La retta del fascio per A(1; 0) passa anche per B: sostituendo
quindi le coordinate di A ( o B) troviamo k=4.
76
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
Per determinare il valore di k corrispondente alla retta del fascio tangente alla circonferenza
goniometrica, ricordiamo che possiamo utilizzare la formula della distanza punto – retta ponendo
cioè d (C (0;0), retta del fascio) = 1 (raggio circonferenza goniometrica).
Scriviamo in forma implicita la retta del fascio:
2 X 2Y 2 k 0 e sostituiamo (0;0)
2k
44
1
2k 2 2
2 k 2 2 k1 2 2 2 negativo
2 k 2 2 k 2 2 2 2
Il valore negativo di k non ci interessa (corrisponde alla tangente nel III quadrante) e quindi
avremo
kt 2 2 2
In conclusione abbiamo:
2 soluzioni
4 k 22 2
Osserviamo che per k=4 si ha il minimo perimetro di ABP quando P A o P B (sono 2
diametri sovrapposti); per k 2 2 2 si ha il massimo perimetro di ABP (quando P punto
medio di AB ).
Anche in questo caso le soluzioni , per un dato valore del perimetro, sono sempre due perché ci
sono due triangoli uguali.
77
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi -
Esempio 3
Riprendiamo il 1° problema proposto negli esercizi sul triangolo rettangolo ed equazioni.
Cambiamolo così:
Data una semicirconferenza di diametro AB 2r , considera il trapezio isoscele ABCD inscritto
nella semicirconferenza. Discuti: 2p (ABCD) = kr
Poniamo x BAD
Limiti della x: osserviamo che il valore minimo di x è
quello massimo è
Quindi
x
4
2
Poiché ADB
D A
2
,e
4
AD 2r cos x
2
Considerando poi ADH AH AD cos x 2r cos 2 x
Quindi DC AB 2 AH 2r 4r cos 2 x 2r 1 2 cos 2 x
Perciò 2 p ABCD 2r 22r cos x 2r 4r cos 2 x
4r 4r cos x 4r cos 2 x
Dobbiamo discutere
4r 4r cos x 4r cos 2 x kr
Non conviene usare la sostituzione cos x = X….. ma considerare che, ponendo cosx = t otteniamo
4t 2 4t k 4 0
cioè un’equazione di 2° grado con parametro.
78
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi Per discuterla usiamo il metodo della parabola
y t2
(fascio di rette parallele m=1)
4 y 4t k 4 0
1
1
0 t
x 0 cos x t
2
2
2
4
La retta del fascio passante per 0=(0; 0) corrisponde a k=4 (attenzione a disegnarla in modo che
1 1
passi sopra a A
; ).
2 2
1 1
La retta del fascio passante per A
; k 22 2.
2 2
Per determinare il k della tangente dobbiamo risolvere
y t 2 4 y 4t k 4 0
4 4k 4 0
4
4 4k 16 0
4k 20 k t 5
Quindi, osservando il disegno, avremo:
1 soluzione
2 soluzioni
4 k 22 2
22 2 k 5
Il perimetro minimo si ha per k=4 ( D A C B e il trapezio degenera in due diametri
sovrapposti); il perimetro massimo si ha per k=5 (ABCD è la metà di un esagono regolare
BC CD DA r ).
Per k 2 2 2 il trapezio degenera nel triangolo isoscele ABC C D .
79
Progetto Matematica in Rete
- Equazioni goniometriche e problemi PROBLEMI CON DISCUSSIONE
Come abbiamo fatto per il primo problema riprendiamo i problemi sul triangolo rettangolo
risolubili con equazioni e modifichiamoli in modo da avere dei problemi con discussione.
2) Si consideri un triangolo equilatero ABC di lato l e si consideri una semiretta uscente da C
interna al triangolo. Siano H e K le proiezioni ortogonali sulla semiretta rispettivamente di A e B.
Determinare per quale semiretta si ha area ( AHC ) karea( KBC ) . (Poni ACH x )
[1 sol. k 0 ]
3) Si consideri una semicirconferenza di diametro AB= 2r e si costruisca il triangolo equilatero
ABC esternamente alla semicirconferenza. Sia P un punto sulla semicirconferenza e poni
BAˆ P x . Determina per quale x si ha area( ACBP) kr 2 .
[2 sol.
3 k 1 3 ]
4) Si consideri una semicirconferenza di diametro AB = 2r e un trapezio isoscele CDEF
circoscritto alla
semicirconferenza. Posto DCˆ F x determina x per il quale si ha
2
area(CDEF ) kr .
[2 sol.
3 k <2 , 1 sol. k 2 ]
5) Considera una semicirconferenza di diametro AB = 2r e un punto P su di essa. Costruisci il
quadrato PBRQ esternamente alla semicirconferenza. Determina la posizione di P in modo che si
abbia area( ABRQ) kr 2 . Poni BAP x .
[1 sol. 0 k 4 , 2 sol. 4 k 2 5 ]
6) Considera una semicirconferenza di diametro AB = 2r e un punto P su di essa. Costruisci il
triangolo equilatero PBD esternamente alla semicirconferenza e determina P per cui si abbia
area( ABDP) kr 2 . Poni PAB x .
[1sol. 0 k 3 ,2sol.
3k
3 7
]
2
7) Considera una semicirconferenza di diametro AB = 2r una corda PQ parallela ad AB. Posto
AOˆ P x e costruito il triangolo equilatero PQR, con R esterno alla semicirconferenza, determina
x in modo che si abbia area( POQR) kr 2 .
[1sol. 0 k 3 ,2sol.
80
3k
32
]
2
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche -
Disequazioni goniometriche
Disequazioni goniometriche elementari
a) Riprendiamo gli esempi che abbiamo fatto per le equazioni trasformandoli in disequazioni:
senx
1
2
Le soluzioni saranno:
5
2k x 2k
6
6
senx
Se invece devo risolvere:
1
2
le soluzioni possono essere scritte così:
7
2k x 2k
6
6
oppure
5
13
2k x 2k
6
6
oppure
2k x
Attenzione: non ha senso scrivere
5
2k 2k x 2 2k
6
6
5
2k x 2k
6
6
81
!
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche b) cos x
1
2
:
le soluzioni sono:
2k x 2k
3
3
Se invece dovessi risolvere cos x
1
2
avrei:
5
2k x 2k
3
3
c) tgx 1
k x k
4
2
Se invece devo risolvere tgx 1
k x k
2
4
oppure posso scrivere
k x
k k x k
4
2
82
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche -
Disequazioni goniometriche “riconducibili” a disequazioni elementari
1) Come per le equazioni possiamo avere casi così:
1
a) sen x : consideriamo “ x ” tutto insieme:
4
4 2
5
2 k x 2 k
6
4 6
5
13
2 k x 2 k
12
12
b) cos 2 x
1
2
c) tg 3 x 1
6
5
2 k 2 x 2 k
3
3
5
k x k
6
6
k 3 x k
4
6 2
5
2
k 3 x k
12
3
5
2
k x k
36
3
9
3
83
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche 2)
a)
sen 2 x senx 0
senxsenx 1 0
senx 1 senx 0
2k x 2k
b)
2 cos 2 x cos x 0
cos x2 cos x 1 0
1
cos x 0
2
2
4
3
2 k x 2 k 2 k x 2 k
2
3
3
2
c)
3tg 2 x tgx 0
tgx 3tgx 1 0
1
tgx 0 tgx
3
k x k con x k
6
2
d)
2 sen 2 x 3 cos x 0
2 1 cos 2 x 3 cos x 0
2 cos x 3 cos x 2 0
2
cos x 2 cos x
(cos x1, 2
1
2
35
1
cos x cos x 2)
4
2
84
2 k x 2 k
3
3
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche e) sen 2 x cos x 0
2 senx cos x cos x 0
cos x2 senx 1 0
Studio il segno dei singoli fattori del prodotto:
cos x 0
2 senx 1 0 senx
1
2
Riporto i risultati tra 0 e 2
Poiché voglio che il prodotto sia positivo avrò le zone tratteggiate in figura:
7
3
11
2k x 2k 2k x 2k 2k x 2 2k
2
6
2
6
cos x
0
2 senx 1
Anche in questo caso studio il segno del numeratore e del denominatore e alla fine prendo le zone
dove ho una combinazione di segni che mi dà risultato negativo.
f)
N: cos x 0 vedi sopra
D: 2senx 1 0 vedi sopra
7
3
11
2k x 2k 2k x 2k
2
6
2
6
85
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche Osservazione: se devo studiare il segno di un prodotto o di un quoziente in cui compaiono
funzioni goniometriche di periodo diverso dovrò fare il grafico finale considerando il minimo
comune multiplo dei 2 periodi.
tgx
0
Esempio 1:
2 cos x 1
N: tgx 0
D: 2 cos x 1 0 cos x
1
2
3
5
2k x 2k 2k x 2k 2k x 2 2k
3
2
2
3
sen3 x tgx 0
Esempio 2:
sen3 x 0
2 k 3 x 2 k
2
2
k x k
3
3 3
tgx 0
k x
k
2
2
Il minimo comune multiplo tra T1 e T2 è 2 . Le soluzioni sono le zone tratteggiate in
3
figura.
86
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche -
Disequazioni goniometriche di 1° grado in seno e coseno
Riprendiamo l’esempio fatto per le equazioni lineari:
senx cos x 1 0
Sostituendo
Y senx
X cos x
(ma questa volta mettiamo >)
avremo:
Y X 1 0 Y X 1
2
2
2
2
X Y 1
X Y 1
La parte di circonferenza goniometrica in cui i punti
hanno Y>X+1 ( semipiano “sopra” alla retta y=x+1) è
quella indicata in figura e quindi le soluzioni della
disequazione sono:
2 k x 2 k
2
Se avessimo dovuto risolvere:
Y X 1
senx cos x 1 0 2
2
X Y 1
Le soluzioni possono essere scritte:
2k x 2k
2
oppure spezzando:
2k x 2k 2k x 2 2k
2
Importante: mentre per le equazioni goniometriche lineari in cui manca il termine noto avevamo
detto che potevamo risolvere anche dividendo per cosx, nel caso delle disequazioni questo non
può essere fatto poiché il coseno di un angolo non è sempre positivo.
87
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche -
Disequazioni goniometriche di 2° grado in seno e coseno
(omogenee o riconducibili ad omogenee)
Vediamo infine come si risolvono le disequazioni goniometriche di 2° grado in seno e coseno.
a)
senx cos x cos 2 x 0
cos xsenx cos x 0
Studio il seno dei singoli fattori:
senx cos x 0
cos x 0
Y X 0 Y X
2
2
X Y 1
Le soluzioni sono quindi
3
3
7
2k x 2k 2k x 2k 2k x 2 2k
2
4
2
4
b)
sen 2 x 1 3 senx cos x 3 cos 2 x 0
1 cos 2 x
2
sen x
2
1
senx cos x sen 2 x
2
1 cos 2 x
2
cos x
2
1° metodo: sostituiamo a
e otteniamo: sen2 x 2 3 cos 2 x 1 0
Abbiamo quindi ottenuto una disequazione lineare ma l’angolo è 2x. Poniamo Y sen 2 x ,
X cos 2 x .
Y 2 3 X 1 0.....
Risolviamo. 2
X Y 2 1
2
2 k 2 x 2 k
2
3
k x k
4
3
88
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche -
2° metodo: dividiamo per cos 2 x (è positivo) ma controlliamo se x
disequazione. Sostituendo nell’equazione x
quindi x
k non è soluzione.
2
k è soluzione della
2
k abbiamo 1 0 0 che non è minore di 0 e
2
tg 2 x 1 3 tgx 3 0 …
1 tgx 3
k x k
4
3
(come infatti avevamo già trovato con il primo metodo)
c)
3 3 sen x 2 cos
2
2
Moltiplichiamo
3
Avremo
3tg 2 x
x
per
3 1 senx cos x 3
1
sen 2 x cos 2 x
dividiamo poi per
sostituendo x k 3 3 ed è maggiore di 3 x k è soluzione.
2
2
e
cos 2 x
:
3 1 tgx 1 0
1
tgx 1 tgx
3
è soluzione
k
2
disequazione possiamo scrivere:
Poiché
x
3
k x k
6
4
89
della
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche -
Esercizi sulle disequazioni goniometriche
Riprendiamo gli esercizi sulle equazioni goniometriche e trasformiamoli in disequazioni:
1) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche elementari:
a. senx
1
2
b. cos x
3
2
7
6 2k x 6 2k
6 2k x 6 2k
3 k x 2 k
c. tgx 3
e. tgx
f.
7
5
6 2k x 6 2k
2 k x 6 k
7
5
4 2k x 4 2k
3
2
d. cos x
1
senx
3
1
2
2) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche riconducibili a disequazioni elementari:
1
a. sen x
4
2
1
b. cos 2 x
6
2
c. tg x 1
3
2 2k x 2k
5
12 k x 4 k
5
12 k x 6 k
x 4 k
2
x 3 3 k
8 k 4 x 12 k 4
d. sen 2 x 1
e. cos 3 x 1
f.
tg 4 x 3
90
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche -
3) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche riconducibili a disequazioni elementari:
[ 2k x 2 2k ]
a) sen 2 x senx 0
b) 2 cos 2 x 3 cos x 1 0
c)
3tg 2 x 4tgx 3 0
d) 2 cos 2 x cos x 0
e) 2 sen 2 x senx 0
f) 2 sen 2 x 3senx 1 0
g) tg 2 x tgx 0
h)
3tg 2 x tgx 0
i) 2 cos 2 x cos x 1 0
l) 3tg 2 x 2 3tgx 3 0
2
2
[ 2k x 2k ]
3
3
[ k x k k x k ]
2
6
3
2
[ 2k x 2k 2k x 2k ]
2
3
3
2
7
[ 2k x 2k 2k x 2k ]
6
6
7
[ 2k x 2k ]
6
6
[ k x k ]
4
5
[ k x k k x k ]
2
2
6
5
[ 2k x 2k ]
3
3
[ k x k ]
3
6
4) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche lineari:
[ 2k x
a) senx cos x 1
b) senx cos x 2
[ x R ]
3
[ 2k x 2k ]
2
6
c) cos x 3senx 3
d)
2k ]
2
2
[ 2k x 2k ]
3
3 cos x senx 3 0
e) 2 cos x 2 senx 3 1
[
f) senx cos x 2
2k x 2k ]
6
3
[ x R ]
91
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche 5) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche (omogenee o riconducibili ad omogenee) di 2°
grado in seno e coseno:
a) 3sen 2 x cos 2 x 0
[
5
k x k ]
6
6
[ k x
b) sen 2 x senx cos x 0
c)
3 cos 2 x cos x senx 0
d) 2 sen 2 x 3senx cos x cos 2 x
[
1
2
k x k ]
3
2
[
e) 4 sen 2 x 3senx cos x cos 2 x 1
k x k ]
6
3
[ k x
f) 2 sen 2 x 3senx cos x cos 2 x 2
k ]
4
[
k ]
6
k x k ]
3
2
6) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche:
a) 2 cos 2
x
x 1
sen 2 sen 2 x
2
2 2
[
b) senx cos x cos 2 x
3
[ k x k ]
4
2
c) tg 2 x 3tgx 0
d)
2k x 2k ]
2
2
[ k x
3
5
k k x k k x k ]
6
4
2
4
6
senx cos x
0
2 cos 2 x 1
3
5
5
7
[ 2k x 2k 2k x 2k ]
4
4
4
4
e)
senx
0
senx cos x
f)
tg 2 x 1
0
sen2 x
3
7
[ 2k x 2k 2k x 2 2k ]
4
4
[
92
3
k x k k x k ]
4
2
4
Progetto Matematica in Rete
- Disequazioni goniometriche ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE
Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche:
1. 2 cos( x
) 3
4
2. 4 sen 2 x 3
[
[
2
4
2k x 2k 2k x 2k ]
3
3
3
3
3. tg 2 x 3tgx 0
[
5. 2 cos 2 x cos x 0
3senx cos x
0
tg 2 x 1
7. sen( x
8.
k x k , x k ]
3
2
2
2
[ 2k x 2k x 2k ]
3
3
4. 2 3 cos x 2 sen 2 x 1
6.
5
25
2k x 2k ]
12
12
[
[
3
5
2k x 2k 2k x 2k ]
3
2
2
3
3
7
2k x 2k 2k x 2k
6
4
4
6
5
7
3
2k x 2k , x 2k ]
4
4
2
) 3 cos( x ) 1
3
3
[
2k x 2k ]
2
6
2
[ k x k ]
3
3sen2 x 2 cos 2 x 2
93
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi -
Triangoli qualsiasi
Consideriamo un triangolo qualsiasi ABC e adottiamo la seguente notazione: nel vertice A
l’angolo è , nel vertice B , nel vertice C e indichiamo con a il lato opposto ad A, con
b quello opposto a B e con c quello opposto a C.
Risolvere un triangolo significa determinare, dalla conoscenza di alcuni elementi, tutti gli altri
elementi (lati, angoli).
Ricordiamo che, grazie ai criteri di congruenza dei triangoli, un triangolo è determinato se si
assegnano:
1) due lati e l’angolo compreso;
2) un lato e due angoli;
3) i tre lati (purché naturalmente sia rispettata la relazione che a b c e a differenza degli
altri due…)
Infatti in ognuno di questi casi è possibile costruire, con riga, compasso e goniometro, un unico
triangolo.
Dimostriamo due teoremi utili per la risoluzione dei triangoli qualsiasi.
94
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi -
Teorema dei seni
In un triangolo qualsiasi ABC si ha:
a
b
c
sen sen sen
Dimostrazione
Consideriamo l’altezza CH: possiamo calcolarla in due modi
CH b sen (nel triangolo AHC )
CH a sen (nel triangolo CHB )
a
b
e quindi a sen b sen
sen sen
Analogamente tracciando l’altezza BK
BK c sen
BK a sen
e quindi
Quindi avremo che
c sen a sen
a
c
sen sen
a
b
c
sen sen sen
Nota: osserviamo che questo teorema vale anche per un triangolo rettangolo. Infatti se per
b
c
esempio abbiamo sen 1 e a
2
sen sen
95
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi -
Osservazione: possiamo calcolare quanto vale questo rapporto tra un lato e il seno dell’angolo
opposto?
Consideriamo la circonferenza circoscritta al triangolo: i lati a, b, c possono essere considerati
corde di questa circonferenza e gli angoli , , angoli alla circonferenza che insistono su
queste. Avevamo dimostrato che:
lunghezza corda = diametro seno (angolo alla circonferenza che insiste sulla corda)
e quindi
a
2R
sen
b
b 2r sen
2R
sen
c
c 2r sen
2R
sen
a 2r sen
Quindi non solo abbiamo dimostrato che il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto è
sempre lo stesso, per un dato triangolo, ma anche che è uguale al diametro della circonferenza
circoscritta al triangolo.
96
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi -
Teorema del coseno (o di Pitagora generalizzato)
In un triangolo qualsiasi ABC vale, per ciascun lato, la seguente relazione:
a 2 b 2 c 2 2 b c cos
cioè il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuita del
doppio prodotto tra questi e il coseno dell’angolo compreso.
Dimostrazione
Consideriamo l’altezza CH e il triangolo rettangolo ACH :
CH b sen
avremo
AH b cos HB c b cos
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB abbiamo:
2
a 2 CH HB
2
a 2 b 2 sen 2 c b cos
2
a 2 b 2 sen 2 c 2 2b c cos b 2 cos 2
a 2 b 2 sen 2 cos 2 c 2 2b c cos
e quindi:
a 2 b 2 c 2 2 b c cos
Se l’angolo fosse ottuso avremo:
CH b sen b sen
AH b cos b cos
Ma poiché HB AH AB c b cos e quindi si
ritrovano i calcoli precedenti.
Nota: se
il teorema si riduce al teorema di Pitagora.
2
97
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi -
Risoluzione di un triangolo qualsiasi
Riprendiamo la risoluzione di un triangolo.
1) Supponiamo di conoscere due lati, per esempio a e b, e l’angolo compreso .
Troviamo c con il teorema del coseno:
c 2 a 2 b 2 2ab cos c ...
Troviamo con il teorema dei seni:
a
c
sen ... ...
sen sen
Naturalmente
Esempio: a 10 b 6 45
c 2 100 36 2 10 6
1
2
c 7,15
6
7,15
sen 0,59 36,4
sen sen
Di conseguenza 180 45 36,4 98,6
98
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi NOTA
Quando usiamo la calcolatrice per trovare quale angolo ha un dato seno o un dato coseno (usando
il tasto sin 1 o cos 1 ) dobbiamo sapere che, per definizione, sin 1 dà come risultati angoli tra
(-90° e 90°) e cos 1 dà come risultati angoli tra 0 e (0 a 180°)
e
2
2
Per esempio se digitiamo sin 1 0.5 otteniamo solo come risultato 30° ed invece sappiamo che
anche 180°-30°=150° ha lo stesso seno (oltre a tutti gli angoli ottenuti con aggiungendo 2k ).
Così se per esempio nel risolvere un triangolo utilizzando il teorema dei seni troviamo sen 0.5
la calcolatrice ci darà solo 30 ma non è detto che questo sia il caso dell’angolo del nostro
triangolo.
Ricordiamo infatti che in un triangolo con lati disuguali a lato maggiore sta opposto angolo
maggiore.
Riprendiamo per esempio il caso del triangolo dell’esempio precedente: risolvendo sen 0.59 la
calcolatrice ha fornito 36.4 . Prendiamo questo valore (e non 180°-36.4°) perché dovrà
essere minore di 45 in quanto b<c.
Ma se noi avessimo applicato il teorema dei seni per determinare avremmo avuto:
10
7,15
sen 0,999
sen sen45
e la calcolatrice avrebbe fornito come angolo 81,4 che ci avrebbe poi portato a
180 45 81,4 53,6 impossibile perché maggiore di 45°.
Quindi in questo caso 81,4° non è il nostro angolo ma dobbiamo
180 81,4 98,6 che infatti ci riporta a 180 45 98,6 36,4 .
99
prendere
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi 2) Supponiamo di conoscere un lato, per esempio a , e due angoli, per esempio e .
Troviamo b con il teorema dei seni:
a
b
* sen sen sen sen cos cos sen
sen sen
b...
Analogamente troviamo c.
Naturalmente .
Esempio: a 10 45 30
a
b
sen sen
10
3 1
2 2
b
20
b
7,33
1
3 1
2
* sen sen sen sen cos cos sen
3
1 1
3 1
2 2
2 2
2 2
b
c
c 5,2
sen sen
1
Naturalmente 180 45 30 105
100
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi -
3) Supponiamo di conoscere i tre lati a, b, c ( ognuno minore della somma degli altri due e
maggiore della differenza).
Possiamo applicare il teorema del coseno per trovare un angolo, per esempio :
a 2 b 2 c 2 2bc cos cos ... ...
A questo punto applichiamo il teorema dei seni:
a
b
sen ... ...
sen sen
Infine
Esempio: a 10 b 8 c 5
10 2 8 2 5 2 8 5 cos cos 0,14 98
10
8
sen 0,792 52,4
sen 98 sen
Naturalmente 180 52,4 98 29,6
101
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi -
Problema
Se conosciamo due lati, per esempio a e b , e l’angolo opposto ad uno di essi, per esempio ,
possiamo individuare il triangolo?
Proviamo a disegnare il lato b e l’angolo considerando per esempio b=10 45
Per tracciare il lato a possiamo puntare il compasso in C con apertura a: ci saranno quindi vari
casi:
la circonferenza non interseca la semiretta r in figura e quindi non si ottiene nessun
triangolo
la circonferenza è tangente alla semiretta e quindi si trova un triangolo rettangolo
2
la circonferenza è secante con la semiretta e quindi ci sono 2 triangoli
la circonferenza taglia in un punto soltanto la semiretta (e interseca in un altro punto il suo
prolungamento) e quindi trovo 1 triangolo
Per esempio:
102
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi Infatti applicando il teorema dei seni ho:
a
b
b sen
sen
sen sen
a
Se sen 1 cioè b sen a non si trova nessun .
Se sen 1 e b sen a ( 1 triangolo rettangolo).
2
Se sen 1 1 , 2 ma occorre calcolare anche 1 1 e 2 2 .
Se 1 o 2 viene negativo non si può accettare e quindi in questo caso possono venire due
triangoli (se b sen a b ) oppure 1 triangolo (se a b ).
Infatti:
1) b=10 a=6
45
6
10
10
sen
1,18 1
sen sen
6 2
nessun triangolo
2) b=10 a 5 2
45
5 2
10
sen 1
1
sen
2
2
ho 1 triangolo rettangolo
3) b=10 a=8
45
8
10
10
0,886
sen
1
sen
8 2
2
1 62
2 117,5
ci sono 2 triangoli
4) b=10 a=12
45
12
10
10
0,59 1 36,2 2 143non..acc.
sen
1
sen
12 2
2
ho 1 triangolo
103
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi -
Applicazioni della risoluzione di un triangolo qualsiasi
La risoluzione di un triangolo di cui si conoscono solo alcuni elementi è importante per la
topografia.
1) Supponiamo per esempio di voler determinare la distanza tra due punti A, B separati da un
ostacolo ma entrambi “accessibili”. Posso prendere un 3° punto C, misurare AC, BC e
l’angolo .
Quindi conosco, del triangolo ABC , 2 lati e l’angolo compreso. Posso determinare AB c .
2) Supponiamo di voler determinare la distanza tra due punti A, B separati da un ostacolo e di cui
solo un punto sia “accessibile” (B). Posso fissare un terzo punto C, misurare BC e gli angoli
e.
Quindi conosco, nel triangolo ABC , un lato e i due angoli adiacenti. Il triangolo si può
“risolvere” e posso determinare AB .
104
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi -
Esercizi
Risolvi e costruisci con riga, compasso e goniometro i seguenti triangoli:
c 5
1) a 8 b 4 30
b 7,2
2) a 8 60 45
3) a 5 b 10 c 9
4) a 10 c 4 cos
1
3
5) a 10 c 4 cos
6) b 10 cos
126,9 23,1
1
3
c 5,9 75
29,9
85,5 64,6
b 9,45
86,1 23,4
109,5
b 11,9 52,4
a 6,5
4
30
5
c 7
7) a 8 b 5 60
52,4
9) a 8 b 10 c 5
c 6
10) a 10 b 12 30
81,3 38,7
b 3,7
8) a 5 45 30
c 5,4
c 2,6 105
98 29,6
56,4 93,6
Risolvi i seguenti problemi:
1) Due punti A e B sono separati da un ostacolo ma sono entrambi accessibili. Fissato un terzo
2
punto C si ha AC 48 metri, BC 40 metri e sen ACB . Determina AB .
3
[ AB 32,3 metri ]
2) Due punti A e B sono separati da un ostacolo ma solo B è accessibile. Fissato un terzo punto C
3
1
si ha BC 100 metri, sen ABC = e cos ACB . Determina AB .
4
3
[ AB 108 metri]
105
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi -
3)
Si può costruire un triangolo con a=8, b=10 e 60 ?
[no]
4)
Fissati b=10 e 60 qual è il minimo valore di a per cui si può costruire un triangolo?
Come risulta il triangolo?
[a 5 3 ]
5)
Risolvi il triangolo con b=10, a=10, 60.
6)
Risolvi il triangolo con b=10 60 , a =9.
[triangolo equilatero c=10, 60 ]
c1 7,5 1 74 1 46
c 2,5 106 14
2
2
2
7)
Una torre AB si trova su un pendio: determina AB sapendo che AC=10m, 30, 45 .
AB 19,3m
8)
9)
Risolvi il triangolo con b 10 60 a 12 e disegnalo.
c 13,3
46 74
Due punti A e B si trovano sulle rive opposte di un fiume. Prendendo un punto C dalla parte
B si misura BC 50m tg 4 tg 2 . Determina AB senza usare la calcolatrice
50
AB 3 17
106
Progetto Matematica in Rete
- Triangoli qualsiasi -
ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE SUI TRIANGOLI QUALSIASI
4
7
. Determina i lati b e c senza utilizzare la
cos
3
25
calcolatrice. Come risulta il triangolo? Disegnalo e con la calcolatrice determina il valore
approssimato degli angoli.
1) In un triangolo si ha a 10 tg
Determina inoltre il raggio R della circonferenza circoscritta e il raggio r della circonferenza
inscritta.
[ b 10 ; c 12 ; 53,13 ; 73,74 ; R
2) Sapendo che a = 5 3 , b = 5 ,
25
;r 3]
4
il triangolo è univocamente determinato? Risolvi e
6
disegna.
[ c1 10 1
1
3
2
2
3
; c2 5 2 2
]
6
3) Determina la distanza AB tra due punti entrambi accessibili sapendo che, preso un terzo
3
punto C, BC 50m , AC 30m , tg ACB .
4
[ AB 31,62m ]
4) Risolvi il triangolo avente a 8 b 5 c 10 e disegnalo.
[ 52,44 , 29,7 , 97,86 ]
5) Come potresti misurare l’altezza di una torre AB nel caso in cui la base A della torre non si
possa raggiungere (si dice base inaccessibile) ma si trovi comunque su un terreno
pianeggiante? (suggerimento: fissa un segmento CD sul piano orizzontale dove si trova la base
A della torre e “traguarda” dai suoi estremi la cima della torre….).
6) Dimostra che l’area di un quadrilatero si può calcolare con la seguente formula
1
S d1 d 2 sen
2
dove d1 e d 2 sono la lunghezza delle diagonali e è uno degli angoli formati dalle diagonali
(è indifferente quale angolo si consideri).
107
Progetto Matematica in Rete
- Complementi di trigonometria-
Le coordinate polari
Se nel piano fissiamo una semiretta di origine O (orientata) possiamo individuare la posizione di
un qualsiasi punto P indicando la sua distanza da O e l’angolo formato tra la semiretta fissata e
la semiretta OP.
OP
P ,
O 2
(angolo orientato)
La semiretta si chiama asse polare, O si dice polo e si parla di sistema di riferimento polare.
, si dicono le coordinate polari di P.
Se scriviamo 1 questa risulta, in coordinate polari, l’equazione della circonferenza di centro il
polo O e raggio r = 1 poiché tutti i suoi punti hanno distanza 1 .
Se scriviamo
avremo la semiretta in figura:
4
Esercizio
L’equazione a quale curva corrisponde?
Nota
Possiamo passare da coordinate polari a coordinate cartesiane osservando:
x cos
y sen
108
Progetto Matematica in Rete
- Complementi di trigonometria-
L’equazione delle coniche in coordinate polari
Ricordiamo che le coniche possono essere definite anche in modo unitario come luogo dei punti P
del piano per cui si abbia, fissati un punto F (fuoco) e una retta d (direttrice),
PF
e.
d ( P, d )
Se e =1
si ottiene una parabola;
e
se 0< <1 si ottiene un’ellisse;
se e >1
si ottiene un’iperbole.
Proviamo a determinare l’equazione di una conica in un sistema di riferimento polare: fissiamo,
per esempio, il polo nel fuoco F e l’asse polare perpendicolare alla direttrice.
Avremo, indicando con d la distanza asse y – direttrice:
PF
e quindi
d ( P, dir ) cos d
e e( cos d ) (1 e cos ) ed
cos d
e quindi, ponendo ed a , abbiamo l’equazione della conica in coordinate polari:
a
1 e cos
109
Progetto Matematica in Rete
- Complementi di trigonometria-
Trigonometria e problemi astronomici
Confronto tra la distanza Terra-Sole e la distanza Terra-Luna
E’ stato l’astronomo greco Aristarco a studiare questo problema: nell’unica sua opera a noi
pervenuta, cioè il breve trattato Sulle dimensioni e distanze del Sole e della Luna, ha cercato di
misurare il rapporto tra la distanza Terra-Luna e la distanza Terra-Sole.
Quando la luna è in quadratura, ossia è illuminata per metà, essa, con la Terra e il Sole, forma
il triangolo rettangolo mostrato in figura ( ). Misurando in tale condizione l'angolo β
2
compreso tra la direzione Terra-Luna e la direzione Terra-Sole è possibile calcolare il rapporto
tra il cateto e l’ipotenusa di un triangolo simile.
Terra, Luna e Sole durante una quadratura
Aristarco stimò l’angolo 87 (di conseguenza LST 3 ) e stimò il rapporto tra la distanza
1
1
Terra-Luna e Terra-Sole (il nostro sen3°) come compreso tra
e
: quindi il Sole risultava
20 18
circa 20 volte più lontano della Luna rispetto alla Terra.
In realtà l’angolo 8950' e quindi la distanza Terra-Sole è circa 400 volte la distanza TerraLuna, ma il metodo di Aristarco è comunque uno dei primi esempi di un metodo trigonometrico
applicato per la risoluzione di un problema astronomico.
110
Progetto Matematica in Rete
- Complementi di trigonometria-
La misura del raggio terrestre
Il matematico, geografo ed astronomo Eratostene (III secolo a.C.), era direttore della grande
biblioteca di Alessandria d'Egitto quando formulò il metodo per calcolare le dimensioni della
Terra .
Dai suoi studi, era venuto a conoscenza del fatto che a Syene (l'attuale Assuan), a mezzogiorno
del solstizio d'estate, il Sole si trovava proprio sullo zenit, tanto che il fondo di un pozzo
profondo ne veniva illuminato, perciò un bastone piantato verticalmente in un terreno
perfettamente pianeggiante non avrebbe proiettato alcuna ombra in terra.
Invece ad Alessandria questo non succedeva mai, gli obelischi proiettavano comunque la loro
ombra sul terreno.
Ciò era già una dimostrazione pratica della rotondità della Terra (come ampiamente dimostrato
da Aristotele). L'idea che la Terra dovesse avere una forma sferica era comunque già accettata.
Questa convinzione scaturiva dall'osservazione delle eclissi di Luna durante le quali la forma
dell'ombra terrestre appariva sempre come un arco di circonferenza.
Eratostene perciò, per procedere con i suoi calcoli, ipotizzò la Terra perfettamente sferica ed il
Sole sufficientemente distante da considerare paralleli i raggi che la investono. Inoltre assunse
che Alessandria e Syene si trovassero sullo stesso meridiano.
Durante il solstizio d'estate calcolò l'angolo di elevazione del Sole ad Alessandria, misurando
l'ombra proiettata proprio da un bastone piantato in terra, ricavando approssimativamente un
valore di 1/50 di circonferenza (cioè 7° 12').
La distanza tra le due città, basata sui trasferimenti delle carovane, era stimata in 5.000 stadia
(circa 800 km, tuttavia il valore preciso dello stadium, usato a quell'epoca ad Alessandria, non è
attualmente conosciuto).
Perciò la circonferenza della Terra doveva essere di 50 * 5.000 = 250.000 stadia (circa 40.000
km, valore straordinariamente vicino a quello ottenuto con metodi moderni: 40.075km).
Una volta stabilito un valore per essa, il raggio terrestre si ricavava dalla nota relazione che lega
la circonferenza ed il suo raggio.
111
Progetto Matematica in Rete
- Complementi di trigonometria-
Indicando con:
h :lunghezza del palo
l :lunghezza dell'ombra proiettata dal palo sul terreno
α :angolo di elevazione del Sole
dalla misura di h e l Eratostene ricavò e poiché
dove
D : distanza tra Alessandria (punto A) e Syene (punto S), situate sullo stesso meridiano
R : raggio della Terra, per ipotesi una sfera perfetta
si può ottenere R.
I valori ricavati da Eratostene furono: circa 12629 km per il diametro terrestre ovvero un raggio
pari a 6314,5 km (incredibilmente prossimo alla stima media condotta con mezzi attuali).
112
Progetto Matematica in Rete
- Complementi di trigonometriaESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE
I) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche
3 2k x 3 2k
1. 2 cos 2 x 3 cos x 1 0
2
3 k x 3 k , x 2 k
2. tg 2 x 3 0
2
2
k
x
2k
3
3. senx 3 cos x 3
4.
1 tg 2 x
3senx cos x
0
3
7
5
7
6 2 k x 4 2 k 4 2 k x 6 2 k 4 2 k x 4 2 k ,
5. 2 sen 2 x cos 2 x
3
sen2 x 1
2
[
x
3
2 k
2
k x k ]
3
II) Problemi
1) Due località A e B sono separate da un ostacolo ma entrambe sono accessibili: si fissa un
1
punto C e si misura AC 50m , BC 70m , cos ACB . Determina AB .
2
AB 62,5m
2) Due località A e B sono separate da un torrente. Se prendiamo una posizione C dalla parte di
B e misuriamo BC 12 Km , CBA , tg ACB 2 , determina AB .
3
[ AB 12,96 km]
3) Determina e disegna il triangolo (o i triangoli) aventi, usando le consuete convenzioni, a 6 ,
b 5, .
3
46,2 , 73,8 , c 6,65
4) Disegna il grafico corrispondente all’equazione
in coordinate polari. E’ diverso da
4
quello che corrisponde all’equazione tg 1 ?
5) Trasforma l’equazione cos in coordinate cartesiane e determina il grafico della curva
corrispondente.
113
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Le trasformazioni geometriche
Definizione
Una trasformazione geometrica dei punti del piano è una corrispondenza biunivoca tra i punti del
piano: ad ogni punto P del piano corrisponde uno e un solo punto P’ del piano e viceversa.
Studieremo alcune importanti trasformazioni geometriche quali isometrie, similitudini e affinità.
ISOMETRIE
(o movimenti rigidi)
Le isometrie ( uguale , misura ) sono le trasformazioni geometriche che
conservano la distanza tra i punti cioè se A e B sono una qualunque coppia di punti del piano e A’
e B’ sono le loro immagini (i punti trasformati di A e B ) allora si ha che
AB A' B '
Traslazione
E’ l’isometria in cui, fissato un vettore v , tutti i punti del piano si
spostano secondo il vettore v (vedi figura).
Indicheremo la traslazione di vettore v con il simbolo t ( v ) .
Si può facilmente dimostrare che se una retta r si trasforma in r ' si ha che r // r ' .
114
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale , possiamo anche determinare l’equazione
della traslazione di vettore v (a, b) (a e b coordinate di v considerando il suo primo estremo
nell’origine): si osserva che P x, y P' x a, y b e quindi possiamo scrivere
x' x a
t (v )
y' y b
Traslazione di una curva di equazione assegnata
Come possiamo trovare l’equazione di una curva di data equazione traslata
secondo una traslazione t ( v ) ?
Esempio
Consideriamo per esempio la retta r : y 2 x 1 e la traslazione t (3,1) .
Sappiamo quindi che le equazioni della traslazione sono
x' x 3
y' y 1
Per poter scrivere l’equazione di r ' occorre ricavare x e y dalle equazioni della traslazione e
sostituire nell’equazione di r .
Abbiamo
x x'3
y y '1
Sostituendo: y '1 2 x'3) 1 y ' 2 x'4
Se poi chiamiamo di nuovo x e y le coordinate abbiamo che
l’equazione di r’ risulta y 2 x 4 (come si può verificare dal
disegno).
115
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Composizione di traslazioni
Comporre due trasformazioni significa farle agire “in successione” .
In particolare se P è un punto del piano e t ( v 1 ) , t ( v 2 ) sono due traslazioni di vettori v 1 e v 2 , la
composizione t ( v 2 ) t ( v 1 ) agirà così:
t( v1)
t( v 2 )
P P' P' '
Attenzione: quando si scrive t ( v 2 ) t ( v 1 ) si intende che agisca prima t ( v 1 ) : in questo caso però
non cambia niente se faccio t ( v 1 ) t ( v 2 ) e si dice che la composizioni di traslazioni gode della
proprietà commutativa.
Come risulta la trasformazione t ( v 2 ) t ( v 1 ) ?
(vedi scheda relativa del laboratorio di informatica).
116
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Rotazione
Una rotazione è individuata dal centro di rotazione O e dall’ampiezza dell’angolo (orientato)
della rotazione: la indicheremo con R (O, ) .
R (O , )
Nel caso della rotazione esiste un punto del piano che viene trasformato in se stesso (il centro di
rotazione) e viene detto punto “unito”.
Osserviamo invece che nella traslazione t ( v ) non c’è nessun punto unito.
R ( 0 , )
Si può dimostrare che se
r r ' le rette r e r’ formano un angolo uguale ad .
Rotazione in cui il centro coincide con l’origine del sistema di riferimento
Ricaviamo l’equazione della rotazione R (O, ) (O = origine del sistema di riferimento).
Osservando la figura si ha:
x' OP' cos( ) OP cos cos sen sen OP cos cos OP sen sen
y ' OP' sen OP ( sen cos cos sen ) OP cos sen OP sen cos
Ma
x OP cos
y OP sen
x ' x cos y sen
y ' x sen y cos
e quindi
117
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche All’equazione della rotazione R (O, ) si può quindi associare la “matrice”
cos
sen
sen
cos
Esempio
Scriviamo le equazioni della rotazione di centro O e angolo 45 .
Avremo:
1
x' 2 x y
R(O,45)
y' 1 x y
2
Rotazione con centro diverso dall’origine del sistema di riferimento
Se il centro C della rotazione è diverso dall’origine O del sistema di riferimento, basta
considerare che rispetto ad un sistema di riferimento di origine C le coordinate di P sarebbero
x xC e y y C e le coordinate di P’ x' xC e y ' y C e quindi avremo:
x' xC x xC cos y y C sen
x' x xC cos y y C sen xC
y ' y C x xC sen y y C cos
y ' x xC sen y y C cos y C
118
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Rotazione di una curva di equazione assegnata
Come si ottiene l’equazione di una curva ruotata secondo una data rotazione
R (O, ) ?
Esempio
Consideriamo per esempio l’iperbole x 2 y 2 1 e applichiamo la rotazione R (O,45) .
Abbiamo visto che le equazioni della rotazione sono:
1
x' 2 x y
y' 1 x y
2
Ma per ottenere l’equazione dell’iperbole ruotata dobbiamo ricavare (come avevamo fatto
nell’esempio della traslazione nel caso della retta) la x e la y.
Dopo qualche passaggio otteniamo:
1
x 2 x' y '
y 1 x' y '
2
Nota
Possiamo evitare di fare troppi calcoli per ricavare x,y in funzione di x’,y’ pensando che la
trasformazione che porta P' x' , y ' P x, y è la trasformazione “inversa” e cioè in questo caso
la rotazione RO,45 che ha equazioni:
1
1
x
x'
y'
x cos(45) x' sen(45) y '
2
2
y sen(45) x' cos(45) y ' y 1 x' 1 y '
2
2
che è proprio quello che avevamo trovato.
Se quindi
otteniamo :
sostituiamo
nell’equazione
x2 y2 1
1
1
1
2
2
x' y ' y ' x' 1 ..... x' y '
2
2
2
Quindi l’equazione dell’iperbole ruotata risulta x y
119
1
.
2
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Simmetria assiale
La simmetria rispetto ad una retta r (asse della simmetria) (e che indicheremo con S r ) trasforma
tutti i punti come mostrato in figura con PH P' H .
Tutti i punti della retta r sono fissi (punti “uniti”).
Osservazione: componendo una simmetria assiale con se stessa si trova la situazione iniziale (si
dice che si ottiene la trasformazione identica indica con id ):
S r S r id
Nota
La rotazione di centro O e angolo 180 viene anche detta simmetria centrale (di centro O)
ed ha la stessa proprietà della simmetria assiale cioè R (O,180) R (O,180) id .
120
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Nel piano cartesiano vediamo come risulta l’equazione della simmetria assiale rispetto alla retta r.
Vediamo solo alcuni semplici casi.
a) Se r coincide con l’asse x le equazioni sono chiaramente le seguenti
x' x
y' y
b) Se r coincide con l’asse y le equazioni sono chiaramente le seguenti
x' x
y' y
c) Se r coincide con la bisettrice del primo e terzo quadrante le equazioni sono:
x' y
y' x
121
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Composizione di due simmetrie assiali
Quale trasformazione si ottiene componendo due simmetrie assiali?
Componendo due simmetrie assiali con assi paralleli si ottiene una traslazione di vettore
perpendicolare alle rette e di modulo doppio della distanza tra le rette.
Componendo due simmetrie assiali con assi incidenti si ottiene si ottiene una rotazione intorno al
punto di intersezione delle due rette e di angolo doppio dell’angolo formato dalle due rette.
Vedi scheda del laboratorio di informatica.
E’ importante l’ordine in cui si eseguono le trasformazioni: infatti se per esempio S r2 S r1 dà una
data traslazione , S r1 S r2 dà la traslazione opposta.
Osservazione importante
La traslazione e la rotazione conservano “l’orientamento” di una figura mentre la simmetria
assiale non conserva “l’orientamento” della figura e: se percorriamo la figura F in senso
antiorario, la sua trasformata F’ viene percorsa in senso orario (passando dai punti
corrispondenti).
Per questo traslazioni e rotazioni vengono dette isometrie “dirette” e la simmetria assiale viene
detta isometria “inversa”
122
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Le isometrie sono solo traslazioni, rotazioni e simmetrie assiali ?
Consideriamo due figure
F e F’(per
semplicità
prendiamo
due
triangoli)
congruenti: vediamo che è possibile
trasformare F F ' con al massimo tre
simmetrie assiali.
Se A A' cominciamo a portare
A A' con la simmetria rispetto a r1 =
asse del segmento AA’.
Se il lato AB non va a coincidere con
A’B’ e si ha un segmento A’ B’’ allora
si esegue la simmetria rispetto a
r2 =bisettrice dei lati A’B’ e A’B’’ in
modo che B ' ' B '
Se il terzo vertice del triangolo non
coincide ancora si esegue l’ultima
simmetria rispetto alla retta r3 = retta per
A’ e B’.
123
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche Quindi le isometrie possono essere:
una simmetria assiale;
la composizione di due simmetrie assiali traslazione o rotazione;
la composizione di tre simmetrie assiali
Vediamo quindi quest’ultimo caso.
a)
Se i tre assi sono incidenti in O viene una simmetria: infatti se a,b,c sono le tre rette e
dobbiamo determinare S c S b S a poiché la
composizione S b S a è una rotazione intorno a
O di un angolo 2 ab possiamo sostituire alla
coppia a,b la coppia r,c prendendo r tale che
rc ab (vedi figura).
Allora avremo che :
Sc (Sb S a ) Sc (Sc S r ) (Sc Sc ) S r S r
b)
Se i tre assi sono paralleli viene una simmetria poiché possiamo sostituire la coppia di rette
a,b con le rette r,c con r retta parallela a c e alla stessa distanza di a da b cioè
d (a, b) d (r , c) e abbiamo:
S c (S b S a ) S c (S c S r ) (S c S c ) S r S r
124
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
c) Se due assi sono incidenti e il terzo asse è parallelo ad uno dei due oppure è incidente a
entrambi ma non nello stesso punto , consideriamo per esempio le tre rette a,b,c in figura: poiché
la rotazione che si ottiene componendo S b S a si può ottenere componendo le simmetrie rispetto
ad un’altra coppia passante per il loro punto di intersezione e formante lo stesso angolo scegliamo
la coppia a’,b’ con b’ perpendicolare a c.
Possiamo a questo punto sostituire la coppia b1 ,c (che dà una rotazione di 180) con un’altra
coppia di rette perpendicolari b2 , c1 con b2 parallela a a1 e in conclusione abbiamo:
S c ( S b S a ) S c ( S b1 S a1 ) ( S c S b1 ) S a1 ( S c1 S b2 ) S a1
S c1 t
v
con v // c’
125
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
La composizione di una simmetria di asse r con una traslazione di vettore v// r viene detta
“simmetria con scorrimento” o “glissosimmetria” (da glisser che in francese significa
scivolare).
Osservazioni
Osserviamo che l’ordine in cui si applica simmetria e traslazione è indifferente e che il punto
medio di due punti corrispondenti appartiene all’asse di simmetria.
In conclusione le isometrie sono solo traslazioni, rotazioni, simmetrie assiali, glissosimmetrie.
Se un’isometria è diretta è una traslazione o una rotazione, se è inversa è una simmetria assiale o
una glissosimmetria.
126
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Esempi
Esempio 1
Dati triangoli F e F’ in figura qual è l’isometria che
trasforma F F ' ?
Si tratta di un’isometria “diretta” perché l’orientamento della figura è conservato e quindi dal
momento che non è chiaramente una traslazione non può che essere una rotazione.
Per determinare il centro di rotazione possiamo pensare che i punti A e A’ hanno la stessa
distanza dal centro e lo stesso accade per B e B’: il centro O di rotazione è quindi l’intersezione
degli assi di AA’ e BB’ e l’angolo di rotazione è AOA' .
127
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Esempio 2
Determina l’isometria tale che F F '
Poiché questa volta si tratta di un’isometria inversa si può trattare di una simmetria assiale o di
una glisso simmetria e dal momento che l’asse di AA’ non coincide con quella di BB’ vuol dire
che si tratta di una glisso simmetria e quindi si può procedere ricordando che il punto medio di
punti corrispondenti appartiene all’asse di simmetria e quindi l’asse di simmetria sarà la retta r
passante per i punti medi di coppie di punti corrispondenti, per esempio M(A,A’) e M(B,B’) , e si
individuerà poi facilmente il vettore traslazione parallelo a r.
128
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Esercizi sulle isometrie
1) Determina l’isometria che
trasforma F F ' .
[glisso simmetria di asse r : y x 5 e traslazione di vettore v (4;4) ]
2) Determina l’isometria che trasforma F F ' .
[ RO' 3;6 ;90 ]
3) Componi la rotazione di centro O e angolo 90° con la traslazione di vettore (2;2): scrivi le
equazioni della trasformazione composta. Di quale trasformazione si tratta?
Si ottiene la stessa cosa applicando prima la traslazione e poi la rotazione cioè eseguendo
R(O,90) t (2;2) ?
Suggerimento: x; y y; x y 2; x 2 quindi…
Dopo aver osservato che deve essere una rotazione poiché risulta un’isometria diretta in
quanto composizione di isometrie dirette e non può essere una traslazione, per determinare il
centro O’ della rotazione ricordiamo che O’ è l’unico punto “unito”…..
x' y 2
[
R(O' (0;2),90) ; no]
y' x 2
129
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche 4) Componi la rotazione RO;90 con la simmetria rispetto alla retta y x : scrivi le equazioni
della trasformazione composta. Di cosa si tratta?
Se consideri invece R O;90 S y x cosa ottieni?
x' x
x' x
[ S assex
; S assey
]
y' y
y' y
5) Come si trasforma la retta di equazione y 3 x 1 applicando la traslazione t (1,4) ?
Scrivi le equazioni della trasformazione.
x' x 1
[
y 3x 2 ]
y' y 4
6) Come si trasforma la parabola di equazione y x 2 applicando la traslazione t (1,2) ?
[ y x 2 2x 1 ]
7) Come si trasforma l’iperbole di equazione x 2 y 2 4 applicando R (O;45) ?
Scrivi le equazioni della trasformazione.
1
x' 2 x y
[
x y 2 ]
1
y'
x y
2
8) Considera la composizione t 1;2 S assex e scrivi le equazioni della trasformazione composta.
Come si trasforma la curva y 2 x applicando questa trasformazione composta?
x' x 1
[
y 2 x 1 2 ]
y' y 2
9) Considera l’esercizio precedente. Si ottiene lo stesso risultato applicando prima la traslazione e
poi la simmetria ? Come risulta l’equazione della curva trasformata da S assx t (1;2) ?
[no ; y 2 x 1 2 ]
10) Applica alla curva y senx la traslazione t ;0 . Come risulta l’equazione della curva
2
traslata? A cosa corrisponde?
[ y sen x ; y cos x ]
2
130
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
SIMILITUDINI
Cominciamo con lo studio dell’omotetia.
Omotetia
Si chiama omotetia di centro C e rapporto k (con k numero reale diverso da zero) e la
indicheremo con C, k , quella trasformazione geometrica tale che se
P P' si ha CP' k CP
Proprietà dell’omotetia
Consideriamo una semplice figura, per esempio un triangolo, e vediamo come si trasforma
applicando un’omotetia: osserviamo che l’omotetia ingrandisce o riduce il triangolo a seconda che
k 1 o k 1 , lasciandone inalterata la forma.
Naturalmente se k=1 si ha la trasformazione identica.
Vediamo alcuni esempi ( il centro dell’omotetia è stato indicato con O).
(O ,2)
131
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
1
(O, )
3
1
(O, )
3
Più precisamente:
una retta viene trasformata in una retta ad essa parallela e quindi si conservano le
ampiezze degli angoli cioè per esempio BAC B ' A' C ' ecc.;
il rapporto tra segmenti corrispondenti è uguale a k cioè A' B' k AB ;
se k 0 due punti corrispondenti si trovano sulla stessa semiretta di origine C mentre se
k 0 punti corrispondenti appartengono a semirette opposte di origine il centro
dell’omotetia.
132
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Le equazioni dell’omotetia nel piano cartesiano
a) Se il centro C O
(origine del sistema di riferimento) , dal momento che se
P x; y P' x' ; y ' si ha OP' k OP , per il teorema di Talete dovrà essere x' kx e y ' ky e
quindi abbiamo:
x' kx
O, k
y ' ky
Nota
Se k 1 si ha l’identità, mentre se k 1 si ha la simmetria rispetto all’origine (o rotazione di
180° rispetto a O ) di equazioni
x' x
O,1
y' y
133
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
b) Se il centro C dell’omotetia non coincide con O (origine del sistema di riferimento) possiamo
pensare di traslare il sistema di riferimento portando l’origine in C: le coordinate di P nel sistema
di riferimento traslato risultano x xC ; ; y y C e quelle di P’ x' xC ; y ' y C e quindi abbiamo:
x' k x xC xC
x' xC k x xC
C , k
y ' y C k y y C y ' k y y C y C
x' kx kxC xC
x' kx p
Se sviluppiamo abbiamo
y ' ky q
y ' ky kyC y C
x' kx p
Quindi le equazioni dell’omotetia C, k si presentano in genere nella forma
y ' ky q
dove k è il rapporto di omotetia, ma come si determina il centro ?
Possiamo ricavarlo ricercando il punto “unito” della trasformazione (il punto cioè che si trasforma
in se stesso).
x' 2 x 1
Facciamo un esempio: per trovare il centro dell’omotetia di equazioni
y' 2 y 4
2 x 1 x
x 1
possiamo risolvere
e quindi si tratta dell’omotetia di rapporto k 2 e
2 y 4 y
y 4
centro C 1;4 .
Composizione di omotetie
Componendo due omotetie di rapporti k1 e k 2 e aventi lo stesso centro C si ottiene un’omotetia
dello stesso centro e di rapporto k1 k 2 .
Infatti se consideriamo per semplicità C O
1
2
x; y k1 x, k1 y k2 k1 x , k2 k1 y k1 k2 x, k1 k2 y
Componendo due omotetie di rapporti k1 e k 2 ma aventi centri diversi prova a dimostrare che si
ottiene un’omotetia (rispetto ad un altro centro) quando k1 k 2 1 o una traslazione se k1 k 2 1 .
134
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Similitudine
Si chiama similitudine la trasformazione ottenuta componendo un’omotetia con una isometria.
Se A A' e B B ' si ha A' B' k AB con k 0 .
k è chiamato rapporto di similitudine ( corrisponde al valore assoluto del rapporto di omotetia
dell’omotetia associata).
Come l’omotetia anche la similitudine conserva il rapporto tra le lunghezze, conserva l’ampiezza
degli angoli.
Osservazioni
Le omotetie sono quindi particolari similitudini.
Le isometrie possono essere considerate particolari similitudini ( k 1 ).
Esempio
Consideriamo la similitudine ottenuta componendo un’omotetia di centro O(0;0) e rapporto k 2
con la simmetria rispetto all’asse x.
Avremo:
s assex
x; y 2 x;2 y 2 x;2 y
x' 2 x
In conclusione le equazioni di questa similitudine saranno:
y ' 2 y
Vediamo per esempio come viene trasformato il triangolo in figura.
135
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
AFFINITA’
Fissato un sistema di riferimento le equazioni di un’affinità sono del tipo:
x' ax by c
con a b' a ' b 0
y ' a ' x b' y c '
a b
.
Nota: a b' a 'b viene chiamato determinante della matrice M
a ' b'
Quando il determinante della matrice M è diverso da zero, considerando le equazioni dell’affinità
come un sistema in x e y, possiamo ricavare x e y in funzione di x’ e y’ cioè esiste anche la
trasformazione inversa P' x' ; y ' P x; y e quindi si tratta di una corrispondenza biunivoca.
Si può dimostrare che rette parallele vengono trasformate in rette parallele e che inoltre
k ab'a ' b corrisponde al rapporto tra le aree di figure corrispondenti cioè se
F F '
areaF '
k
areaF
Infatti
se
consideriamo
per
semplicità
x
'
ax
by
( le equazioni generali si ottengono
y ' a ' x b' y
componendo questa trasformazione con una
traslazione (c;c’) che non cambierà l’area)
osserviamo che il quadrato di lati OA e OB con
O(0;0)
A(1;0) B(0;1) viene trasformato nel
parallelogramma di lati O' A' , O' B' con O’(0;0)
A’(a;a’) B’(b;b’) che ha area proprio ab'a ' b
(prova a dimostrarlo…).
Si può osservare inoltre che la condizione che il determinante della matrice associata sia diverso
a a'
da zero corrisponde alla condizione ab' a ' b
cioè al fatto che i vettori a; a', b; b'
b b'
non siano paralleli.
Se a b' a ' b 0 viene conservato l’orientamento della figura e l’affinità si dice diretta, mentre
se a b' a ' b 0 viene invertito l’orientamento della figura e l’affinità si dice inversa.
136
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Esempio
x' 2 x y
Consideriamo l’affinità di equazioni
y' x y
2 1
e il suo determinante ab' a ' b 2 1 0 .
La matrice associata è
1 1
Se trasformiamo il quadrato ABCD con l’affinità si ottiene il parallelogramma A’B’C’D’ in
figura. Osserviamo che si tratta di una affinità diretta poiché ab' a ' b 3 0 (infatti
l’orientamento della figura viene conservato) e che il rapporto tra le aree delle due figure è uguale
a ab' a ' b 3 .
137
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Esercizi
Similitudini e affinità
1) Considera la similitudine ottenuta componendo l’omotetia O,2 , con O=origine del sistema
di riferimento, con la traslazione t
v 1; 2
traslazione di vettore v 1;2 .
a) Scrivi le equazioni della similitudine
b) Trasforma il triangolo ABC con A2;2 B6;4 C 1;4 . Come risulta l’area di A’B’C’
rispetto a quella di ABC ?
x' 2 x 1
[
y' 2 y 2
A' 5;6 B' 13;10 C ' 3;10 ; area (A’B’C’) = 4 area (ABC) ]
2) a) Determina le equazioni dell’omotetia di centro O’(2;2) e rapporto 2.
1
b) Componi l’omotetia precedente con O, . Come risulta la trasformazione composta?
2
x' 2 x 2
[
; t traslazione di vettore v 1;1 ]
v
y' 2 y 2
x' 3x 4
3) Considera l’omotetia di equazioni
. Qual è il suo centro?
y' 3 y 2
[ (2;1) ]
4) Considera la similitudine ottenuta componendo l’omotetia di centro O e rapporto 3 con la
simmetria rispetto alla retta y x .
a) Determina le equazioni della similitudine.
b) Trasforma il quadrato ABCD con A(1;1) B(3;2) C(4;0) D(2;-1). Come risulta l’area di
A’B’C’D’ rispetto a quella di ABCD ? L’orientamento della figura viene conservato?
x' 3 y
[
; area(A’B’C’D’) = 9 area (ABCD) ; no ]
y' 3x
5) Considera la similitudine ottenuta componendo RO;90 O,2 .
a) Determina le equazioni della similitudine.
b) Trasforma il triangolo ABC con A(3;1) B(3;3) C(2;1). L’orientamento della figura viene
conservato?
x' 2 y
[
; A’(-2;6) B’(-6;6) C’(-2;4) ; sì ]
y' 2 x
138
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
x' x 2 y
6) Considera l’affinità di equazioni
.
y' 3x y
Determina come si trasforma il quadrato ABCD con A(1;1) B(2;1) C(2;2) D(1;2) applicando
l’affinità. Come risulta l’area di A’B’C’D’ rispetto all’area di ABCD? Si conserva
l’orientamento?
[ A’(3;4) B’(4;7) C’(6;8) D’(5;5) ; area(A’B’C’D’) = 5 area(ABCD) ; no ]
x' 2 x
7) Considera l’affinità di equazioni
. Come si trasforma la circonferenza di equazione
y' y
x2 y2 1 ?
x2
[ ellisse
y2 1 ]
4
x' 2 x 1
8) Considera l’affinità di equazioni
. Come si trasforma la parabola di equazione
y' y 2
y x2 ?
[y
1 2 1
7
x x ]
4
2
4
x' 2 x
9) Considera la composizione tra l’affinità di equazioni
con la simmetria rispetto
y' 3 y
all’asse x.
a) Scrivi le equazioni della trasformazione composta. Di quale trasformazione si tratta?
b) Trasforma il triangolo ABC con A(1;1) B(2;1) C(1;3) con la trasformazione considerata. Come
risulta l’area di A’B’C’ rispetto a quella di ABC? L’orientamento della figura viene conservato?
x' 2 x
[
y ' 3 y
; area(A’B’C’)= 6 area(ABC) ; no ]
10) Componi l’affinità dell’esercizio precedente con la rotazione RO,90 .
a) Scrivi le equazioni della trasformazione composta.
b) Trasforma il triangolo dell’esercizio precedente. L’orientamento della figura viene conservato?
x' 3 y
[
; sì ]
y' 2 x
139
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
Esercizi di ricapitolazione
Trasformazioni geometriche
1) Considera la traslazione di vettore v 2;1 , Scrivi le equazioni della traslazione t .
v
a) Come si trasforma la retta r : y 2 x 3 ?
b) Come si trasforma la circonferenza C : x 2 y 2 1 ?
x' x 2
[
y' y 1
; r ': y 2 x 2 ; C ': x 2 y 2 4 x 2 y 4 0]
2) Considera la traslazione di vettore v 1 2;1 e la traslazione di vettore v 2 3;0 .
a) Determina le equazioni della trasformazione composta t t . Se componiamo in ordine
v2
v1
inverso la trasformazione composta cambia ?
b) A quale trasformazione corrisponde ?
x' x 1
[
y' y 1
; no ; t
v
v v1 v 2 ]
3) Considera la rotazione R 0;0 ; .
3
a) Scrivi le equazioni della rotazione.
b) Come si trasforma la retta r : y
1
3
x ?
1
3
y
x' x
2
2
[
; r ': x 0 ]
3
1
y'
x y
2
2
4) Considera la rotazione di equazioni:
1
1
x' 2 x 2 y 1
y' 1 x 1 y 1 2
2
2
Di quale rotazione si tratta?
[ R1;1;45 ]
140
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
5) Come si trasforma l’iperbole di equazione xy 2 applicando la rotazione R0;0 ;45 ? Scrivi
le equazioni della trasformazione.
1
x y
x
'
2
[
;
y' 1 x y
2
y2 x2
1]
4
4
*6) Scrivi le equazioni della simmetria rispetto alla retta r : y mx tenendo conto che m tg .
Suggerimento: procedi in modo analogo a quando sono state ricavate le equazioni della rotazione
rispetto all’origine.
x' x cos 2 y sen2
[
]
y ' x sen2 y cos 2
7) Trasforma la parabola : y x 2 4 x 5 :
a) con la simmetria rispetto all’asse x;
b) con la simmetria rispetto all’asse y.
[ y x 2 4x 5;
y x 2 4x 5 ]
8) Considera il triangolo ABC avente A0;2 , B2;4 , C 1;6 e il triangolo A’B’C’ con
A' 6;2, B' 8;0, C ' 7;2 . Determina l’isometria che trasforma ABC in A’B’C’.
[glissosimmetria di asse r : y 2 e traslazione di vettore v 6 : 0 ]
9) Considera la traslazione di vettore v 2;1 e la rotazione R0;0 ;90 .
Scrivi le equazioni della trasformazione che si ottiene componendo :
a) t R . A cosa corrisponde?
v
b) R t .A cosa corrisponde?
v
x' y 2
x' y 1
1 3
3 1
[
, R ; ;90 ;
, R ; ;90 ]
2 2
2 2
y' x 1
y' x 2
10) Cosa si ottiene componendo la simmetria S asse x con S assey ?
[ R0;0 ;180 ]
141
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche 11) Determina le equazioni della simmetria rispetto ad una retta r : x k .
x ' 2k x
[
]
y' y
12) Considera r1 : x 2 e r2 : x 4 .
a) Come risulta S r2 S r1 ?
b) Come risulta S r1 S r2 ?
[ t 4; 0 ; t 4; 0 ]
13) Scrivi le equazioni della trasformazione S assey S y x . A cosa corrisponde ?
x' y
[
R0;0;90 ]
y' x
14) Come risultano le equazioni della trasformazione S assey S y x S assex . A cosa corrisponde?
x' y
[
, S yx ]
y' x
15) a) Scrivi le equazioni della glisso simmetria di asse r : y x e vettore v 3;3 .
x2
b) Come si trasforma l’ellisse :
y2 1 ?
4
x' y 3
y 3 2 1 ]
2
[
, ' : x 3
4
y' x 3
16) Determina come si trasforma la retta r : y x 1 applicando l’omotetia 0;0;2 .
[ r ': y x 2 ]
17) a) Determina le equazioni di 2 1;2 ;3 1 0;0 ;2 . A cosa corrisponde?
b) Determina le equazioni di 1 0;0 ;2 2 1;2 ;3 . A cosa corrisponde?
x' 6 x 2
2 4 x' 6 x 4
4 8
[
, ; ;6
, ; ;6 ]
5 5 y' 6 y 8
5 5
y' 6 y 4
x' 4 x 3 y
*18) Considera la trasformazione di equazioni
. Dimostra che si tratta di una
y' 3x 4 y
similitudine di rapporto 5.
Suggerimento: considera come si trasforma il triangolo OAB con O(0;0) A(1;0) B(0;1)….
142
Progetto Matematica in Rete
- Le trasformazioni geometriche -
x' ax by
*19) Considera l’affinità di equazioni
( ab' a ' b 0 ) .
y ' a ' x b' y
Quali sono le condizioni che devono verificare i coefficienti a, a’, b,b’ perché si tratti di una
similitudine?
Suggerimento: considera come si trasformano O(0;0) A(1;0) B(0;1)….perché si tratti di una
similitudine AOB A' O' B ' e O' A' O' B' …
[ ab a ' b' 0 , a 2 a ' 2 b 2 b' 2 ]
*20) In riferimento all’esercizio precedente quali sono le condizioni perché si tratti di
un’isometria?
[ ab a ' b' 0 , a 2 a ' 2 1,
b 2 b' 2 1 ]
21) a) Scrivi le equazioni della similitudine R1;2 ;90 0;0 ;2 .
b) Trasforma la circonferenza C : x 2 y 2 1 . Disegna C’.
x' 2 y 1
[
; C ': x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 ]
y' 2 x 2
*22) Determina le equazioni della trasformazione che trasforma il triangolo OAB con O(0;0)
A(4:0) B(4;-2) nel triangolo O’A’B’ con O’(0;0) A’(2;4) e B’(3;2).
Verifica che si tratta di un’affinità che conserva l’area ma che non è un’isometria.
1
1
x' x y
[
2
2 ]
y ' x y
x' 2 x
x' x y
23) Considera le affinità di equazioni 1
A2
.
y' 3 y
y' 3x y
a) Determina A2 A1 e A1 A2 .
b) Verifica che la matrice associata alla trasformazione composta si ottiene moltiplicando (con
la regola righe per colonne) le matrici delle due trasformazioni.
x' 2 x 3 y x' 2 x 2 y
[
,
]
y' 6 x 3 y y' 9 x 3 y
x' x 2
24) Scrivi l’equazione della curva C’ che si ottiene applicando l’affinità di equazioni
y' 3 y
alla circonferenza C : x 2 y 2 2 x 2 y 1 0 . Disegna C’.
[ 9 x 2 y 2 18 x 6 y 9 0 ]
143
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
I numeri complessi
Abbiamo visto come dall’insieme N dei numeri naturali si passi all’insieme Z dei numeri relativi
per poter effettuare sempre la sottrazione e poi all’insieme Q dei numeri razionali per poter
effettuare sempre la divisione naturalmente con divisore diverso da zero).
Abbiamo infine ampliato il nostro insieme numerico con i numeri “irrazionali” cioè con i numeri
decimali illimitati aperiodici ( 2 , ecc.) ottenendo così l’insieme R dei numeri reali.
Ma i matematici non si sono fermati ai numeri reali ed hanno ampliato anche R definendo
l’insieme C dei numeri “complessi”.
Nel 1545 il matematico italiano Girolamo Cardano aveva pubblicato nella sua opera Ars Magna
la formula risolutiva delle equazioni di terzo e quarto grado ( gli “scopritori” di tali formule erano
stati altri matematici quali Scipione Del Ferro, Tartaglia e Ferrari).
Ma in certi casi la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado sembrava non funzionare…
Per esempio considerando l’equazione x 3 15 x 4 0 , si verifica facilmente che x = 4 è
soluzione mentre applicando la formula risolutiva si ottengono radici quadrate di numeri
negativi…
Fu il matematico Raffaele Bombelli a proporre di operare sulle radici quadrate di numeri negativi
trattandole come “quantità silvestri” (letteralmente “selvatiche”) svolgendo i calcoli con esse fino
ad arrivare al risultato.
Il termine di numeri immaginari fu coniato solo in seguito da Cartesio.
Inizialmente ci fu molta diffidenza verso questi nuovi numeri e lo stesso Bombelli che li aveva
introdotti li considerava essenzialmente artifici per risolvere alcuni problemi.
144
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
Solo alla fine del Settecento i numeri complessi , espressi dalla scrittura a bi con a, b R e
i 1 cioè i 2 1 , vennero riconosciuti come vero e proprio insieme numerico (contenente
l’insieme dei numeri reali) e fu il matematico Eulero, nel 1777, a indicare 1 con il simbolo i .
Il matematico Gauss ideò la rappresentazione geometrica dei numeri complessi associando al
numero complesso a bi il punto a, b del piano (fissato un sistema di riferimento cartesiano
ortogonale).
Alla fine dell’Ottocento ci fu la prima applicazione dei numeri complessi alla realtà: i numeri
complessi furono utilizzati per sviluppare la teoria delle correnti alternate.
Ma ripartiamo dalla definizione.
Definizione di numero complesso
(espresso in forma algebrica)
Chiamiamo numero complesso z , espresso in forma algebrica, l’espressione
z a bi con a, b R e i 2 1
a viene detta “parte reale”
bi viene detta “parte immaginaria” (b è chiamato coefficiente della parte immaginaria).
Osservazione
Se a 0 abbiamo quello che viene chiamato “numero immaginario”;
se b 0 abbiamo un numero reale.
Quindi i numeri reali sono numeri complessi aventi coefficiente nullo della parte immaginaria e
diciamo quindi che l’insieme C è un’estensione di R.
Definizione
Due numeri complessi del tipo a bi e a bi aventi cioè la stessa parte reale e parti immaginarie
opposte si dicono numeri complessi “coniugati”.
Se per esempio consideriamo le soluzioni in campo complesso dell’equazione x 2 x 1 0
abbiamo due soluzioni complesse coniugate:
z1, 2
1 1 4 1 3 1 3i
2
2
2
145
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
Operazioni tra numeri complessi
Vediamo come sono definite le operazioni tra numeri complessi:
addizione:
a bi c di a c b d i
sottrazione:
a bi c di a c b d i
moltiplicazione:
a bi c di ac bd ad bc i
Infatti sviluppando con le usuali regole di calcolo avremmo:
a bi c di ac adi bci bd ac bd ad bc i
divisione:
a bi a bi c di ac bd bc ad i ac bd bc ad
2
i
c di c di c di
c2 d 2
c d 2 c2 d 2
Esempi
1)
(2 i ) (3 4i ) 5 3i
2)
(2 i ) (3 4i ) 1 5i
3)
(2 i ) (3 4i ) 6 8i 3i 4 10 5i
4)
2i
(2 i ) (3 4i ) 2 11i
3 4i (3 4i ) (3 4i )
25
Osservazione
Se consideriamo un numero complesso z a bi
osserviamo che:
e il suo complesso coniugato z a bi
z z 2a , z z 2bi , z z a 2 b 2
146
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
Esercizi
Sviluppa:
1.
2 i 3 4i
[ 5 3i ]
2.
3 2i 1 i
[ 2 3i ]
3.
5 2i 2 i
[ 12 i ]
4.
2 i 2 i
5.
4 3i i
6.
2i
4 2i
7.
5 2i
5 2i
8.
1 i 2
[ 2i ]
9.
1 i 3
[ 2 2i ]
10.
1 i 1
4 2i i
[5]
[3 4i ]
[
[
21 20
i ]
29 29
[
1 13
i ]
10 10
11. 3 2i 3 2i 4i
[ 13 4i ]
12. 2 i i 1 2 3i
[ 8 3i ]
2
13.
2 3i
2i 4 i
1 i
[
14. 2 i i 4
2
15.
1
]
2
3 21
i]
2 2
[ 49 51i ]
3
5 i 1 i
[ 1 5i ]
1 i
147
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
Rappresentazione geometrica di un numero complesso
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale (O,x,y) si può associare ad ogni numero
complesso a bi un punto Pa, b del piano e viceversa.
Il piano in cui si rappresenta l’insieme C dei numeri complessi viene chiamato piano complesso
(o piano di Gauss).
a bi Pa, b
Quindi i punti dell’asse x sono associati ai numeri reali (l’asse x è detto asse reale) e i punti
dell’asse y sono associati ai numeri immaginari (l’asse y è detto asse immaginario).
Possiamo
anche
associare
al
numero
complesso
z a bi il vettore OP con Pa, b : ci accorgiamo che
la somma tra numeri complessi z1 e z 2 corrisponde alla
somma tra i vettori corrispondenti con la regola del
parallelogramma e la differenza alla differenza tra
vettori.
148
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
Forma trigonometrica di un numero complesso
Dato il numero complesso z a bi se esprimiamo il suo punto associato nel piano complesso
Pa, b in coordinate polari abbiamo:
a2 b2
b
tg
a
a cos
b sen
Il numero complesso può quindi anche essere scritto nella forma (detta trigonometrica):
z cos isen
Nota: viene detto modulo di z e viene detto argomento di z ( 0 2 ).
Esempio
Consideriamo il numero complesso (espresso in forma algebrica) z 3 i .
Come possiamo esprimerlo in forma trigonometrica?
Considerando il punto associato nel piano complesso P 3 ,1 in questo caso abbiamo:
3
cos
2 e quindi
2 e
6
sen 1
2
z 2 cos isen
6
6
149
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
Esercizi
Passa dalla forma algebrica alla forma trigonometrica rappresentando il numero complesso nel
piano di Gauss:
[ z 2 2 cos isen ]
4
4
1. z 2 2i
2. z 1 i
7
7
[ z 2 cos isen ]
4
4
3. z 2i
3
3
[ z 2 cos isen ]
2
2
4. z
5. z
1
4
[z
1
3
i
2 2
[ z cos
isen ]
3
3
7
7
[ z 2 cos isen ]
6
6
6. z 3 i
7. z
1
cos isen ]
4
3 1
i
4 4
[z
1
11
11
cos isen ]
2
6
6
[ z 2 cos isen ]
4
4
8. z 1 i
[ z 2 cos isen ]
6
6
9. z 3 i
[ z cos
10. z i
150
isen ]
2
2
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
Prodotto e quoziente tra numeri complessi utilizzando la forma trigonometrica
Utilizzando la forma trigonometrica le operazioni di moltiplicazione e divisione tra numeri
complessi vengono espresse in modo molto più semplice e significativo.
Infatti sviluppando abbiamo:
z1 z 2 1 cos isen 2 cos isen
1 2 cos cos sen sen icos sen sen cos
1 2 cos isen
Quindi il prodotto di due numeri complessi risulti un numero complesso avente per modulo il
prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti dei due numeri.
z1 1 cos isen 1 cos isen cos isen
z 2 2 cos isen 2 cos isen cos isen
cos cos sen sen i sen cos cos sen
cos 2 sen 2
1
2
1
cos isen
2
Quindi il quoziente di due numeri complessi risulta un numero complesso avente per modulo il
rapporto tra i moduli e per argomento la differenza degli argomenti dei due numeri.
Nota
Da un punto di vista “geometrico” le operazioni di prodotto e quoziente tra numeri complessi
possono quindi essere viste come l’applicazione di una rotazione composta con un’omotetia:
infatti se il numero z 2 ha modulo 2 e angolo associato , il prodotto z1 z 2 si trova ruotando
z
z1 dell’angolo e poi applicando l’omotetia O; 2 mentre il quoziente 1 si trova ruotando
z2
1
z 1 dell’angolo e poi applicando l’omotetia O;
2
151
.
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
Per esempio moltiplicare un numero complesso z per un numero complesso di modulo 1 e
argomento equivale a ruotare z di , mentre dividerlo per un numero complesso di modulo 1
e argomento equivale a ruotare z di .
Quindi come caso ancora più particolare moltiplicare un numero complesso z per i equivale a
ruotarlo di 90°.
152
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
Esercizi
1) Calcola il prodotto dei seguenti numeri complessi e scrivi il risultato in forma algebrica:
1
2
2
cos isen
2
3
3
2. z1 2 cos isen
6
6
1. z1
4
5
5
cos isen
3
6
6
3
3
4. z1 cos isen
4
4
3
3
5. z1 cos isen
4
4
3. z1
2
5
5
cos isen
3
6
6
1
z 2 cos isen
2
3
3
1
[ z1 z 2 i ]
3
z2
1
cos isen
2
3
3
11
11
z 2 2 cos isen
4
4
z 2 cos isen
4
4
z2
[ z1 z 2 i ]
[ z1 z 2
3 1
i ]
3 3
[ z1 z 2 2i ]
[ z1 z 2 1 ]
2) Calcola il quoziente tra i seguenti numeri complessi e scrivi il risultato in forma algebrica:
7
7
1. z1 6 cos isen
4
4
z 2 2 cos isen
2
2
7
7
2. z1 cos isen
4
4
3
3
z 2 cos isen
4
4
7
7
3. z1 cos isen
6
6
5
5
z 2 cos isen
6
6
4. z1 cos 0 isen0
z2
5. z1 cos 0 isen0
z 2 cos
1
cos isen
2
6
6
153
isen
2
2
[
z1
3
3
i ]
z2
2
2
[
[
z1
1 ]
z2
z1 1
3
i ]
z2 2 2
[
z1
3 i ]
z2
[
z1
i ]
z2
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
Potenza di un numero complesso
Utilizzando la forma trigonometrica si può calcolare facilmente la potenza di un numero
complesso poiché se z (cos isen ) abbiamo , proprio per quanto osservato per il prodotto
z n n (cos(n ) isen(n ))
Radici n-esime di un numero in campo complesso
a) Radici n-esime dell’unità
Quali sono le soluzioni, in campo complesso, di z n 1 ?
In campo reale se consideriamo x n 1 abbiamo soluzioni 1 se n è pari e soltanto 1 se n è
dispari.
Esempi: x 2 1 x1, 2 1 ;
x3 1 x 1
Ma in campo complesso?
Scrivendo z in forma trigonometrica abbiamo:
z cos isen z n n cos(n ) isen(n )
Quindi se vogliamo che z n 1 , essendo 1 1 cos 0 isen0 dobbiamo avere n 1 1 e
k 0 1 0
k 1 2 2
2k
n
n 2k
n
....
2n 1
k n 1 n
n
Quindi ponendo k 0 , 1, .... , n 1 otterrò n soluzioni distinte.
154
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
Esempio 1:
Risolviamo z 3 1 .
Abbiamo 1 e
2k
2
4
e quindi
0,
,
3
3
3
2
2
4
4
z1 1, z 2 cos
isen
isen
, z 3 cos
3
3
3
3
Possiamo rappresentare le tre soluzioni nel piano complesso ed osservare che risultano i vertici di
un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di centro l’origine e raggio 1.
Esempio 2 : risolviamo z 4 1
2k
3
Abbiamo 1,
0 , , 3 , 4 e quindi abbiamo:
4
2
2
z1 1, z 2 i , z 3 1, z 4 i
155
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi b) Radici n-esime di un numero complesso (in generale)
Consideriamo l’equazione z n z 0 dove z 0 è un generico numero complesso.
Scriviamo sia z che z 0 in forma trigonometrica:
z 0 0 cos 0 isen 0 , z cos isen z n n cosn isenn
Quindi perché sia z n z 0 in questo caso dovrà essere:
n 0 n
n 0 2k
0 2k
n
con
k 0 , 1, .....n 1
Esempio 1
Risolviamo z 3 8i .
2k
In questo caso 0 8 , 0 e avremo quindi 2 , 2
, con
3
2
k 0 , 1, 2
5
5
3
3
z1 2 cos isen , z 2 2 cos isen , z 3 2 cos isen
6
6
6
6
2
2
Esempio 2
Risolviamo z 4 1 i
In questo caso 0 2 , 0
e avremo quindi
4
2k
4
4
2,
k , con
4
16
2
k 0,1,2,3
156
Progetto Matematica in Rete
- I numeri complessi -
Esercizi
1) Calcola le potenze dei seguenti numeri complessi dopo averli trasformati in forma trigonometrica
e rappresentale nel piano di Gauss:
a) z
1
3
i
2 2
z 2 ... , z 3 ... ,….. z 6 ..
1
3
1
3
1
3
[ z2
i ; z 3 1 ; z 4
i ; z5
i ; z6 1 ]
2 2
2 2
2 2
b) z 2 2i
z 2 ... , z 3 ... ,….. z 8 ..
[ z 2 4i ; z 3 4 2 4 2i ; z 4 16 ; z 5 16 2 16 2i ; z 6 64i ;
z 7 64 2 64 2i z 8 2 8 ]
2) Risolvi in campo complesso le seguenti equazioni,rappresenta le soluzioni nel piano complesso
ed esprimile anche in forma algebrica:
a) z 2 i
[ z1
b) z 2 4i
2
1
2
i , z2
1
2
1
2
i ]
[ z1 2 2i , z 2 2 2i ]
[ z1 3 i , z 2 3 i , z 3 2i ]
c) z 3 8i
d) z 4 1 i
1
[ z1 8 2 , z 2 8 2i , z 3 8 2 , z 4 8 2i ]
e) z 5 1
2k
2k
[ z cos
isen
, k 0,1,2,3,4 ]
5
5
f) z 5 i
2
2
[ z cos k isen k , k 0,1,2,3,4 ]
10 5
10 5
157
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Geometria dello spazio
RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
Una retta è individuata in modo univoco da due punti.
Un piano può essere individuato in modo univoco da:
tre punti non allineati
una retta e un punto esterno ad essa
due rette incidenti
due rette parallele
Posizione reciproca di due rette nello spazio
Due rette nello spazio possono essere:
parallele:
incidenti:
sghembe:
sono due rette complanari che non hanno punti in comune
sono due rette complanari che hanno un punto in comune
sono rette che non sono complanari
(e che perciò non hanno nessun punto in comune)
Date due rette sghembe r e s la distanza tra r e s è l’unico segmento perpendicolare ad entrambe.
Tale segmento può essere determinato tracciando il piano α passante per s e perpendicolare a r e,
detto P il punto di intersezione di r con α, calcolando la distanza PH tra P e s.
158
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio Posizione reciproca di due piani nello spazio
Due piani nello spazio possono essere:
paralleli:
sono due piani che non hanno punti in comune
incidenti:
sono due piani che hanno una retta in comune
Per i piani paralleli vale il
Teorema di Talete nello spazio
Un fascio di piani paralleli intersecati da due trasversali intercetta su di esse segmenti
corrispondenti proporzionali.
159
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio Due piani incidenti, hanno invece una retta in comune e dividono lo spazio in quattro parti
chiamati diedri o angoli diedri. La retta comune ai due piani è detta spigolo del diedro.
Dato un diedro, le sezioni del diedro ottenute con piani perpendicolari allo spigolo sono angoli
tutti congruenti. La misura di una qualunque sezione normale di un diedro è la misura
dell’ampiezza del diedro stesso, perciò se la sezione normale del diedro è 60°, diremo che il
diedro misura 60°.
Posizione reciproca di una retta e di un piano nello spazio
Data una retta r ed un piano
r è parallela ad se non hanno punti in comune
r appartiene ad se tutti i punti di r sono anche punti di
r è incidente con se r e hanno un punto P in comune
In questo ultimo caso la retta r forma un angolo con il piano . Tale angolo si ottiene proiettando
i punti di r su ed è minore dell’angolo che r forma con una qualunque altra retta di passante
per il punto di intersezione P.
Un caso particolare del precedente si ha quando l’angolo che r forma con a è 90°.
Diremo che r è perpendicolare al piano se è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per
il punto di incidenza P.
160
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
ll teorema delle tre perpendicolari
Se dal piede P di una retta r perpendicolare ad un piano , si traccia la perpendicolare AP ad
una retta s del piano , se Q è un qualunque punto su r , allora QA è perpendicolare alla retta s .
Prendiamo i punti B e C sulla retta s in modo che BA AC .
Si osserva che i triangoli PAB e PAC sono congruenti e quindi PB PC .
Ma allora anche i triangoli QPB e QPC sono congruenti e quindi QB QC .
Allora il triangolo QBC è isoscele e poiché QA è mediana risulta anche altezza e quindi QA è
perpendicolare alla retta s .
161
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Angoloide
L’angoloide è la parte di spazio individuata da n (n>3) semirette aventi origine comune, a tre a tre
non complanari e tali che il piano individuato da due semirette successive lasci tutte le altre dalla
stessa parte.
Le semirette sono dette spigoli dell’angoloide, la loro origine comune è il vertice e gli angoli
formati da due spigoli consecutivi sono le facce dell’angoloide.
Un angoloide con tre spigoli o facce è detto angoloide triedro o semplicemente triedro, con
quattro facce abbiamo un angoloide tetraedro.
Vale la seguente proprietà:
In ogni angoloide di vertice V la somma degli angoli in V delle facce è minore di un angolo giro.
162
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio POLIEDRI
Definizione di poliedro
Si chiama poliedro convesso la porzione di spazio delimitata da poligoni a due a due non
complanari tale che ogni lato dell’uno sia in comune ad un altro di essi e il piano individuato da
ogni poligono lasci tutti gli altri dalla stessa parte.
Per tutti i poliedri convessi vale la
Relazione di Eulero
Dato un qualunque poliedro convesso, indicato con F il numero delle facce, con V il numero dei
vertici e con S il numero degli spigoli si ha che F+V=S+2
Dimostrazione
Consideriamo una sola faccia: F=1 e V=S, per cui
F+V=S+1.
(*)
Aggiungiamo un’altra faccia: F aumenterà di 1 e se V aumenta di x, S aumenterà della quantità
x+1, e quindi vale ancora che
(F+1)+(V+x)=(S+x+1) +1
e la relazione (*) resta invariata.
Continuiamo ad aggiungere così una faccia alla volta in modo che alla fine rimanga da aggiungere
solo l’ultima faccia: in questo caso F aumenterà di 1 e V e S rimarranno invariati, perciò si avrà
F+V=S+2
163
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Prisma
Un prisma è un poliedro delimitato da due basi uguali e
ugualmente disposte su piani paralleli, avente per facce laterali
dei parallelogrammi ottenuti congiungendo i vertici
corrispondenti dei poligoni di base.
La distanza tra i piani delle basi è l’altezza del prisma.
Un prisma è retto se le se gli spigoli laterali sono perpendicolari
ai piani delle basi e se perciò le facce laterali sono rettangoli.
In un prisma retto gli spigoli laterali sono anche altezze.
Un prisma retto è regolare se ciascuna delle basi è un poligono
regolare.
Volume e superficie di un prisma retto
S L 2 p base h
S T 2 S base S L
V S base h
Parallelepipedo
Un parallelepipedo è un prisma in cui anche le basi sono parallelogrammi.
Le facce del parallelepipedo sono a due a due congruenti
e parallele.
Un parallelepipedo è rettangolo se ha per facce rettangoli
a due a due opposti, congruenti e paralleli. E’ un prisma
retto che ha per basi dei rettangoli.
Volume e superficie di un parallelepipedo rettangolo
S L 2 p base h 2(a b)c
S T 2 S base S L 2ab 2(a b)c 2(ab bc ac)
V S base h abc
d a2 b2 c2
164
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Cubo
Il cubo o esaedro regolare è un poliedro che ha per facce sei quadrati uguali.
E’ evidente che il cubo è un particolare parallelepipedo, avente le tre dimensioni uguali:
a=b=c=l.
Volume , superficie , diagonale di un cubo di lato l
ST 6l 2
V Sbase h l 3
d ( 2l ) 2 l 2 3l
Piramide
La piramide si ottiene tagliando un angoloide con un piano che non passi per il vertice e che
incontri tutti gli spigoli. E’ perciò un poliedro limitato da un poligono (base) e da triangoli (facce
laterali).
A seconda del tipo di poligono di base si parla di piramide triangolare o tetraedro, quadrangolare,
pentagonale….
L’altezza della piramide è la distanza dal vertice V al piano della base
Una piramide dice retta se il poligono di base è circoscrivibile ad una circonferenza e l’altezza
cade nel centro di questa.
Una piramide retta si dice regolare se il poligono di base è un poligono regolare.
Se una piramide è retta, le altezze delle facce laterali sono tutte uguali e prendono il nome di
apotema che indichiamo con a..
165
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio Superficie e volume di una piramide retta
a2 h2 r 2
1
S L (2 pbase a )
2
1
ST S base S L S base (2 pbase a )
2
1
V S base h
3
Volume della piramide
Per ricavare il volume della piramide ricordiamo il
Principio di Cavalieri
Due solidi che si possono disporre rispetto ad un piano in modo che ogni piano parallelo a questo
individui su di essi sezioni equivalenti, sono tra loro equivalenti, hanno cioè lo stesso volume.
Utilizzando questo principio si può dimostrare che due piramidi che hanno basi equivalenti e
stessa altezza hanno lo stesso volume.
Dimostriamo la formula del volume per una piramide a base triangolare.
D
F
E
P2
P3
P1
A
C
B
Consideriamo la piramide a base triangolare ABCE e costruiamo un
prisma avente la stessa base ABC e BE come spigolo laterale.
Il piano ACE divide il prisma in due piramidi:la piramide ABCE (P1)
e la piramide ADFCE (P2+P3) che può essere scomposta nelle
piramidi P2 e P3 dal piano EDC. Si osserva che P2 e P3, avendo basi
ADC e DFC equivalenti (entrambe metà dello stesso
parallelogrammo), e la stessa altezza (avendo lo stesso vertice E)
sono equivalenti. D’altra parte P2 e P1 sono equivalenti avendo basi
ABC e EFG congruenti e stessa altezza (quella del prisma). Segue che
P1, P2, e P3 sono equivalenti e la piramide P1 ha volume pari alla
terza parte del prisma.
Poiché una qualunque piramide a base poligonale può essere scomposta in
più piramidi a base triangolare aventi tutte la stessa altezza si ha che
V
1
1
1
1
V ST 1 h ST 2 h ... STn h Sbase h
3
3
3
3
T1
T3
T2
166
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Tronco di piramide
Il tronco di piramide si ottiene tagliando una piramide con un piano parallelo alla base.
L’altezza del tronco di piramide è
la distanza tra i piani delle basi .
V
apotema
del tronco
x
apotema
della
piramide
Un tronco di piramide si dice
tronco di piramide retta se è
stato ottenuto sezionando una
piramide retta.
h
Un tronco di piramide retta si dice
tronco di piramide regolare se il
poligono di base è regolare.
Nel tronco di piramide retta le altezze delle facce laterali, che sono tutte trapezi, sono tutte uguali
e prendono il nome di apotema del tronco at.
Volume e superficie di un tronco di piramide retta
Indichiamo con B la base maggiore e con b quella minore
1
S L (2 pB 2 pb ) at
2
1
ST B b S L B b (2 pB 2 pb ) at
2
1
V ( B b Bb ) h
3
Dimostriamo la formula per il volume.
Per la similitudine si ha
x2
b
x
da cui
2
( x h)
B
( x h)
b
B
e quindi si ha
x B b x h
x
b h
B b
b h B b
Bb
e quindi
1
1
1
1
B x h bx Bh B b x Bh b h B b
3
3
3
3
1
h
Bh h Bb bh B b Bb
3
3
V
167
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Poliedri regolari
Un poliedro convesso si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari tutti uguali e i
suoi angoloidi sono uguali.
Quanti sono i poliedri regolari?
Ricordiamo che in un angoloide le facce sono almeno tre e che la somma degli angoli delle facce
è minore di un angolo giro. Ciò limita la possibilità di ottenere poliedri regolari a cinque casi.
Poligoni
regolari
Triangoli
equilateri
(angoli 60 °)
Quadrati
(angoli di 90°)
Pentagoni
(angoli di 108°)
Esagoni
(angoli 120°)
Numero di
facce in un
vertice
3
4
5
6
3
4
3
4
3
Somma
degli
angoli
delle facce
180°<360°
240°<360°
300°<360°
360°=360°
270°<360°
360°=360°
324°<360°
432°>360°
360°=360°
Nome del
poliedro
N.
Vertici
N.
Spigoli
N.
Facce
Tetraedro
Ottaedro
Icosaedro
Non esiste
Cubo o Esaedro
Non esiste
Dodecaedro
Non esiste
Non esiste
4
6
12
6
12
30
4
8
20
8
12
6
20
30
12
Storicamente lo studio dei poliedri regolari si fa risalire a Pitagora nella cui scuola assunsero un
ruolo magico e vennero chiamate figure cosmiche. Platone li collegava alle forme degli elementi
della natura:
cubo = particelle di terra
tetraedro = fuoco
ottaedro = aria
icosaedro = acqua
dodecaedro = la forma dell’Universo
168
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Problemi di geometria solida
Poliedri
1.
Considera un tetraedro regolare di spigolo l. Determina superficie e volume. Determina
l’angolo diedro formato da due facce del tetraedro.
2 3
1
[S= 3l 2 ;V=
l ; cos 70,5 ]
12
3
2.
Considera una piramide retta avente per base un triangolo equilatero ABC di lato l e
avente angolo diedro AHV
(AH altezza del triangolo relativa a BC ). Determina
3
superficie e volume della piramide.
3 3 2
3 3
[S=
l ;V
l ]
4
24
3.
Considera una piramide retta avente per base un triangolo equilatero ABC di lato l.
Esprimi in funzione dell’angolo diedro x= AHV (AH altezza del triangolo relativa a BC,
V vertice della piramide) superficie e volume della piramide. Per quale x il volume risulta
l3
?
24
3 2
1
l3
[S(x)=
]
l (1
);V ( x)
tgx x=
4
cos x
24
4
4.
Considera una piramide retta avente per base un quadrato ABCD di lato l e detto
x= OHV (O centro del quadrato , H punto medio di un lato del quadrato, V=vertice
piramide) determina superficie e volume della piramide in funzione di x.
l3
1
[S(x)= l 2 (1
) ; V(x)= tgx ]
6
cos x
5.
Per quale x dell’esercizio precedente si ottiene metà di un ottaedro regolare?
1
[cos x=
x 54,7 ]
3
6.
Considera una piramide retta avente per base un esagono regolare di lato l. Se OHV
3
dove O è il centro dell’esagono, H il punto medio di uno spigolo di base e V il vertice,
determina superficie e volume della piramide.
3 2
3
[S = 9
l ;V =
3l 3 ]
2
4
169
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio 7.
Considera una piramide avente per base un rettangolo ABCD con AB 2l e BC l e
avente il piede dell’altezza O = punto di incontro delle diagonali di base. Se OHV =
3
(dove H = punto medio di BC, V = vertice piramide ) determina superficie e volume della
piramide.
2
[S = (4 13 )l 2 ;V
3l 3 ]
3
8.
Considera una piramide P di altezza h e vertice V e tagliala con un piano parallelo alla
base, distante h’ da V , individuando così una piramide P’ di altezza h’. Dimostra che tra il
volume V di P e il volume V’ di P’ esiste la relazione:
V ' h'
V h
9.
3
A quale distanza h’ dal vertice V di un tetraedro regolare VABC di spigolo l si deve
condurre un piano parallelo alla base ABC in modo da staccare un tetraedro VA’B’C’
avente volume pari alla metà del volume del tetraedro VABC ?
2
1
[h’ =
l*3 ]
3
2
10.
Determina lo spigolo dell’ottaedro regolare inscritto in un cubo di spigolo l (si
congiungono i centri delle facce del cubo).
l
[
2]
2
11.
Determina lo spigolo del cubo inscritto in un ottaedro regolare di spigolo l.
[
12.
2
l]
3
Determina lo spigolo del tetraedro regolare inscritto in un tetraedro regolare di spigolo l.
l
[
]
3
170
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio SOLIDI DI ROTAZIONE
Si chiama solido di rotazione il solido generato dalla rotazione di una figura piana intorno ad una
retta r secondo un angolo α.
Se α è un angolo giro allora si dice che la rotazione è completa.
In ogni rotazione completa ogni punto P della figura piana descrive una circonferenza
appartenente al piano perpendicolare a r passante per P.
Fra i solidi di rotazione iniziamo con lo studiare cilindro, cono e sfera.
Cilindro circolare retto
(o semplicemente cilindro)
Il cilindro circolare retto (o semplicemente cilindro) è il solido
di rotazione generato dalla rotazione completa di un rettangolo
attorno ad uno dei suoi lati.
Il lato attorno a cui ruota il rettangolo è detto altezza del cilindro.
Gli altri due lati perpendicolari all’altezza sono detti raggi di
base.
Un cilindro si dice equilatero quando h=2r
Volume e superficie di un cilindro
S L 2 pbase h 2r h
ST 2 B S L 2r 2 2r h
V Bh r 2 h
La formula del volume è analoga a quella del prisma poiché per il principio di Cavalieri il cilindro
è equivalente ad un prisma che ha base equivalente e uguale altezza.
Un prisma retto è inscritto in un cilindro se le basi del prisma sono inscritti nelle basi del
cilindro
Un prisma retto è circoscritto ad un cilindro se le basi del prisma sono poligoni circoscritti ai
cerchi di base del cilindro ed ogni faccia laterale del prisma è tangente alla superficie
laterale del cilindro.
171
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Cono circolare retto
(o semplicemente cono)
Il cono circolare retto (o semplicemente cono) è il solido di rotazione generato dalla rotazione
completa di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti.
Il lato attorno a cui ruota il triangolo è detto altezza h del
cono. L’altro cateto è il raggio di base r. L’ipotenusa del
triangolo rettangolo descrive la superficie laterale ed è detta
apotema a.
Un cono si dice equilatero quando a=2r, cioè quando la sezione che si ottiene tagliandolo con un
piano perpendicolare alla base passante per il vertice è un triangolo equilatero.
Volume e superficie di un cono
1
2 pbase a r a
2
ST B S L r 2 r a
SL
V
1
1
B h r 2 h
3
3
La formula del volume è analoga a quella della piramide poiché per il principio di Cavalieri il
cono è equivalente ad una piramide avente la stessa altezza e la cui base abbia la stessa area della
base del cono.
La formula dell’area della superficie laterale si ottiene dal fatto che tale superficie può essere
sviluppata in un settore circolare di raggio pari all’apotema a e perciò essa , ricordando che l’area
1
di un settore circolare è pari a * arco * raggio ,
2
Sl
1
2 r a = r a
2
172
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Tronco di cono
Il tronco di cono si ottiene tagliando un cono con un piano parallelo alla base , oppure può essere
pensato come la rotazione completa di un trapezio rettangolo intorno al lato perpendicolare alle
basi.
Volume e superficie di un tronco di cono
Con una simbologia ed una dimostrazione analoga a quella vista per il tronco di piramide si ha,
indicando con B la base maggiore di raggio R , con b quella minore di raggio r e con at
l’apotema del tronco:
1
(2 pB 2 pb ) at 1 (2R 2r ) at ( R r ) at
2
2
1
ST B b S L B b (2 pB 2 pb ) at R 2 r 2 ( R r )at
2
1
h 2
V ( B b Bb ) h
( R r 2 Rr )
3
3
SL
173
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Sfera
La sfera è il solido di rotazione generato dalla rotazione
completa di un semicerchio intorno al diametro, oppure è
l’insieme dei punti dello spazio la cui distanza da un punto
fisso, detto centro, è minore o uguale alla lunghezza di un
segmento assegnato detto raggio.
I punti per cui la suddetta distanza dal centro è pari al raggio
formano la superficie sferica.
Tagliando la superficie sferica con un qualunque piano α si ottiene una circonferenza che ha
raggio massimo quando α passa per il centro.
Volume e superficie di una sfera
S 4r 2
4
V r 3
3
Volume della sfera
Dimostriamo la formula per il volume mediante passi successivi.
1)
Un cilindro avente raggio e altezza r è equivalente alla somma di un cono avente raggio e
altezza r e di una semisfera di raggio r.
Infatti se taglio i tre solidi con un piano parallelo ad una distanza h dal piano di appoggio, le
sezioni hanno aree rispettivamente r 2 , h 2 e (r 2 h 2 ) che sono quindi legate dalla seguente
relazione
r 2 h 2 r 2 h 2
2)
Per il principio di Cavalieri si ha
volume cilindro = volume semisfera + volume cono e quindi
1
4
volumesfera V 2(volumecilindro volumecono) 2 r 2 r r 2 r r 3
3
3
174
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Superficie della sfera
Dimostriamo ora in modo intuitivo e non rigoroso la formula della misura della superficie.
Supponiamo di dividere la superficie sferica in aree A1, A2, …, An individuate da paralleli e
meridiani.
Possiamo considerare il volume come la somma dei volumi delle n “piramidi” di base Ai e altezza
r.
Quindi
4 3 1
1
1
r A1r A2 r ... An r
3
3
3
3
4 3 1
r rA A 4r 2
3
3
Parti della superficie sferica e della sfera
Calotta (segmento sferico ad una base) e zona sferica (segmento sferico a due basi).
Dato un piano α secante una sfera, esso divide la sua superficie sferica in due parti ciascuna delle
quali è detta calotta (la circonferenza della sezione è detta base della calotta, il diametro della
sfera passante per il centro della base della calotta, incontra la calotta in un punto detto vertice e
la distanza del vertice al centro della base è detta altezza della calotta).
Se invece consideriamo la sfera tagliata da un piano, individuiamo due parti ciascuna delle quali è
detta segmento sferico ad una base.
Due piani paralleli dividono una superficie sferica in tre parti: due calotte e la parte compresa tra i
due piani chiamata zona sferica (la distanza tra i centri delle basi della zona sferica è l’altezza
della zona).
Considerando la sfera tagliata da due piani paralleli, la parte compresa tra i due piani è detta
segmento sferico a due basi.
175
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Fuso sferico
Si chiama fuso sferico ciascuna delle due parti in cui resta divisa una superficie sferica da due
semipiani aventi come origine una retta passante per il centro della sfera.
Detta α l’ampiezza del diedro si ha che
S f : 4R 2 : 360
Spicchio sferico
Lo spicchio sferico è la parte di sfera delimitata da un fuso sferico e dai due semicerchi, lati del
fuso
4
VS : R 3 : 360
3
176
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Altri solidi di rotazione
Oltre a cilindro,cono, sfera possiamo studiare molti altri solidi ottenuti dalla rotazione completa di
una figura attorno ad una retta.
Vediamo alcuni esempi.
Esempio 1
Consideriamo un triangolo, per esempio acutangolo, ABC e ruotiamolo intorno alla base AB.
Nella rotazione il vertice C descriverà una circonferenza di raggio CH (vedi figura) e il solido
risulterà costituito da due coni di raggio CH uniti per la base.
Possiamo calcolare superficie e volume del solido ottenuto:
S CH AC CH CB
V
(somma delle superfici laterali dei due coni)
2
2
2
2
CH AH CH HB CH ( AH HB) CH AB
3
3
3
3
177
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Esempio 2
Consideriamo il solido ottenuto dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo ABCD intorno
alla sua base minore.
In questo caso otteniamo un cilindro \ cono (un cilindro a cui si sottrae un cono) e quindi:
2
S Bcilindro S l ( cilindro ) S l ( cono ) AB 2 AB AD AB CD
2
2
1
V Vcilindro Vcono AB AD AB HD
3
Esempio 3
Consideriamo il solido ottenuto dalla rotazione completa di un trapezio isoscele ABCD attorno
alla retta r (vedi figura).
Si ottiene un tronco di cono \ cono e quindi:
S Btronco btronco bcono S l (tronco ) S l ( cono )
V Vtronco Vcono
178
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Problemi di geometria solida
Corpi rotondi
1. Considera il solido ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo isoscele ABC
intorno all’ ipotenusa AB. Sapendo che i cateti misurano AC BC a , determina superficie
e volume del solido.
2 3
[S 2a 2 ; V =
a ]
6
2. Considera un trapezio isoscele ABCD avente lato obliquo BC l e base minore CD l e gli
angoli adiacenti alla base maggiore uguali a . Considera il solido ottenuto dalla rotazione
3
completa del trapezio intorno alla base maggiore AB e determinane superficie e volume.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
[S = 2 3l 2 ; V = l 3 ]
3
Considera un triangolo ABC avente cos(CAB ) , AC l e ABC . Considera il
5
6
solido ottenuto dalla rotazione completa del triangolo intorno al lato AB e determinane la
superficie.
52 2
[S =
l ]
25
Considera un triangolo isoscele ABC di base AB 2l e poni gli angoli alla base uguali ad x.
Considera il solido ottenuto dalla rotazione completa del triangolo intorno alla retta per A
perpendicolare ad AB e determinane superficie e volume (in funzione di x). Per quale x il
volume risulta 2 3l 3 ?
1
[S(x) = 4l 2 (1
) ; V(x) = 2l 3 tgx ; x ]
cos x
3
Considera un trapezio rettangolo ABCD avente base maggiore AB 2l , base minore CD l
e ABC . Considera il solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla
4
5
base minore CD e determinane superficie e volume.
[S = l 2 (5 2 ) ; V = l 3 ]
3
Determina il raggio r della sfera inscritta e il raggio R della sfera circoscritta ad un cono di
raggio l e altezza 2l .
5
2l
[r=
; R= l ]
4
5 1
Determina il raggio r della sfera inscritta e il raggio R della sfera circoscritta ad un cono
l
l
equilatero di diametro l .
[r =
]
3 ;R=
6
3
Determina il raggio r della sfera inscritta e il raggio R della sfera circoscritta ad un
a) cubo di spigolo l;
b) tetraedro regolare di spigolo l ;
c) ottaedro regolare di spigolo l .
[ r=
l 3
l 6
l 6
l
; R=
; r=
; R=
;
2
12
4
2
179
r=
l
6
; R=
l
2
]
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Problemi di ricapitolazione di geometria solida
1) Sia ABCV una piramide retta avente per base un triangolo equilatero ABC di lato l . Detto O il
piede dell’altezza VO e posto x OBV , determina superficie e volume della piramide in
l3
funzione di x. Per quale x il volume risulta V
?
12
l3
3 2
l 1 4tg 2 x 1 ; V ( x) tgx ; x ]
12
4
4
[ S ( x)
2) Considera una piramide avente per base un rettangolo ABCD con AB a e BC 2a .
Supponendo che l’altezza cada nel punto di incontro O delle diagonali di base e detto x OHV ,
dove H è il punto medio di BC, determina, in funzione di x, superficie e volume della piramide.
a3
Per quale valore di x il volume risulta V
?
3
[ S ( x ) 2a 2
a2
a2
1
tg 2 x 4 ; V ( x) a 3 tgx ; x ]
cos x 2
3
3
3) Considera il triangolo ABC avente AB AC l e
2
CAB . Determina superficie e
3
volume del solido che si ottiene dalla rotazione completa di ABC intorno ad AB.
[S
3
2
3 1 l 2 ; V
3
l ]
4
4) Considera un trapezio rettangolo ABCD retto in A e in D, avente AD DC a e base
maggiore AB 2a . Determina superficie e volume del solido che si ottiene ruotando ABCD
intorno alla retta per BC (lato obliquo).
[ S 4 2a 2 ; V
180
7
2a 3 ]
6
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
5) Considera una piramide retta avente per base un quadrato ABCD di lato l . Detto O il piede
dell’altezza OV e posto x OCV , determina, in funzione di x, superficie e volume della
piramide.
2 3
Determina per quale x il volume risulta V
l .
6
Se la piramide viene sezionata con un piano parallelo alla base staccando un segmento
1
VK VO , determina il rapporto tra il volume del tronco di piramide che si ottiene e il
3
volume della piramide ABCDV.
[ S ( x) l 2 1 2tg 2 x 1 ; V ( x)
6) Considera un triangolo ABC avente AB
V
26
2 3
=]
l tgx ; x ; tronco
6
4 V piramide 27
25
4
3
, tg ABC . Determina
a , tg BAC
2
3
4
superficie e volume del solido ottenuto dalla rotazione completa di ABC intorno alla retta per
C parallela ad AB.
[ S 255a 2 ; V 300a 3 ]
7) Considera una piramide retta avente per base un quadrato ABCD di lato l e, detto H il punto
medio di BC e O il centro del quadrato, supponi che OHV .
3
Determina superficie e volume della piramide.
Determina il raggio r della sfera inscritta.
[ S 3l 2 ; V
3 3
l 3
]
l ; r
6
6
8) Dato un cono di raggio r e altezza h , esprimi in funzione di r e h il raggio ri della sfera
inscritta nel cono e il raggio rc della sfera circoscritta al cono.
[ ri
181
rh
r r 2 h2
; rc
r 2 h2
]
2h
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio
9) Considera una piramide retta di vertice V e avente per base un triangolo equilatero ABC di
lato l . Indicato con O il piede dell’altezza, sapendo che OAV , determina superficie e
6
volume della piramide. Calcola inoltre (approssimandolo con l’uso della calcolatrice) l’angolo
diedro formato tra la faccia laterale e il piano di base della piramide.
[S (
3 7 2
3 3
)l ; V
l ; 49,14 ]
4
36
10) Considera una piramide avente per base un triangolo rettangolo ABC , retto in A, con
AB 3a e AC 4a .Sia AV a l’altezza della piramide. Determina superficie e volume
della piramide. Determina inoltre il volume del tronco di piramide ottenuto sezionando la
piramide data con un piano parallelo alla base passante per il punto medio di VA .
[ S 16a 2 ; V 2a 3 ; VT
7 3
a ]
4
11) Considera un trapezio isoscele di base minore DC 2l e lato obliquo di misura l . Se
determina la superficie e il volume del solido ottenuto dalla rotazione
ABC BAD
4
completa del trapezio attorno alla base minore.
[ S l 2 (3 2 2) V
12) Considera un triangolo ABC avente cos A
(3 2 ) 3
l ]
3
7
4
e cos B e AB 5l . Disegna il solido
25
5
che si ottiene dalla rotazione completa di ABC intorno alla retta per AB. Calcola superficie e
volume.
[S
312 2
192 3
l ; V
l ]
5
5
13)*Considera una piramide avente per base il quadrato ABCD di lato l e avente altezza
VA l (osserva che non si tratta di una piramide retta). Determina superficie e volume della
piramide (ricorda il teorema delle tre perpendicolari…).
l3
[ S 2l 2l ; V
]
3
2
182
2
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DELLO SPAZIO
La geometria analitica dello spazio
Il sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello spazio
Un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello spazio è costituito da tre rette x, y ,z
incidenti in O (origine) , a due a due perpendicolari ed orientate come in figura: un qualsiasi punto
P del piano è quindi individuato da una terna ordinata di numeri reali x; y; z detti
rispettivamente ascissa, ordinata e quota.
Il punto A x; y rappresenta la proiezione di P sul piano Oxy.
Distanza di un punto dall’origine del sistema
La distanza OP si può calcolare determinando prima OA 2 x 2 y 2 e poi applicando ancora il
2
2
teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OAP (retto in A): OP OA z 2 .
In conclusione :
OP
x2 y2 z2
Distanza tra due punti
Dati due punti A x A ; y A ; z A e B x B ; y B ; z B la
distanza AB si calcola in modo analogo al
procedimento usato per la distanza di un punto
dall’origine, pensando di portare l’origine del
sistema di riferimento in A e si ha quindi:
AB
xB x A 2 y B y A 2 z B z A 2
183
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Vettori
Nella geometria analitica dello spazio è particolarmente utile saper operare con i vettori.
Osserviamo che ad un punto P x; y; z possiamo sempre associare il vettore OP dove O è
l’origine del sistema di riferimento.
Somma di vettori
Se consideriamo i vettori OA con A x A ; y A ; z A e OB con B x B ; y B ; z B si dimostra facilmente
che OA OB è un vettore applicato nell’origine e avente come secondo estremo il punto
( x A xB ; y A yB ; z A z B ) .
Differenza di vettori
Se consideriamo i vettori OA con A x A ; y A ; z A e OB con B x B ; y B ; z B si dimostra facilmente
che OB OA è un vettore applicato nell’origine e avente come secondo estremo il punto
( x B x A ; y B y A ; z B z A ) .E’ importante osservare che il vettore OA OB è parallelo al vettore
AB .
Consideriamo
per
A0,0,2
esempio
e
B0,2,0 : il vettore OB OA ha come secondo
estremo 0,2,2 ed è parallelo al vettore AB
Vettori perpendicolari
Consideriamo due vettori OA x A , y A , z A e OB x B , y B , z B : se sono perpendicolari il triangolo
OAB è retto in O e quindi applicando il teorema di Pitagora avremo:
OA OB AB x A y A z A x B y B z B x B x A y B y A z B z A
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Sviluppando, dopo aver semplificato, otteniamo
x A xB y A yB z A z B 0
184
2
2
2
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Equazione di un piano
Consideriamo un piano : possiamo individuarlo conoscendo un vettore na, b, c
perpendicolare ad esso (viene chiamato vettore normale) e un punto Po xo , y o , z o .
(figura realizzata con Geogebra 3D)
P Po P è perpendicolare ad n e quindi
a x xo b y y o c z z o 0
Sviluppando abbiamo
Ponendo
ax by cz axo by o cz o 0
axo by o cz o d possiamo scrivere in definitiva
ax by cz d 0
che quindi rappresenta l’equazione di un piano perpendicolare al vettore v a, b, c .
Osserviamo che se d 0 il piano passa per l’origine O del sistema di riferimento.
185
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio Esempio
Supponiamo di avere n1,2,1 e Po 0,2,0 .
Il piano di vettore normale n passante per Po avrà equazione:
x 2 y 2 z 0 x 2 y z 4 0
Nota: se non abbiamo a disposizione un
software 3D e dobbiamo disegnare un piano di
data equazione possiamo aiutarci trovando le
intersezioni con gli assi.
Nel nostro caso per esempio abbiamo
A(4,0,0) , Po (0,2,0) , B(0,0,4)
Osservazioni
Il piano Oyz ha equazione x 0 e un piano parallelo al piano Oyz ha equazione x k .
Il piano Oxz ha equazione y 0 e un piano parallelo al piano Oxz ha equazione y k .
Il piano Oxy ha equazione z 0 e un piano parallelo al piano Oxy ha equazione z k .
Se c 0 è parallelo all’asse z;
Se b 0 è parallelo all’asse y;
Se a 0 è parallelo all’asse x.
186
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Piani paralleli
Due piani : ax by cz d 0 e : a ' x b' y c' z d ' 0 sono paralleli quando i vettori
a ' b' c '
normali sono paralleli e quindi quando a ' , b' , c' k a, b, c .
a b c
a ' b' c ' d '
Se si ha
i due piani sono coincidenti.
a b c d
Piani perpendicolari
Due piani : ax by cz d 0 e : a ' x b' y c' z d ' 0 sono perpendicolari quando i
vettori normali sono perpendicolari cioè quando il loro prodotto scalare è nullo e quindi quando
a a 'b b' c c' 0 .
Piano passante per tre punti non allineati
Come si determina l’equazione di un piano passante per tre punti assegnati?
Consideriamo per esempio A0;0;0 B1;1;1 e C 0;0;3 .
Per determinare le incognite a,b,c,d dell’equazione ax by cz d possiamo sostituire
nell’equazione generale le coordinate dei punti e risolvere il seguente sistema:
d 0
d 0
a b c d 0 a b c 0 a b 0 b a
3c d 0
c 0
Quindi l’equazione del piano è del tipo: ax ay 0 e poiché a 0 (altrimenti a,b,c sarebbero
tutti nulli) dividendo per a possiamo scrivere x y 0 .
Osserviamo che il piano passa per l’asse z.
187
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Equazione di una retta
L’equazione di una retta nello spazio può essere espressa come intersezione di due piani non
paralleli e quindi abbiamo:
ax by cz d 0
a ' b' c '
r:
(con , , non uguali tra loro)
a b c
a ' x b ' y c ' z d ' 0
Osservazione: naturalmente coppie diverse di piani incidenti possono rappresentare la stessa retta.
Ma c’è un modo più significativo di scrivere le equazioni di una retta r : se conosciamo un punto
P0 r e la direzione della retta data da un vettore parallelo alla retta v a, b, c (chiamato vettore
direzione), un qualsiasi punto P x, y, z r Po P è parallelo a v cioè
x x0 t a
x xo t a
y y0 t b y yo t b
z z t c
z z t c
0
o
dove t è un parametro reale (da qui il nome di equazioni parametriche della retta)
Nella figura seguente è stato disegnato il punto P corrispondente al valore del parametro t 1 .
Esempio
Le equazioni parametriche della retta r di direzione
v 1,2,2 passante per P0 0,0,3 sono:
x t
y 2t
z 3 2 t
188
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio Osservazioni
a) Le equazioni parametriche possono anche essere scritte anche in forma più compatta (è la
scrittura che compare nella “vista algebra” di Geogebra 3D):
x, y, z xo , yo , z o t a, b, c
b) Se v a, b, c è il vettore direzione della retta, lo sono anche i vettori k v ka, kb, kc con k 0
c) Se una retta è data come intersezione di due piani possiamo determinare la sua equazione
parametrica ponendo una variabile (tra quelle che compaiono nelle equazioni dei due piani)
uguale al parametro t e ricavando le altre in funzione di t.
x t
2 x z 3 0
Per esempio se abbiamo
e poniamo x t otteniamo y 2t
2 x y 0
z 2t 3
Retta passante per due punti
Come possiamo determinare le equazioni parametriche della retta passante per due punti
assegnati?
Consideriamo per esempio i punti A1,0,0 e B0,2,1 .
Se consideriamo i vettori associati ai due punti cioè OA1,0,0 e OB0,2,1 appare evidente che la
direzione della retta per A e B è data dal vettore AB (o dal vettore opposto) e quindi possiamo
prendere come vettore direzione il vettore differenza OB OA cioè v 1,2,1 e scrivere le
equazioni parametriche scegliendo come punto Po il punto A oppure B ( a piacere).
Per esempio possiamo scrivere:
x 1 t
rAB y 2t
z t
Ecco come appare questa retta utilizzando Geogebra 3D :
189
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Posizione reciproca di due rette
Sappiamo che due rette possono essere incidenti o parallele (se sono complanari) oppure
sghembe.
Vediamo come possiamo dedurre dalle equazioni informazioni sulla loro posizione reciproca.
1) Consideriamo per esempio le rette seguenti
x 1 t
y 2t ,
z 3 2t
x 2
y 1 4
z 4
Si osserva che i vettori direzione delle due rette 1;2;2 , 2;4;4 sono paralleli e quindi le rette
sono parallele (non sono coincidenti perché si verifica facilmente che non hanno punti in
comune).
2) Consideriamo ora le rette di equazione
x 1 3t
x 3
r : y 2t
, s : y 5 3
z 1 t
z 0
In questo caso i vettori direzione 3;2;1, 1;3;0 non sono paralleli. Vediamo allora se le rette
hanno un punto in comune oppure no.
Prendiamo il sistema formato dalle equazioni relative a due coordinate, per esempio alla y e alla z
2t 5 3
t 1
1 t 0
1
Quindi abbiamo trovato per ora y 2 , z 0 : andiamo a questo punto a sostituire i valori dei
parametri nelle rispettive equazioni per trovare l’ascissa:
r x 2, s x 2
Dal momento che abbiamo trovato la stessa ascissa le rette sono incidenti nel punto P2;2;0 .
Nota: se due rette incidenti hanno vettori direzione perpendicolari allora sono perpendicolari.
3) Se nell’esempio precedente sostituisco 2t al posto di 3t nell’ascissa di r cioè
x 1 2t
x 3
r : y 2t
, s : y 5 3
z 1 t
z 0
quando vado a sostituire i valori trovati di t e non trovo più lo stesso valore anche per l’ascissa
e quindi le rette non hanno punti in comune e , non essendo parallele, sono sghembe.
190
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio Distanza punto – piano
Consideriamo un piano : ax by cz d 0 e un punto Po xo ; y o ; z o .
Per calcolare la distanza del punto Po dal piano si dimostra una formula analoga al caso piano
distanza punto – retta cioè si ha
axo by o cz o d
d xo ; y o ; z o ; ax by cz d 0
.
a2 b2 c2
Nota: basta considerare l’equazione della retta per Po perpendicolare ad (che avrà come
vettore direzione a; b; c , intersecarla con e detto H il punto di intersezione , calcolare Po H .
Distanza punto – retta
Dato un punto Po e una retta r ( Po r ) , per trovare la distanza tra Po e r si deve trovare
l’equazione del piano per Po perpendicolare ad r , intersecare con la retta r e detto H il
punto di intersezione calcolare Po H .
Equazioni di superfici
Faremo solo un semplice esempio (per un approfondimento rimandiamo alla scheda 3 della
Geometria analitica dello spazio del laboratorio di informatica).
Quali sono le equazioni di una superficie sferica di centro C xC ; y C ; z C e raggio r ?
Poiché tutti i punti P x; y; z appartenenti alla superficie sferica hanno distanza PC r avremo:
x x C 2 y y C 2 z z C 2 r 2
Per esempio se C 1;2;3 e r 2 abbiamo:
x 12 y 22 z 32 4
191
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Esercizi
Geometria analitica dello spazio
I) Piani nello spazio
1. Scrivi l’equazione del piano passante per i punti A1;0;0 B0;3;1 C 2;2;0 .
[ 2 x y 5z 2 0
]
2. Disegna il piano α di equazione x 2 y z 4 0 .
(Suggerimento: interseca con gli assi coordinati)
3. Determina l’equazione del piano passante per P 1;1;1 e parallelo al piano di
equazione
x 2y z 3 0
[ x 2y z 2 0 ]
4. Determina la distanza tra l’origine e il piano passante per i punti A1;0;0 B0;1;0 C 0;0;1 .
[
1
]
3
5. Determina la distanza tra i piani : x y 0 e : x y 2 0 ( // )
[ 2]
6. Come risultano i piani : 2 x y z 1 0 e : 4 x 2 y 2 z 1 0 ?
[paralleli]
7. Come risultano i piani : x y 0 e : x y 0 ?
[perpendicolari]
1
8.Verifica che i punti A1;0;0 B0;2;0 C 0;0;1 e D ;1;0 sono complanari e determina
2
l’equazione del piano passante per essi.
[ 2x y 2z 2 0 ]
192
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
II)
Rette nello spazio
1. Determina le equazioni parametriche della retta r passante per A 1;4;5 e B0;3;3 .
a) Il punto P1;2;1 appartiene alla retta?
b) Determina l’intersezione di r con il piano xy .
x t
3 3
[ r y 3 t ; P r ; ; ;0 ]
2 2
z 3 2t
x z 1 0
2. Scrivi la retta r
in forma parametrica.
y z 1 0
x 1 t
[ y 1 t
z t
]
3. Come risultano le seguenti rette?
x 3 2t
r y 1 4t ;
z 2t
x
s y 3 2
z
[parallele]
4. Come risultano le rette seguenti?
x 1 2t
x 5
r y 1 7t ; s y 1 2
z 2t
z 3
[sghembe]
5. Come risultano r : x, y, z 1,0,0 1;1;1
s : x, y, z 1,0,0 t 1;1;0 ?
[incidenti e perpendicolari]
6. Determina la retta passante per P2;0;0 e perpendicolare al piano x y 0
[ x, y, z 2;0;0 t 1;1;0 ]
193
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
Esercizi di ricapitolazione geometria analitica dello spazio
1. Determina l’equazione del piano passante per i punti A1;0;2 , B0;1;3, C 0;0;3 .
[x z 3 0 ]
2. Determina l’equazione del piano passante per i punti A 1;0;1, B0;1;2, C 0;0;2 .
[ xz20 ]
3. Determina l’equazione del piano passante per il punto P 3;2;4 e parallelo al piano di
equazione 3 x 2 y z 5 .
[ 3 x 2 y z 17 0 ]
4. Scrivi le equazioni parametriche della retta passante per P4;2;5 e avente come vettore
direzione v 1;4;0 .
x 4 t
[ y 2 4t ]
z 5
5. Scrivi le equazioni parametriche della retta passante per i punti A 2;1;0 e B1;3;1 .
x 2 3t
[ y 1 2t
]
z t
2 x y z 1
6. Determina le equazioni parametriche della retta
.
x y z 2
2
x 1 3 t
1
[ y 1 t ]
3
z
t
x 1 2t
7. Come risultano le rette y 3t
z 1 6t
x 1
y 2 ?
z 5
[ sghembe]
x 1 t
8. Come risultano le rette y 2 2t
z 3t
x 2
y 1 4 ?
z 1 6
[ parallele]
194
Progetto Matematica in Rete
- Geometria dello spazio -
9. Determina l’equazione della retta passante per il punto P 2;5;6 perpendicolare alla retta di
x 1 t
equazioni y 2 t .
z 2t
x 2 4t
[ y 5 4t ]
z 6 4t
x 2t
10. Come risultano le rette y 1 3t
z 2 t
x 2 2
y 6 ?
z 1
[ incidenti in P 2;4;1 ]
x 1 3t
11. Come risulta la retta y 2
rispetto al piano di equazione x 2 y z 1 0 ?
z t
[ incidente nel punto P 8;2;3 ]
2 x z 7
12. Come risulta la retta
rispetto al piano di equazione 4 x 3 y 2 z 1 0 ?
y 6
[ parallela ]
13. Determina la distanza del punto P1;2;1 dal piano di equazione x 2 y 3 z 1 0 .
[
14
]
2
[
5 6
]
6
14. Determina la distanza tra i piani : x 2 y z 2 0 , : x 2 y z 3 0 .
15. Determina l’equazione del piano passante per il punto P1;2;3 e parallelo al piano di
equazione x 2 y 3 z 5 0 . Calcola la distanza tra essi.
[ x 2 y 3z 6 0 ,
195
1
14
]
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo combinatorio -
Calcolo combinatorio
Il principio fondamentale del calcolo combinatorio
Il principio fondamentale del calcolo combinatorio può essere enunciato così:
“Se dobbiamo fare N scelte e la prima scelta può essere fatta in n1 modi, la seconda scelta in n2
modi e così via fino all’N-esima scelta che può essere fatta in n N modi, allora la successione delle
N scelte può essere fatta in n1 n2 n3 n N modi diversi.”
Facciamo un esempio: supponiamo di voler organizzare una vacanza e di poter scegliere
la meta tra Parigi, Londra e Monaco
il mezzo di trasporto tra treno, aereo e auto
il periodo tra vacanze di Natale e vacanze di Pasqua
In quanti modi diversi possiamo organizzare la nostra vacanza?
Possiamo rappresentare la situazione con un “grafo ad albero”:
Ci accorgiamo che percorrendo i vari “rami” dell’albero abbiamo vacanze diverse: per esempio
seguendo le frecce in figura abbiamo Parigi, in treno, a Natale.
Quindi, poiché ogni percorso-vacanza termina nell’ultimo livello, per sapere quante vacanze
diverse possiamo organizzare basta contare le “terminazioni” dell’albero, che sono 18.
E’ chiaro anche che il numero delle “terminazioni” si ottiene moltiplicando 3 (possibilità per la
prima scelta) * 3 (possibilità per la seconda scelta)*2 (possibilità per la terza scelta) secondo il
principio fondamentale del calcolo combinatorio che abbiamo enunciato.
196
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo combinatorio -
Permutazioni
Se abbiamo n oggetti distinti e dobbiamo metterli in “fila”(quindi l’ordine è importante) quante
“file” (permutazioni) diverse possiamo fare?
Consideriamo per esempio la parola scuola: quanti anagrammi si possono fare?
Gli oggetti in questo caso sono le sei lettere della parola s,c,u,o,l,a e sono tutte distinte.
Immaginiamo di riempire in successione sei caselle (per formare l’anagramma cioè la nostra
“fila”): per riempire la prima casella ho 6 possibili scelte (posso usare una delle sei lettere), per
riempire la seconda casella però ho solo 5 possibili scelte perché una lettera l’ho già usata e non
posso ripeterla e così via fino al riempimento dell’ultima casella per la quale ho solo 1 scelta.
Quindi per il principio fondamentale del calcolo combinatorio avremo
6 5 4 3 2 1
possibili “file” cioè permutazioni dei 6 oggetti distinti (le lettere s,c,u,o,l,a ).
In generale il numero delle permutazioni di n elementi distinti sarà dato dal prodotto
n n 1 n 2
2 1
che viene indicato con il simbolo
n!
e si legge n fattoriale.
Il numero delle permutazioni di n elementi distinti viene in genere indicato con Pn e quindi
abbiamo:
Pn n n 1 n 2 2 1 n!
Osservazioni
n! cresce molto rapidamente: per esempio 5!=120 , 6!=720 , 7!=5040 ecc.
Si ha inoltre che n! n n 1!
Per convenzione si pone 0!=1
197
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo combinatorio -
Disposizioni semplici
Consideriamo adesso questo problema: quanti diversi codici di 5 cifre distinte si possono formare
con le 10 cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ?
E’ chiaro che anche in questo caso l’ordine è importante: si tratta di scegliere come riempire 5
caselle potendo scegliere tra un insieme di 10 elementi e quindi, ragionando come nell’esempio
precedente, avremo 10 possibilità di scelta per la cifra da mettere nella prima casella, 9 (perché le
cifre devono essere distinte) possibilità di scelta per la seconda casella e così via…
In conclusione possiamo comporre
10 9 8 7 6
codici diversi con cifre distinte.
In questo caso si parla di disposizioni di ordine 5 su 10 oggetti distinti e il loro numero si indica
con il simbolo D10,5 .
Generalizzando il numero delle disposizioni semplici cioè senza ripetizioni di k elementi scelti
tra n elementi distinti è
Dn ,k n n 1 n 2 n k 1
Note
E’ chiaro che k n e che nel caso in cui k n si ritrova il numero delle permutazioni Pn .
L’ultimo fattore risulta n k 1 n k 1 perché quando si riempie l’ultima casella (la kesima) abbiamo già scelto k-1 elementi e quindi abbiamo ancora solo n-(k-1) possibilità.
Osservazione
Possiamo esprimere il numero delle disposizioni Dn ,k anche utilizzando i fattoriali: se
moltiplichiamo e dividiamo per n k ! abbiamo :
Dn , k
n n 1
n k 1 n k ! n!
n k !
n k !
198
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo combinatorio -
Disposizioni con ripetizione
Riprendiamo l’esempio precedente: quanti sono i codici di 5 cifre anche ripetute che si possono
formare con le 10 cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ?
Se in questo caso posso ripetere le cifre per ogni casella da riempire avrò sempre 10 possibilità.
Quindi avrò 10 10 10 10 10 10 5 codici diversi.
In generale il numero delle disposizioni con ripetizione (possono ripetere gli elementi) di
rip
ordine k su n oggetti distinti si indica con Dn ,k e risulta
Dn , k
rip
nk
NOTA 1
Mentre se consideriamo le disposizioni semplici (senza ripetizione) Dn ,k è chiaro che dovrà essere
k n , nel caso delle disposizioni con ripetizione Dn ,k
rip
si può avere anche k n .
Per esempio se consideriamo la schedina del totocalcio in cui ci sono 13 caselle (corrispondenti
alle varie partite di campionato di una data domenica) che si possono riempire con i simboli 1,2,X
(1=vittoria della squadra che gioca in casa; 2=vittoria della squadra che gioca fuori casa; X=
rip
pareggio) le possibili schedine sono D3,13 313 e in questo caso k=13 e n=3.
NOTA 2
Abbiamo sempre considerato che gli elementi (di cui consideriamo le permutazioni o le
disposizioni) siano distinti (cioè diversi tra loro): ma se alcuni degli n elementi coincidono?
Come facciamo per esempio se dobbiamo calcolare quanti anagrammi si possono formare con la
parola classe in cui due lettere sono uguali?
Possiamo considerare all’inizio gli oggetti (le lettere) come se fossero tutti diversi (per esempio
pensando di associare alle due s due colori diversi) e quindi avremo 6! permutazioni.
Ma poiché in realtà due lettere coincidono permutandole tra loro ho sempre lo stesso anagramma:
per esempio classe e classe rappresentano lo stesso anagramma e così per ciascuna altra coppia
6!
tipo lcasse lcasse in conclusione avrò solo
permutazioni.
2!
In generale quindi se n1 elementi coincidono tra loro, n2 elementi sono uguali tra loro ecc.
dovremo dividere n! per n1! , n2 ! ecc.
5!
Per esempio gli anagrammi della parola mamma saranno
.
2!3!
199
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo combinatorio -
Combinazioni semplici
Cominciamo con il seguente problema.
"Nel gioco del poker ad ogni giocatore vengono distribuite 5 carte da un mazzo di 32. In quanti
modi diversi può essere servito un giocatore?"
Osserviamo subito che due gruppi di cinque carte sono diversi solo se differiscono per almeno una
carta mentre non è importante in quale ordine sono arrivate le cinque carte.
I modi possibili in cui ciascun giocatore può essere servito è quindi inferiori al numero delle
disposizioni semplici di 32 elementi a gruppi di 5: più precisamente ogni mano corrisponde a 5!
disposizioni diverse.
Quindi il numero dei gruppi di cinque carte diverse sarà dato da:
32 31 30 29 28
201376
5 4 3 2 1
Generalizzando viene data la seguente definizione:
Si chiama combinazione semplice di ordine k su n elementi distinti (k n) un gruppo (non mi
interessa l’ordine) di k elementi scelti tra gli n elementi.
Se indichiamo con C n ,k il numero delle combinazioni di ordine k su n elementi per quanto
osservato in precedenza si ha
C
n,k
D
P
Il numero delle combinazioni
n,k
k
C
n, k
n (n 1) (n 2)...(n k 1)
k!
si indica anche con il simbolo
n
che si legge "n su k" e
k
prende il nome di coefficiente binomiale
n n (n 1) (n 2)...(n k 1)
k!
k
Moltiplicando numeratore e denominatore per (n-k)! si ottiene
n
n!
k k!(n k )!
n n
Occorre inoltre osservare che avendo posto 0!=1 segue che 1
0 n
200
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo combinatorio -
Proprietà dei coefficienti binomiali
Prima proprietà
n n
k n k
Infatti abbiamo
n
n
n!
n!
n k (n k )!(n n k )! k!(n k )! k
Questa proprietà può essere facilmente spiegata osservando che ad ogni k-sottoinsieme in un
insieme di n elementi corrisponde un (n-k)-sottoinsieme (sottoinsieme complementare).
Seconda proprietà
Per 1<k<n-1 vale
n n 1 n 1
k k 1 k
Possiamo dimostrare questa proprietà algebricamente (utilizzando la formula per calcolare il
coefficiente binomiale e sviluppando), oppure facendo un ragionamento.
Proviamo a fare un esempio.
Supponiamo che ad un matrimonio il fotografo scatti foto facendo sempre gruppi di cinque
persone e che le persone presenti siano 30, compresi gli sposi.
30
Il numero dei possibili gruppi diversi è .
5
Supponiamo però di voler sapere in quante di tutte le possibili foto compare la sposa: dobbiamo
29
calcolare le combinazioni di ordine 4 su 29 elementi cioè sono .
4
E quante sono le possibili foto in cui la sposa non c’è ? Questa volta saranno le combinazioni di
29
ordine 5 su 29 elementi cioè .
5
Quindi il numero totale delle foto sarà dato dalla somma del numero delle foto dove la sposa c’è
con il numero delle foto dove la sposa non c’è.
Quindi dovrà essere
30
29
29
= +
5
4
5
201
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo combinatorio -
Potenza di un binomio e coefficienti binomiali
Consideriamo adesso la potenza del binomio
(a b)
n
con n N
e
a, b R
Poiché per definizione
(a+b)n=(a+b)(a+b)…(a+b)
n volte
i termini dello sviluppo sono tutti di grado n e del tipo
an-kbk
(0<k<n)
cioè ottenuti prendendo a in (n-k) tra gli n fattori (a+b) e, di conseguenza, b fra i k rimanenti.
Pertanto i termini di questo tipo sono tanti quante sono le combinazioni di ordine k su n elementi,
n
cioè sono in numero di .Quindi:
k
a b n0 a 1n a
n
n
n 1
b
n
n n2 2
n nk k
n nk k
n
a b ... a b ... b a b
k 0 k
2
k
Tale sviluppo si chiama formula del binomio di Newton.
I coefficienti dello sviluppo di (a b) 0 (a b)1 (a b) 2 … (a b) n si possono scrivere in modo
da formare un triangolo chiamato triangolo di Tartaglia :
0
0
1
0
2
0
1
1
2
1
2
2
3
2
3
3
3
0
1
3
..........................................
n 1
0
n
0
n 1
1
n
1
n 1 n 1
n 1 n 1
...
...
2 k 1
k n 1
n
n
n
n 1
n
...
...
2
k 1
k
n 1
n
...........................................................................................................
202
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo combinatorio Sostituendo ai coefficienti binomiali i corrispondenti valori si ha:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
1
5
10
10
5
1
…………………………………………………..
A questo punto si possono fare alcune osservazioni:
1. I primi e gli ultimi termini di ogni riga del triangolo di Tartaglia sono uguali a 1 e questo
n n
coincide con il fatto che 1 .
0 n
2. In ogni riga i termini equidistanti dagli estremi sono uguali, in accordo con la prima proprietà
dei coefficienti binomiali.
3. Ogni termine intermedio di una riga si ottiene, in accordo con la seconda proprietà dei
coefficienti binomiali, sommando nella riga precedente il termine di ugual posto con quello
che lo precede.
Nota
Se nella formula del binomio di Newton poniamo a=b=1 otteniamo
n
2
11
n
n
n
k 0 k
perciò:
La somma dei termini di ogni riga del triangolo di Tartaglia è una potenza di 2 e precisamente:
1
=20
1
1
=21
1
2
1
=22
1
3
3
1
=23
1
4
6
4
1
=24
1
5
10
10
5
1
=25
………………………………………………………………………..
Osserviamo che se A={a1;a2;…;an} è un insieme di n elementi, il numero di tutti i possibili
sottoinsiemi di A includendo l'insieme vuoto e l’insieme stesso è
n n
n
1 ...
1 2
n
n
quantità che, dopo aver posto 1 , risulta quindi uguale a 2 n .
0
Al medesimo risultato si poteva arrivare anche in questo modo: per costruire tutti i possibili
sottoinsiemi di A posso pensare di numerare i suoi elementi e scrivere 1 se intendo inserire un
elemento nel sottoinsieme, 0 altrimenti. Il numero delle n-uple distinte che così riuscirò a costruire
è esattamente la cardinalità dell'insieme delle parti di A. Tale numero è dato dalle disposizioni con
ripetizione dei simboli {0;1} di ordine di n, cioè 2n.
203
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo combinatorio -
Scheda sul calcolo combinatorio
I cavalieri della tavola rotonda
In quanti modi diversi possono sedersi attorno alla tavola rotonda i 12 cavalieri?
Indichiamo i cavalieri con i numeri da 1 a 12.
E’ chiaro che se la tavola fosse “diritta” la risposta sarebbe 12! (numero delle permutazioni di 12
elementi distinti) ma ci accorgiamo che le 12 permutazioni del tipo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2
………
………
danno origine alla stessa “permutazione circolare”.
Quindi i modi diversi in cui i 12 cavalieri potranno sedersi attorno alla tavola rotonda saranno
soltanto
12!
11!
12
In generale quindi avremo che il numero delle “permutazioni circolari” di n oggetti distinti sarà:
n!
n 1!
n
204
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo combinatorio -
Problemi sul calcolo combinatorio
1. Con le cifre 1,2,3,4,5,6,7,8,9 quanti numeri di tre cifre distinte si possono formare?
[504]
2. Dei numeri dell’esercizio precedente quanti sono dispari ? Quanti sono pari ? Quanti
terminano con la cifra 9 ? Quanti sono maggiori di 700 ?
[ 280; 224; 56; 168 ]
3. Quanti incontri singolari si possono organizzare con 6 giocatori di tennis ?
[15]
4. Quanti ambi si possono formare con i 90 numeri del lotto ?
[4005]
5. Quante formazioni diverse si possono formare con 11 giocatori facendo giocare tutti i
giocatori in tutti i ruoli ?
[11!]
6. Quanti sono gli anagrammi della parola scuola ?
[6!]
7. Quanti sono gli anagrammi della parola babbo ? E della parola mamma ?
[20; 10]
8. Dati 10 punti distinti del piano a tre a tre non allineati, quante rette si ottengono
congiungendoli due a due ?
[45]
9. Giocando a poker in quanti modi diversi si possono avere in mano 4 assi ?
[28]
10. In quanti modi diversi si possono pescare 4 carte da un mazzo di 40 carte ?
[91390]
11. Quante partite si giocano in un campionato composto da 15 squadre ? (considera che c’è
andata e ritorno).
[210]
12. Il codice di una cassaforte è composto da 5 lettere scelte tra le 26 lettere dell’alfabeto
anglosassone. Se le lettere possono essere anche ripetute, quanti codici diversi si possono
impostare ?
[11881376]
205
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo combinatorio -
13. Le targhe automobilistiche sono costituite da due lettere seguite da tre cifre seguite a loro
volta da due lettere. Se le lettere sono scelte tra le 26 lettere dell’alfabeto anglosassone, quante
targhe diverse si possono comporre ?
[456976000]
14. L’ultimo giorno di scuola i 20 studenti della IV B si salutano e ognuno abbraccia tutti gli altri.
Quanti abbracci si sono scambiati ?
[190]
15. Per effettuare una gita 9 amici hanno a disposizione una Panda e una Tipo : in quanti modi
possono distribuirsi tra le due macchine supponendo che 4 salgano nella Panda e 5 nella Tipo
?
[126]
16. Considera la situazione del problema precedente: in quanti modi possono distribuirsi se i
proprietari delle auto vogliono guidare (giustamente) ognuno la propria auto ?
[35]
17. In una scuola, che comprende un liceo classico e un liceo scientifico, la rappresentanza degli
studenti al Consiglio di Istituto è formata da 4 studenti del liceo scientifico e da 2 studenti del
classico. Se nelle liste sono presenti 10 studenti per lo scientifico e 4 per il classico, in quanti
modi diversi può essere formata la rappresentanza degli studenti ?
[1260]
18. In quanti modi diversi si possono pescare 4 carte di cuori da un mazzo di 40 carte ?
[210]
19. In quanti modi diversi si possono pescare 4 carte dello stesso seme da un mazzo di 40 ?
[ 840]
20. Quante sono le schedine del totocalcio diverse con 12 risultati esatti ? (in quanti modi diversi
si può fare 12 )
[26]
21. Con le cifre 1,2,4,6,8 quanti numeri di tre cifre distinte si possono formare? Quanti di questi
sono pari?
[60; 48 ]
22. Quanti sono gli anagrammi della parola “classe” ?
[360]
23. In quanti modi diversi si possono pescare tre carte da un mazzo di 40 carte?
[9880]
206
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo combinatorio -
24. 10 amici per fare una gita hanno a disposizione due auto e un motorino. Se su ogni auto
salgono quattro persone e due persone sul motorino, in quanti modi diversi possono sistemarsi? E
se i proprietari delle auto e del motorino vogliono guidare il proprio mezzo?
[3150; 140 ]
25. Quante sono le possibili schedine del totocalcio con 11 risultati esatti?
[312]
26. 12 amici, dopo una cena, si salutano ed ognuno stringe la mano a tutti gli altri. Quante sono le
strette di mano?
[66]
27. In una classe di 22 studenti, di cui 12 femmine e 10 maschi, si deve formare un gruppo per
una ricerca costituito da tre maschi e tre femmine. In quanti modi diversi si può formare il
gruppo?
[26400]
28. Considera la situazione dell’esercizio precedente: se tra i maschi ci sono due gemelli, quanti
sono i gruppi in cui i due gemelli non sono insieme?
[24640]
29. Nell’ippica è chiamata “corsa tris” una corsa in cui gli scommettitori devono indovinare i
cavalli che arriveranno al 1°, 2°,3° posto. Se partono 10 cavalli, quali sono i possibili ordini di
arrivo?
[720]
30. In una classe di 24 alunni si devono eleggere i due rappresentanti di classe. In quanti modi
diversi si può fare questa scelta?
[276]
207
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Calcolo delle probabilità
Ogni giorno ci troviamo a dover affrontare situazioni “incerte” in cui, per prendere delle decisioni,
più o meno consapevolmente facciamo delle valutazioni di “probabilità”.
Il “calcolo delle probabilità” è nato a partire dal Cinquecento per risolvere problemi legati al
gioco dei dadi: i primi studi si trovano nel Liber de ludo aleae di Girolamo Cardano (scritto nel
1526, ma pubblicato solo nel 1663) e in Sopra le scoperte dei dadi di Galileo Galilei (scritto
probabilmente nel 1612).
La nascita del concetto moderno di probabilità viene attribuito a Blaise Pascal (1623-1662) e a
Pierre de Fermat (1601-1665) e fu poi sviluppato da Huygens, Bernoulli e Laplace nel Settecento
e Ottocento.
Nel Novecento infine Finetti e Kolmogorov hanno elaborarto teorie più formali della probabilità.
Consideriamo quindi anche noi un dado non truccato (ogni faccia ha la stessa “probabilità di
uscire quando il dado viene lanciato): qual è la probabilità che esca un dato numero quando il
dado viene lanciato?
Le facce sono numerate da 1 a 6 e, se il dado non è truccato, hanno tutte la stessa probabilità di
uscire.
Se scommettiamo sull’uscita del sei abbiamo quindi 1 caso favorevole su sei possibili risultati.
Chiamiamo E (evento) l’uscita del 6 e definiamo probabilità di un evento E il rapporto tra il
numero dei “casi favorevoli ad E” e quello dei “casi possibili” (supposto che questi siano tutti
ugualmente probabili).
Cioè:
p(E) = n° casi favorevoli
n° casi possibili
Quindi, nel nostro caso
p( E )
1
6
Osserviamo che, per come è stata definita, la probabilità di un evento è sempre un numero
compreso tra 0 e 1 poiché n° casi favorevoli n° casi possibili.
208
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
0 p( E ) 1
Se p(E)=0 vuol dire che il n° casi favorevoli = 0 e quindi E è un evento impossibile.
Se p(E)=1 abbiamo n° casi favorevoli = n° casi possibili e quindi E è un evento certo.
Per esempio:
p(esce il 9) = 0
p(esce un numero compreso tra 1 e 6) = 1
Probabilità e frequenza relativa
Possiamo definire la probabilità di un evento anche considerando la sua “frequenza relativa”.
Riprendendo l’esempio del lancio del dado consideriamo come evento E l’uscita del 6 (il
ragionamento è analogo per ciascun numero se il dado non è truccato): supponiamo di lanciarlo n
volte e di ottenere il 6 m volte.
m
Se calcoliamo la frequenza relativa dell’uscita del sei cioè il rapporto
vedremo che se n è
n
grande
m
1
0,16 = p(esce il 6) =
n
6
Questa definizione di probabilità consente di associare una probabilità anche ad un evento per il
quale non sia possibile stabilire a priori il numero dei casi favorevoli e possibili.
Consideriamo per esempio una specie di moneta asimmetrica quale potrebbe essere il coperchio di
un barattolo ed indichiamo con T la parte superiore e con C quella inferiore.
A priori non sappiamo assegnare la probabilità all’evento
“uscita di T” o “uscita di C” nel lancio della nostra moneta
asimmetrica anche se pensiamo che dovrebbe essere
p(T)< p(C)
dato che il coperchio è più pesante dalla parte di T.
Possiamo però fare un grande numero di lanci e calcolare la frequenza relativa dell’uscita di T o C
ed assumerla come probabilità di T e C.
209
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Probabilità dell’evento contrario
Sia E un evento: indichiamo con E l’evento contrario di E cioè E = E non si verifica.
E’ chiaro che, poiché E si verifica o non si verifica, che
n°casi possibili = n°casi favorevoli ad E + n°casi favorevoli a E
e quindi
p( E ) = n°casi possibili – n°casi favorevoli ad E =1 – p(E)
n°casi possibili
Esempio: qual è la probabilità, lanciando un dado, che non esca il 6?
1 5
p(non esce il 6)= 1 –
6 6
Osservazione
A volte, per calcolare la probabilità di un evento E, conviene calcolare p( E ) e poi calcolare
p(E) = 1 – p( E )
Consideriamo per esempio il “problema del doppio sei” nel lancio dei due dadi.
Nel 1654 Blaise Pascal, frequentando i salotti aristocratici e letterari di corte, aveva conosciuto il
Cavalier De Méré famoso giocatore d’azzardo che aveva posto a Pascal il seguente problema:
Conviene scommettere sull’uscita di almeno un 6
lanciando 4 volte un dado o sull’uscita di almeno un
doppio 6 lanciando 24 volte 2 dadi?
Pascal riuscì a risolvere il problema e risolvendolo gettò le
basi della teoria della probabilità.
Proviamoci anche noi utilizzando quello che abbiamo visto
sulla probabilità dell’evento contrario.
Qual è la probabilità che esca almeno un sei in quattro lanci
di un dado?
p(almeno un 6 in quattro lanci) = 1 – p(non esce mai il 6 in quattro lanci) =
4
5
671
5555
1–
1
0,517
1296
6666
6
E qual è la probabilità che esca almeno una volta 6-6 lanciando due dadi per 24 volte?
24
35
p(almeno un 6-6 in 24 lanci) = 1- p(non esce mai il 6-6 in 24 lanci) = 1 0,491
36
Quindi conviene scommettere sull’uscita di almeno un sei in quattro lanci di un dado !
210
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Giochi d’azzardo
Consideriamo due giocatori A e B che scommettono sul verificarsi di un dato evento E in questo
modo: A vince una somma S A se E si verifica e la paga B; B vince una somma S B se E non si
verifica e la paga A.
Supponiamo per esempio che A e B scommettano sull’uscita del 6 nel lancio di un dado.
A scommette sull’uscita del 6, mentre B scommette sulla non-uscita del 6 (evento contrario): il
giocatore A mette sul tavolo 1 euro che perderà e che sarà vinto da B se il 6 non esce , mentre il
giocatore B mette sul tavolo 5 euro che perderà e che saranno vinti da A se il 6 esce.
Questo gioco è equo?
Consideriamo il “guadagno medio”di un giocatore cioè il guadagno del giocatore in n partite
diviso il numero delle partite.
Se il giocatore A gioca n volte e vince m volte il guadagno medio di A risulta
m
5 m 1 ( n m)
m
5 1 1
n
n
n
m
1
m
ma
può essere considerato vicino a pE
e 1
può essere considerato vicino a
n
6
n
5
1
5
p E e quindi
g A 5 1
6
6
6
gA
Poiché è chiaro che il guadagno di B è opposto al guadagno di A cioè g B g A e che il gioco è
equo quando g A g B , cioè quando il guadagno medio dei due giocatori è lo stesso, l’unico
modo perché il gioco sia equo è che il guadagno medio di entrambi sia nullo!
Quindi in questo caso il gioco è equo.
NOTA
Spesso non ci sono due giocatori effettivi ma solo un giocatore che rischia una certa somma r ( il
rischio : nell’esempio precedente era la somma da pagare all’altro giocatore) nella speranza di
vincere una somma g (il guadagno : nell’esempio precedente era la somma vinta dal giocatore) se
un evento E si verifica.
Per esempio nelle scommesse sui cavalli se un cavallo è dato 1 a 5 vuol dire che se rischio su quel
cavallo r = 1 (1 euro) , se il cavallo guadagno g = 5 (5 euro) (si vince r+g) .
Quindi il gioco è equo quando
p( E ) r
p( E ) g
211
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Probabilità dell’unione di eventi
( probabilità totale)
Riprendiamo l’esempio del lancio di due dadi: qual è la probabilità che escano due numeri uguali?
Si può rispondere semplicemente osservando che i casi favorevoli sono costituiti dalle sei coppie
(1,1) (2,2) …..(6,6) e che quindi
p (numeri uguali )
6 1
36 6
ma si può anche pensare l’evento “escono due numeri uguali” come l’unione degli eventi “esce 11
1” , “esce 2-2”, … “esce 6-6” aventi ognuno probabilità
e sommando le probabilità dei vari
36
eventi otteniamo lo stesso risultato:
p (numeri uguali )
1
1
1
1
1
1 1
36 36 36 36 36 36 6
Quindi in generale possiamo dire che se due eventi A e B hanno “intersezione nulla” cioè non
possono verificarsi contemporaneamente ( si dicono incompatibili) abbiamo che
p ( A B ) p ( A) p ( B )
E se invece due eventi non possono verificarsi contemporaneamente cioè non sono incompatibili?
Consideriamo per esempio, sempre nel lancio di un dado, l’uscita di un numero pari o divisibile
per 3: in questo caso i due eventi A = “uscita di un numero pari” e B= “uscita di un numero
divisibile per 3” non sono incompatibili perché se uscisse il 6 sarebbe un numero pari ma anche
divisibile per 3.
In questo caso quindi dopo aver sommato le probabilità di A e di B dobbiamo togliere la
probabilità dell’intersezione dei due eventi (l’uscita del 6) cioè:
p(pari o div.per 3)=p(pari)+p(div. per 3)–p(pari e div. per 3)
cioè in generale
p ( A B ) p ( A) p ( B ) p ( A B )
212
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Probabilità condizionata
La scrittura P(A/B) si legge “probabilità di A condizionato a B” e indica la probabilità che si
verifichi A sapendo che B si è verificato .
Esempio
9 studenti, 4 maschi e 5 femmine, partecipano ad un concorso. Una delle femmine ,Maria, ha la
probabilità di vincita di 1/9. Prima dell'uscita dei risultati trapela la notizia che la vincitrice è una
femmina. La probabilità di vincita di Maria adesso è 1/5 perché nel concorso c'erano 5 femmine.
L'informazione extra che la vincitrice è una femmina, ha cambiato la probabilità di vincita di
Maria.
Se annotiamo con A l'evento "Maria ha vinto" e con B l'evento "una femmina ha vinto", allora la
probabilità dell’ evento A condizionato all’ evento B ed indicata con P(A/B) rappresenta la
probabilità che l'evento A si verifichi sapendo che B si è verificato.
Si ha quindi che la probabilità di A condizionato a B si ottiene dividendo il numero dei casi
favorevoli ad (A∩B) per il numero dei casi favorevoli a B, con P(B) ≠ 0.
Infatti è come se venisse ridefinito lo spazio degli eventi poiché se si assume che B si è verificato
B diviene “una specie” di nuovo spazio degli eventi e l’unica parte di A che ancora può
verificarsi è soltanto A ∩ B.
n.casi. fav. A B
n.casi. fav. A B
p( A B)
n.casi. possibili
p A / B
n.casi. fav.B
n.casi. fav.B
p( B)
n.casi. possibili
Abbiamo in conclusione che
p A / B
p( A B)
p( B)
In pratica P(A | B) non è altro che P(A ∩ B) riproporzionato sulla base di P(B) .
Nel nostro esempio:
P ( A B ) 1/9, P(B) = 5/9, P(A | B) = (1/9)/(5/9) = 1/5.
213
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Probabilità dell’intersezione di eventi
(probabilità composta)
Dalla formula per calcolare P(A/B) deriva la formula per determinare la probabilità
dell’intersezione di due eventi:
P ( A B ) P ( A) P ( B / A)
o analogamente
P( A B) P( B) P( A / B)
cioè la probabilità che due eventi si verifichino contemporaneamente è pari alla probabilità di uno
dei due eventi moltiplicato con la probabilità dell'altro evento condizionato al verificarsi del
primo.
Esempio
Supponiamo di avere un sacchetto contenente 8 palline di cui 3
rosse e 5 blu: estraiamo una pallina e poi, senza rimettere la prima
pallina estratta, estraiamo una seconda pallina dal sacchetto.
Consideriamo gli eventi:
A = “esce una pallina rossa alla prima estrazione”
B = “esce una pallina rossa alla seconda estrazione”
Qual è la probabilità che escano due palline rosse?
3 2
p ( A B ) p ( A) p ( B / A)
8 7
Nota importante
Se p ( A / B ) p ( A) (e di conseguenza p ( B / A) p ( B ) ) gli eventi A e B si dicono indipendenti
e la probabilità dell’intersezione risulta semplicemente il prodotto delle probabilità dei due eventi:
p( A B) p( A) p( B)
Se per esempio nell’esempio precedente rimettiamo la prima pallina estratta prima di effettuare la
seconda estrazione abbiamo che la probabilità di B non dipende dal verificarsi o meno di A.
214
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Un problema interessante
Qual è la probabilità di avere k successi in n prove (indipendenti)?
Facciamo un esempio.
Qual è la probabilità di rispondere correttamente a 6
domande di un test di 10 domande ognuna con 3 alternative
(A,B,C) di cui una sola corretta, rispondendo a caso ?
Proviamo a calcolare questa probabilità in termini di probabilità composta di eventi
indipendenti: infatti la probabilità di rispondere bene a 6 domande corrisponde alla probabilità di
rispondere bene a 6 domande e rispondere male a 4 domande.
1
Poiché la probabilità di rispondere bene ad una domanda è p e la probabilità di rispondere
3
2
male ad una domanda è q 1 p la probabilità di rispondere bene per esempio alle prime 6
3
domande e male alle ultime quattro è p 6 q 4 .
Ma attenzione: le sei risposte corrette non sono necessariamente le prime sei…dobbiamo quindi
considerare che le 6 risposte corrette potrebbero essere le prime sei, ma anche la seconda,la terza
ecc. fino alla settima…
10 10 9 8 7 6 5
Le sei risposte corrette possono essere scelte in C10, 6
210 modi , e
6!
6
quindi per calcolare la probabilità totale dovremo sommare per 210 volte p 6 q 4 e quindi avremo,
in conclusione, indicando con X il numero di risposte esatte
6
4
10
10 1 2
P( X 6) p 6 q 4 0,057
6
6 3 3
Generalizzando abbiamo che la probabilità di ottenere k successi (le risposte giuste) in n prove
indipendenti (nel nostro caso le 10 domande a cui rispondiamo a caso) in cui in ogni prova
abbiamo probabilità di successo p risulta:
n
P( X k ) p k (1 p) nk
k
215
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
NOTA
Potevamo calcolare P ( X 6) anche facendo il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili.
Quanti sono tutti i possibili test che possono essere compilati rispondendo a caso?
Poiché le domande sono 10 e ogni volta ho tre possibilità (alternative A,B,C) i casi possibili (n°
dei possibili test che possono essere riempiti) sono 310 .
Ma quanti sono i casi favorevoli cioè i test che contengono 6 risposte corrette ?
La sei risposte corrette potrebbero essere la prima, la seconda ecc. fino alla sesta oppure…cioè
10
scelte in C10, 6 210 modi diversi e in ogni caso le altre 4 risposte potrebbero essere
6
sbagliate ciascuna in due modi diversi: ci sono cioè 2 4 test diversi in cui per esempio ho
risposto correttamente alle prime sei domande, 2 4 test diversi in cui ho risposto correttamente ad
un altro gruppo di sei domande e così via .
10
Quindi il numero di test con sei risposte corrette è 2 4 2 4 ...... 2 4 210 2 4 2 4
6
Quindi in conclusione
10 4
2
6
P( X 6) 10
3
Ma questo risultato è del tutto equivalente a quello precedente poiché basta scrivere 310 36 3 4 e
separare:
10 1 2
P( X 6)
6 3 3
6
4
Esercizio
Può essere più significativo chiedersi: “Qual è la probabilità di rispondere correttamente ad
almeno 6 domande (in un test come sopra), cioè qual è la probabilità di superare il test?”
Innanzitutto è importante considerare che i test che fanno “superare” la prova sono quelli in cui si
è risposto correttamente a 6 domande (lo studente prenderà 6) oppure quelli in cui si è risposto
correttamente a 7 domande oppure quelli in cui si è risposto correttamente a 8 domande e così via
fino al test in cui si è risposto bene a tutte e 10 le domande.
Abbiamo:
210 2 4
310
1
P ( X 10) 10
3
P( X 6)
;
P ( X 7)
120 2 3
310
; P( X 8)
45 2 2
310
; P ( X 9)
10 2
310
;
e calcolando P ( X 6) P ( x 6) P ( X 7) P ( X 8) P ( X 9) P ( X 10) 0,077
In conclusione uno studente che risponde a caso ad un test di questo tipo ha probabilità del
7,7% di superare il test.
216
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Il teorema di Bayes
Thomas Bayes (1702-1761) ha trovato una formula matematica che fornisce un metodo molto
potente per calcolare la probabilità di un evento alla luce di nuove informazioni.
Cominciamo con un caso semplice : supponiamo di conoscere la probabilità di un evento A ,
P(A), e supponiamo che si verifichi un evento E. Utilizzando la definizione di probabilità
condizionata abbiamo
P( A / E )
P( A E )
P( E )
Ma P(E) = P[E ∩ (A ∪ Ā )] = P[(E ∩ A) ∪ (E ∩ Ā )] = P(E ∩ A) + P(E ∩ Ā )
e poiché (E ∩ A) e (E ∩ Ā ) sono incompatibili avremo infine
P(E)=P(E | A) P(A) + P(E | Ā ) P( Ā ) e in conclusione:
P( A / E )
P( E / A) P( A)
P( E / A) P( A) P( E / A) P( A)
La probabilità P(A) viene detta probabilità a priori mentre la probabilità P(A/E) viene detta
probabilità a posteriori .
Esempio 1
Una malattia colpisce 1 persona su 100. Un test dà esito positivo nel 98% dei casi su persone
effettivamente malate e nello 0,5% dei casi su persone che invece stanno bene.
Sappiamo che:
p(M)=1/100 probabilità che una persona sia malata;
p (M ) = 99/100 probabilità che una persona non sia malata;
p(P/M)=98/100 probabilità che il test risulti positivo su una persona malata
p ( P / M ) = 5/1000 probabilità che il test risulti positivo su una persona sana
Ma se una persona fa il test, qual è p(M/P) , cioè la probabilità di essere malato se il test dà
esito positivo?
Utilizzando la relazione precedente possiamo scrivere:
p( M / P)
p( P / M ) P( M )
0,98 0,01
0,66
p ( P / M ) p ( M ) p ( P / M ) p ( M ) 0,98 0,01 0,005 0,99
217
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Esempio 2
Supponiamo che un paziente vada a farsi visitare da un medico lamentando la presenza di un
sintomo (evento E). Supponiamo che le diagnosi possibili siano: “A1”(per esempio disturbo di
poco conto), “A2”(per esempio una malattia non grave), “A3”(per esempio una malattia grave).
Supponiamo che si possa associare ad ognuno di queste diagnosi una probabilità a priori per
esempio:
P( A1 ) 0,65 P( A2 ) 0,30 P( A3 ) 0,05
(si osservi che P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 1
poiché A1 A2 A3 evento certo)
In funzione della sintomatologia riscontrata (rappresentata dall’evento E) si possono determinare
sulla base delle statistiche ufficiali a livello nazionale le probabilità condizionate P(E/Ai) che
rappresentano le probabilità che si manifestino tali sintomi se un paziente è affetto da una delle tre
tipologie di malattia in esame , per esempio:
P( E / A1 ) 0,2 P( E / A2 ) 0,6 P( E / A3 ) 0,7
Ciò che ci interessa è ricavare le probabilità a posteriori P(Ai/E), che rappresentano le probabilità
che il paziente abbia contratto una delle tre malattie, sapendo che presenta i sintomi rappresentati
da E.
La situazione può essere rappresentata con un
diagramma di Venn ed essendo A1 , A2 e A3 eventi
incompatibili ed esaustivi, l’evento E può essere visto
come unione di tre eventi disgiunti E A1 , E A2
, E A3 .
Quindi:
P( E ) P( E A1 ) P( E A2 ) P( E A3 )
e
P( E ) P( A1 ) P( E / A1 ) P( A2 ) P( E / A2 ) P( A3 ) P( E / A3 )
Nel nostro esempio : PE= 0,65⋅0,2 0,3⋅0,6 0,05⋅0,7 = 0,345
Ma quello che a noi interessa sono in realtà le probabilità che il paziente abbia una delle tre
tipologie di malattia sapendo che manifesta i sintomi rappresentati dall’evento E.
Abbiamo allora che :
P( A1 / E )
P( E A1 )
P( A1 ) P( E / A1 )
P( E )
P( A1 ) P( E / A1 ) P( A2 ) P( E / A2 ) P( A3 ) P( E / A3 )
e così via.
Queste probabilità sono dette probabilità a posteriori.
Nell’esempio P( A1 / E )
0,65 0,2
0,3 0,6
0,05 0,7
0,38 P( A2 / E )
0,52 P( A3 / E )
0,1
0,345
0,345
0,345
218
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità In conclusione abbiamo quindi il seguente teorema:
TEOREMA DI BAYES
Se A1, A2, , An costituiscono un sistema di eventi incompatibili ed esaustivi ed E è un evento
non impossibile, allora per ogni i∈{1, 2 ,, n} si ha la seguente uguaglianza:
P( Ai / E )
P( Ai ) P( E / Ai )
P( A1 ) P( E / A1 ) P( A2 ) P( E / A2 ) ...... P( An ) P( E / An )
Il teorema di Bayes può quindi essere utilizzato ogni volta che abbiamo a che fare con un evento
che può essere originato da n diverse cause tra loro incompatibili ed esaustive
A1 , A2 ... An
delle quali si conoscono le probabilità a priori
P( A1 ), P( A2 )..........P( An )
e di cui si possono individuare, sulla base dell’esperienza, le probabilità PE/Ai che ci
permettono di calcolare le probabilità a posteriori
P( A1 / E ), P( A2 / E )...........P( An / E ) .
219
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Problemi sul teorema di Bayes
Problema 1
Il 22% degli individui appartenenti a una data popolazione adulta risulta fumatore (F). E' noto
inoltre che l'85% dei fumatori ed il 20% dei non fumatori sono affetti da malattie respiratorie (M).
Determina la probabilità che una persona affetta da malattie respiratorie sia un fumatore.
[ P fumatore/malato= P ( F / M ) =0,55]
Problema 2
L’incidenza dell’infezione da HIV è dello 0,2%. In pratica scegliendo a caso un individuo della
popolazione e indicando con M l’evento “l’individuo è malato” si ha P ( M ) 0,002 e indicando
con M “l’individuo non è malato” si ha P ( M ) 0,998 .
Si mette a punto un test rapido di cui si vuole conoscere l’affidabilità. Se un soggetto è malato,
allora la probabilità che il test sia positivo è pari al 100%. Pertanto, indicando con T l’evento “il
test è positivo”, in pratica si ha che P (T / M ) 1 (la probabilità che il test sia positivo
condizionata dal fatto che è effettuato su una persona malata).
Tuttavia il test fornisce un risultato positivo anche sulle persone non malate nello 0,3 % dei casi
(falso positivo).
Quindi si ha P (T / M ) 0,003 (la probabilità che il test sia positivo condizionata dal fatto che è
effettuato su una persona sana).
Si vuole determinare la probabilità P ( M / T ) ossia la probabilità che una persona sia realmente
ammalata condizionata dal fatto che il test effettuato è positivo.
[ P ( M / T ) 0,40]
Problema 3
Una compagnia di assicurazioni ritiene che gli assicurati possano essere suddivisi in due classi: a
rischio di incidente e non a rischio di incidente. Le loro statistiche mostrano che una persona a
rischio avrà un incidente di qualche tipo all'interno di un periodo fissato di un anno con
probabilità 0,4, mentre tale probabilità è pari a 0,2 per le persone non a rischio.
a) Supponiamo che il 30 % delle persone sia a rischio, qual è la probabilità che un nuovo
assicurato abbia un incidente nel primo anno di polizza?
b) Supponiamo che un nuovo assicurato abbia un incidente entro un anno dalla prima stipulazione
della polizza. Qual è la probabilità che sia a rischio?
[0,26 ; 0,46 ]
220
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
SCHEDE SULLA PROBABILITA’
Scheda 1
Qual è la probabilità di indovinare un codice segreto?
“Qual è la probabilità, al primo tentativo, di scoprire un codice di cinque cifre
scelte tra le dieci cifre 0,1,2….9?”
Osservazione iniziale
Bisognerà distinguere il caso in cui le cifre si possono ripetere oppure no….
Un buon metodo per visualizzare tutti i possibili codici che si possono formare è quello di un
“grafo ad albero”…
Caso in cui posso ripetere le cifre: quanti sono tutti i codici possibili?
Quindi la probabilità di individuare il codice segreto al primo tentativo è ……
Caso in cui non posso ripetere le cifre: quanti sono tutti i codici possibili?
Quindi la probabilità di individuare il codice segreto al primo tentativo è…..
221
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Scheda 2
Qual è la probabilità di essere interrogato?
“L’insegnante di matematica deve interrogare ancora tutti gli studenti della IVB e
decide di chiamarne 5. Se gli studenti della IVB sono 27 qual è la probabilità che
ha uno studente, per esempio diciamo Tommaso, di essere interrogato?”
Osservazioni
Indichiamo con E l’evento “l’insegnante chiama 5 studenti e tra loro c’è Tommaso”: calcoliamo il
numero dei casi possibili e dei casi favorevoli.
In quanti modi diversi l’insegnante può scegliere i 5 studenti da interrogare? (spiega il tuo
ragionamento)
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
Ma quanti sono i possibili gruppi di cinque studenti che contengono Tommaso? (spiega il tuo
ragionamento)
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
Quindi la probabilità che Tommaso sia interrogato risulta………………
222
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Scheda 3
Qual è la somma più probabile nel lancio di due dadi?
Lanciando due dadi (non truccati cioè tutte le facce hanno la
stessa probabilità di uscire) qual è la somma più probabile?
I numeri che possono uscire su ciascun dado sono 1,2,3,4,5,6 e quindi le
possibili somme sono 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
Cominciamo con somma S = 2.
In quanti modi posso avere somma S = 2?
Solo in 1 modo: (1,1). Quindi poiché i casi possibili sono 6 6 36 (infatti le coppie sono (1,1);
(1,2);ecc….) avrò
1
.
p ( somma 2)
36
Vediamo la probabilità delle altre somme….
2
p(somma=3)=
poiché i casi favorevoli sono due (1,2) e (2,1)
36
p(somma=4)=.. poiché i casi favorevoli sono …
p(somma=5)= ….
p(somma=6)= …..
p(somma=7)= ….
p(somma=8)= ….
p(somma=9)= …
p(somma=10)= …
p(somma=11)= …
p(somma=12)=
E così scopriamo che conviene scommettere su somma =…..
223
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Scheda 4
Qual è la somma più probabile nel lancio di tre dadi?
Se lanciamo tre dadi e consideriamo la somma dei punti che si presentano, su quale
somma conviene scommettere?
Ai tempi di Galileo Galilei alcuni giocatori incalliti si erano accorti che la somma 10 compariva
più frequentemente della somma 9 , ma questo sembrava strano perché la somma 9 si può avere
in sei casi
6-2-1; 5-3-1; 5-2-2; 4-4-1; 4-3-2; 3-3-3
e anche la somma 10 si può avere in sei casi
6-3-1; 6-2-2; 5-4-1; 5-3-2; 4-4-2; 4-3-3
Chiesero quindi spiegazione di questo a Galileo…
Suggerimento
Considera l’uscita dei tre numeri come terne ordinate: i casi possibili sono quindi ….
Considera i raggruppamenti di tre numeri che danno una data somma….
p ( somma 9) ....
p ( somma 10) .....
p ( somma 11) .....
p ( somma 12) .....
Su quale somma conviene scommettere ?
224
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Scheda 5
Qual è la probabilità di vincere al lotto?
“Se gioco un numero al LOTTO (su una determinata ruota) qual è la probabilità
di vincere? (si parla di probabilità di vincere un “estratto semplice”)”
Ricordiamo che nel gioco del LOTTO vengono estratti (su ciascuna Ruota) 5 numeri tra 90
numeri (da 1 a 90).
Quante sono le cinquine possibili?…………………………………………………………………..
Quanti sono le cinquine in cui compare il numero che ho giocato?…………………………………
Quindi la probabilità che esca il numero che ho giocato è………………………………………….
“Se gioco due numeri, qual è la probabilità di vincere (cioè la probabilità che tra i
cinque estratti ci siano i due numeri che ho giocato) ?”
(si chiama ambo secco)
……………………………………………………………………………………………………….
“E qual è la probabilità di vincere giocando tre numeri (probabilità di fare un
terno-secco) , quattro numeri (quaterna secca), cinque numeri (cinquina)?”
……………………………………………………………………………………………………….
Nel gioco del lotto l’estratto-semplice viene pagato 11,232 volte la posta, l’ambo 250 volte la
posta, il terno 4250 volte la posta , la quaterna 80000 volte la posta, la cinquina 1000000 di volte
la posta : secondo te il gioco del LOTTO è un gioco equo ?
Fai una breve ricerca per scoprire come è nato il gioco del LOTTO.
225
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Scheda 6
Rien ne va plus!
Nel gioco della roulette francese ci sono 36 numeri rossi e neri alternati da 1 a 36 e lo zero
(verde).
Si può puntare su:
sull’uscita di un dato numero;
su un “cavallo” cioè si mette la fiche a “cavallo” su due numeri e si vince se esce uno dei
due;
sull’uscita di un numero compreso in una data dozzina (1-12; 13-24; 25-36);
sull’uscita di un numero tra 18 numeri (1-18; 19-36);
sull’uscita di un numero pari;
sull’uscita di un numero dispari;
sull’uscita di un rosso o di un nero.
Il gioco della roulette francese è un gioco equo?
Vediamo le varie “puntate”:
L’uscita di un dato numero viene data 35 a 1 cioè se il rischio è r abbiamo un guadagno
g 35 r .
Calcoliamo la probabilità che esca un dato numero……
Ti sembra che questa scommessa sia equa?
L’uscita di un numero pari (dispari) viene data 1 a 1 : calcoliamo la probabilità che esca un
numero pari…………
L’uscita di un numero rosso (nero) viene data 1 a 1 : calcoliamo la probabilità che esca un
numero rosso………
L’uscita di un numero compreso tra 18 numeri (1-18;19-36) viene data 1 a 1 ………
L’uscita di un numero compreso in una dozzina viene data 2 a 1 ...............................
L’uscita di un numero a cavallo tra due viene data 17 a 1 ……………………………
226
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Scheda 7
Qual è la probabilità di vincere al totocalcio?
Riempiendo a caso la schedina, qual è la probabilità di fare 13 al TOTOCALCIO?
Riempiendo a caso la schedina qual è la probabilità di fare 12 al TOTOCALCIO?
Riempiendo a caso la schedina qual è la probabilità di fare 11 al TOTOCALCIO?
…………….
La schedina del totocalcio è costituita da 13 caselle che devono essere riempite con 1,2,X
(possibili risultati di tredici partite di campionato di una data domenica) : 1= vince la squadra che
gioca in casa, 2= vince la squadra che gioca in trasferta, X= pareggio.
p (13) …..
p (12) ......
p (11) ........
227
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Scheda 8
Il gioco interrotto e la divisione della posta
Due giocatori, A e B, hanno deciso di giocare una serie di partite ed hanno stabilito
che vincerà tutto quello che vincerà per primo 3 partite. Hanno scommesso 18 euro
ciascuno quindi la posta in gioco è di 36 euro. Ad un certo punto però, quando
stanno 2 a 1 per A (cioè A ha vinto due partite e B solo una) devono interrompere il
gioco: come è giusto che dividano la posta?”
Osservazione iniziale
La posta andrà divisa in relazione alle probabilità che hanno di vincere ciascun giocatore al
momento dell’interruzione del gioco…
Il problema è quindi quello di calcolare la probabilità che hanno di vincere i due giocatori nel
momento in cui il gioco viene interrotto.
Qual è la probabilità che hanno i due giocatori di vincere?
Si suppone che i due giocatori siano da considerarsi di pari abilità e che quindi ad ogni partita
abbiamo la stessa probabilità di aggiudicarsi il punto.
Puoi rappresentare la situazione con un grafo ad albero in cui se mi sposto a sinistra vince A , se
mi sposto a destra vince B e in cui indico il punteggio che si è raggiunto dopo la partita.
228
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Quindi
p (vince A) .....
Invece B per vincere deve vincere sia la prima che la seconda partita e quindi la sua probabilità di
vittoria è
p (vince B ) ....
In conclusione i 36 euro della posta vanno suddivisi in rapporto di ………
Generalizziamo il metodo risolutivo
E se , al momento dell’interruzione del gioco, stessero 2 a 0 per A?
……..
E se fossero 1 a 0 per A?
229
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Scheda 9
Calcolo delle probabilità per....salvarsi la vita!
Ad un condannato a morte viene data una possibilità di salvarsi: deve disporre 4 palline , 2
bianche e 2 nere, in due urne (mettendo almeno una pallina in ogni urna) e poi scegliere, bendato,
un’urna ed estrarre una pallina.
Se estrarrà una pallina bianca avrà salva la vita.
Come gli conviene disporre le palline nelle urne per avere la massima probabilità di estrarre una
pallina bianca e quindi di non essere giustiziato?
Suggerimento: ricorda che la probabilità di scegliere l’urna A o B risulta
1
p ( A) p ( B)
2
Analizza le possibili disposizioni delle palline nelle due urne A e B:
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
Calcola, in ogni caso, la probabilità che ha di estrarre una pallina bianca utilizzando la probabilità
condizionata:
p (bianca ) p ( A) p (bianca / A) p ( B ) p (bianca / B )
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
230
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Scheda 10
Stanlio e Ollio
Stanlio e Ollio la sera giocano a
carte e chi perde paga da bere.
Ollio perde per 10 serate di seguito
e comincia a sospettare che Stanlio
sia un baro.
Supponiamo che a priori Ollio abbia fiducia nell’amico e attribuisca probabilità alta al fatto che
Stanlio sia onesto (O) , per esempio p (O) 0,95 . (di conseguenza p ( B ) ....... )
Supponiamo che Stanlio ed Ollio siano giocatori di pari abilità e che quindi la probabilità che
Stanlio vinca 10 volte di seguito sia p (W10 ) .........
Se applichiamo il teorema di Bayes possiamo calcolare la probabilità che Stanlio sia un baro (B)
supponendo che abbia vinto 10 volte di seguito ( W10 ):
p ( B / W10 ) ................
Suggerimento: è chiaro che la probabilità che Stanlio vinca 10 volte di seguito supponendo che
sia un baro è 1.
Esercizio: prova a generalizzare il problema indicando con n il numero delle vincite consecutive
di Stanlio e determinando p ( B / Wn ) .
Rappresenta graficamente l’andamento di p ( B / Wn ) al variare di n. Per quale valore di n la
probabilità che Stanlio sia un baro supera il 50%?
231
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità -
Esercizi di ricapitolazione
Calcolo combinatorio e calcolo delle probabilità
1. Quanti anagrammi si possono formare con la parola “studente”?
[ 20160 ]
2. Con le cifre 1,2,3,5,8 quanti numeri di tre cifre distinte si possono fare? Quanti sono pari?
Quanti sono divisibili per 5? E se si possono ripetere le cifre?
[a. 60 ; 24 ;12
b. 125; 50 ; 25 ]
3. Una cassaforte ha un codice di 4 cifre scelte tra 0,1,2…9 (che si possono ripetere). Qual è la
probabilità di indovinare il codice al primo tentativo?
1
[ 4 ]
10
4. Consideriamo sul piano 6 punti tali che a tre a tre non siano allineati. Quanti triangoli si
possono disegnare scegliendo come vertici i sei punti?
[ 20 ]
5. Quante sono le diagonali di un poligono convesso di n lati?
n n 3
]
2
6. In una classe di 20 studenti ci sono 12 maschi e 8 femmine. Se l’insegnante interroga due
studenti, qual è la probabilità che siano interrogate due femmine?
14
[
]
95
[
7.Due giocatori A e B scommettono sull’uscita della somma uguale a 12 nel lancio di due dadi: A
scommette sull’uscita della somma uguale a 12 e B sull’evento contrario.
Se A vince € 35, quanto deve vincere B perché il gioco sia equo?
[€ 1]
8.Se il gioco del totocalcio fosse equo, rischiando € 1 quanto dovremmo vincere facendo 13?
[€ 1 594322]
9.Se il gioco del lotto fosse un gioco equo, rischiando € 1 quanto dovremmo vincere nel caso in
cui indovinassimo tutti e cinque i numeri di una ruota?
[€ 43949267]
232
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità 10. In 4 lanci di una moneta (non truccata) qual è la probabilità che esca sempre testa? E che esca
almeno una volta testa? E due volte testa e due volte croce?
[
1
15 3
]
;
;
4
16 8
2
11. Da un mazzo di 40 carte se ne estraggono tre: qual è la probabilità di aver pescato 3 sette?
1
[
]
2470
12. Pescando tre carte da un mazzo di 40 carte , qual è la probabilità di pescare il sette di quadri?
3
[
]
40
13. Giocando a poker, qual è la probabilità di avere in mano 4 re ?
1
[
]
7192
14. Supponendo che tutti gli studenti debbano ancora essere interrogati, qual è la probabilità che
ha uno studente di essere interrogato se l’insegnante chiama a caso tre persone e nella classe ci
sono 20 studenti?
3
[ ]
20
15. Si pescano 4 carte da un mazzo di 40 carte: qual è la probabilità che siano 4 assi?
[
1
]
91390
16. Si pescano 4 carte da un mazzo di 40 carte: qual è la probabilità di avere esattamente 3 assi?
72
[
]
45695
17. Si lancia una moneta 5 volte di seguito. Qual è la probabilità che escano almeno tre teste?
1
[ ]
2
18. Qual è la probabilità, ricevendo 5 carte da un mazzo di 32, di avere esattamente tre assi?
27
]
3596
19. Giocando a poker (prendo cinque carte da un mazzo di 32) qual è la probabilità di avere 5
carte di cuori?
[
[
233
1
]
3596
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità 20. Estraendo 5 carte da un mazzo di 32, qual è la probabilità di estrarre cinque carte dello stesso
seme?
1
[
]
899
21. Lanciando due dadi, qual è la probabilità di ottenere somma 7?
1
[ ]
6
22. Qual è la probabilità di fare 10 al totocalcio? (indovinare 10 risultati su tredici partite)
[
2288
]
313
23. Qual è la probabilità che esca il 90 sulla ruota di Firenze? (probabilità di un estratto semplice
cioè si gioca solo il 90 e si vince se viene estratto tra i cinque numeri della ruota di Firenze)
[
1
]
18
24. Da un mazzo di 40 carte si estraggono tre carte. Qual è la probabilità che siano tutte di cuori?
E qual è la probabilità che siano tutte dello stesso seme?
3
12
[
;
]
247
247
25. Lanciando due monete qual è la probabilità di:
a) avere due teste;
b) avere almeno una testa;
c) avere la stessa faccia (o due teste o due croci).
[
1
3
1
;
;
]
4
4
2
[
1
7
3
;
;
]
8
8
8
26. Lanciando tre monete qual è la probabilità di :
a) avere tre teste;
b) avere almeno una testa;
c) avere esattamente una testa.
27. In una classe di 23 studenti ci sono 10 maschi e 13 femmine. Vengono eletti i due
rappresentanti di classe. Qual è la probabilità che:
a) siano entrambe femmine;
b) siano entrambi maschi;
c) siano un maschio e una femmina.
[
234
78
45
130
;
;
]
253
253
253
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità 28. Si mescolano 10 carte e se ne danno 5 al giocatore A e 5 al giocatore B. In quanti modi diversi
può avvenire la distribuzione?
[ 252 ]
29. Si mescolano 10 carte e si distribuiscono 3 al giocatore A e tre al giocatore B. In quanti modi
diversi può avvenire la distribuzione?
[ 4200 ]
30. Qual è la probabilità di fare 9 al totocalcio? (9 risultati corretti)
[circa 0,007 ]
31. Vuoi acquistare un nuovo televisore e nel negozio ci sono tre modelli con prezzi 540 euro, 608
euro, 654 euro. Inoltre vuoi acquistare un decoder per il vecchio televisore e ci sono due modelli
al costo rispettivamente di 32 euro e 48 euro. Scegliendo a caso sia il televisore che il decoder
qual è la probabilità di spendere meno di 700 euro? E più di 650 euro?
[
5 1
]
;
6 2
32. Il numero di serie di una banconota è formato da una lettera (scelta nell’alfabeto a 26 lettere)
e 11 numeri (scelti tra le cifre da 0 a 9). Quanti numeri di serie distinti si possono generare?
Scelto a caso un numero di serie qual è la probabilità che esso inizi con una vocale e termini con
un numero pari diverso da zero?
[ 26 1011 ;
1
]
13
33. Due amiche pranzano al ristorante e scelgono dal menù (a caso e ciascuna indipendentemente
dall’altra) un antipasto, un primo e un dessert . Supponendo che nel menù ci siano 6 antipasti, 8
primi e 4 dessert calcola:
a) la probabilità che scelgano lo stesso antipasto;
b) la probabilità che scelgano lo stesso antipasto e lo stesso primo;
c) la probabilità che scelgano stesso antipasto,stesso primo e stesso dessert.
1
1
1
[ ;
]
;
6 48 192
34. Tre persone prendono l’ascensore a piano terra di un edificio a 6 piani. Supponendo che
ciascuna persona scenda a caso a uno dei piani dell’edificio calcola:
a) la probabilità che scendano tutte al primo piano;
b) la probabilità che scendano tutte allo stesso piano.
1
1
[
]
;
216 36
235
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità 35. In una città ci sono 6 hotel e un dato giorno tre persone prenotano ciascuna una camera in uno
degli hotel (in modo casuale). Qual è la probabilità che le tre persone si trovino in tre hotel
diversi?
5
]
9
36. Sette amici , quattro ragazzi e tre ragazze, vanno al cinema e si siedono accanto sulla stessa
fila. Calcola la probabilità che :
a) i ragazzi siano tutti vicino tra loro;
b) le ragazze siano tutte vicine tra loro;
c) i ragazzi siano tutti vicini tra loro e le ragazze tutte vicine tra loro.
[
4
1
2
]
;
;
35 7 35
[
37. Qual è la probabilità che tra quattro amici almeno due di essi siano nati nello stesso mese?
41
43% ]
96
38. In un ufficio bancario ci sono due sportelli A,B di cui almeno uno sempre aperto: la
probabilità che A sia aperto è 0,7 e la probabilità che B sia aperto è 0,6. Qual è la probabilità che
siano aperti entrambi gli sportelli?
[
[ 0,3 ]
39. Due cacciatori, che colpiscono il bersaglio con probabilità rispettive 85% e 75%, sparano (una
sola volta) contemporaneamente ad una lepre. Qual è la probabilità che la lepre non venga
colpita?
[ 3,75% ]
40. Si hanno a disposizione due monete, una regolare e una truccata in modo che la probabilità
1
che esca testa sia . Si sceglie a caso una delle due monete e si lancia: qual è la probabilità che
3
esca testa?
5
[
]
12
41. In un’urna A sono contenute 5 palline bianche e 5 palline nere, mentre in un’urna B ci sono 4
palline bianche e 6 nere. Si sceglie a caso un’urna e si pesca una pallina: qual è la probabilità che
sia nera?
11
[
]
20
42. Un’urna contiene 5 palline bianche e 10 nere e una seconda urna contiene 6 palline bianche e
2 nere. Scegliendo a caso un’urna ed estraendo una pallina, qual è la probabilità che sia bianca?
[
236
13
]
24
Progetto Matematica in Rete
- Calcolo delle probabilità 43. Due macchine producono lo stesso pezzo meccanico: la prima produce il 40% dei pezzi e il
95% è senza difetti mentre il 6% dei pezzi prodotti dalla seconda è difettoso. Qual è la probabilità
che, prendendo a caso un pezzo, questo risulti difettoso?
[5,6%]
44.Il 60% di un gruppo di ammalati di colite è stato sottoposto alla somministrazione di un nuovo
farmaco e il 70% ha ottenuto un miglioramento. Il 30% della restante parte del gruppo non
sottoposta al trattamento ha comunque ottenuto un miglioramento. Calcola la probabilità che un
paziente abbia preso il nuovo farmaco supponendo che sia migliorato.
7
[ ]
9
45. Secondo i dati statistici la prova del palloncino (effettuata sui guidatori per vedere se sono in
stato di ebbrezza) ha esito positivo sul 5% delle persone controllate. Sempre secondo i dati
raccolti il 98% delle persone con risultato positivo era effettivamente ubriaca e il 2% delle
persone con esito negativo è comunque ubriaca. Calcola la probabilità che, essendo una persona
ubriaca, venga segnalata con la prova del palloncino (il test abbia cioè risultato positivo).
[
49
]
68
46. Un gruppo di escursionisti organizza una gita in montagna. Il 30% dei partecipanti e’ fuori
allenamento. Si ipotizza che coloro che non sono allenati abbiano una probabilità di raggiungere
la meta pari al 60% e che quelli allenati abbiano una probabilità pari al 95%.
a) Qual e’ la probabilità che un escursionista scelto a caso nel gruppo raggiunga la meta?
b) Sapendo che un escursionista ha raggiunto la meta, con quale probabilità appartiene al gruppo
degli escursionisti allenati?
[ 0,85 ; 0,76 ]
47. Un gruppo di bagnanti e' costituito per il 65% da persone di carnagione scura (S) e per il
rimanente 35% da persone di carnagione chiara (C). L'uso non appropriato di creme solari fa sì
che si abbia una percentuale di persone danneggiate dal sole (U) del 10% se di carnagione scura e
del 60 % se di carnagione chiara.
Sapendo che un bagnante scelto a caso si e' ustionato al sole, con che probabilità egli ha una
carnagione chiara?
[ 0,76 ]
48. Un test clinico ha un’affidabilità del 98% cioè se una persona malata si sottopone al test
questo risulta positivo nel 98% dei casi. Il test può però generare anche dei “falsi positivi” nella
percentuale dell’1% (cioè se una persona non malata si sottopone al test si ha un risultato positivo
nell’1% dei casi). Statisticamente è noto che la malattia colpisce lo 0,5% della popolazione. Se
una persona risulta positiva al test, qual è la probabilità che sia effettivamente malata?
[ circa 0,33 ]
237
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
Laboratorio di informatica
Funzioni sinusoidali
Scheda 1
Riprendiamo il software Geogebra e utilizziamolo per lo studio delle funzioni sinusoidali.
Possiamo scegliere come unità di misura sull’asse x
digitando:
2
Opzioni – avanzate - preferenze vista grafica - asse x – unità - distanza
2
Cominciamo con l’inserire l’equazione di y sin(x) (dobbiamo scrivere sin e mettere le parentesi
intorno all’argomento della funzione ): comparirà il grafico della funzione seno: osserviamo che il
periodo è 2 e che l’ampiezza della funzione è 1.
Inseriamo poi l’equazione y cos(x) .
1
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica Osserviamo che anche il periodo del coseno è 2 e che l’ampiezza delle oscillazioni è 1.
Inoltre il grafico del coseno risulta uguale a quello del seno ma traslato di
2
.
2
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica Proviamo a studiare adesso la funzione y sin( k * x) utilizzando uno “slider” k.
Attivando la funzione “muovi” (primo pulsante da sinistra nella barra in alto) possiamo capire che
k determina il periodo della funzione.
2
Per esempio la funzione in figura ha k = 4 ed ha un periodo di
poiché nello spazio di 2 si è
4
ripetuta quattro volte.
Quindi in generale la funzione y sin( k * x) ha periodo T
Proviamo a studiare y sin( x ) utilizzando uno slider .
3
2
.
k
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica Ci accorgiamo che variando il grafico del seno trasla orizzontalmente: se per esempio è
come se il grafico si fosse spostato a sinistra di .
Notiamo inoltre che se
otteniamo il grafico del coseno: infatti cos x sen( x )
2
2
4
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
Vediamo infine cosa accade se poniamo un parametro davanti alla funzione, cioè studiamo
y a * sin( x) .
Ci accorgiamo che cambia l’ampiezza dell’oscillazione del grafico: per esempio nel grafico in
figura dove a = 3 i valori oscillano tra -3 e 3 .
5
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
Proviamo quindi a scrivere y a * sin( k * x ) dove utilizziamo i tre slider a , k , : abbiamo
2
una funzione sinusoidale generale in cui ho un periodo T
, traslata e di ampiezza a .
k
In figura è visualizzata la sinusoide con a 3 , k 2 ,
.
2
Naturalmente avremo potuto fare lo stesso con la funzione y cos(x) : osserviamo che i grafici
che si ottengono sono gli stessi poiché il coseno ha lo stesso andamento del seno.
6
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
Laboratorio di informatica
Funzioni sinusoidali
Scheda 2
Somma di funzioni sinusoidali
Vediamo cosa si ottiene sommando due funzioni sinusoidali.
Cosa si ottiene sommando due funzioni sinusoidali?
Cominciamo per esempio con
y sin( x ) sin( 2 * x )
E’ chiaro che non si ottiene una funzione sinusoidali, ma la funzione è periodica di periodo
T 2 (come si osserva dal grafico).
Infatti sommando una funzione periodica di periodo 2 (senx) con una funzione periodica di
periodo (sen2x) è chiaro che il minimo valore per cui si ritrovano gli stessi valori per entrambe,
e quindi per la loro somma, è 2 .
7
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
Proviamo a inserire y sin( 2 * x) sin(3 * x) :
Anche in questo caso otteniamo una funzione periodica di periodo 2 : infatti sommando una
2
funzione periodica di periodo (sen2x) con una funzione di periodo
(sen3x) il primo valore
3
per cui si ripetono entrambe è proprio 2 .
Esercizio: prova ad inserire
y sin( 2 * x) sin( 4 * x)
y sin((5 / 2) * x) sin((5 / 3) * x)
o qualche altra funzione somma di funzioni sinusoidali.
Riesci a individuare il periodo della funzione somma?
In generale puoi dire qual è il periodo di y sin(k1 x) sin(k 2 x) con k1 e k 2 numeri razionali?
8
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
Laboratorio di informatica
Funzioni sinusoidali ed equazioni parametriche di una curva
Scheda 1
Circonferenza ed ellise
1)Consideriamo l’equazione cartesiana di una circonferenza di centro l’origine del sistema di
riferimento e raggio 1:
x2 y2 1
Possiamo rappresentare la stessa circonferenza utilizzando delle equazioni “parametriche”,cioè
scrivendo le coordinate (x;y) di un suo punto in dipendenza di un parametro variabile :
x cos
y sin
Proviamo a inserire ,dopo aver creato lo slider ,
P (cos( ), sin( ))
Se attiviamo la “traccia” di P (tasto destro del mouse dopo essersi portati su P) e “muoviamo”
(basta farlo variare tra 0 e 2*pi ) avremo la circonferenza.
Ricorda che pi corrisponde a .
9
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
2) E se inserisci P (2 * cos( ), sin( )) ?
Cosa ottieni?
In generale prova con
P (a * cos( ), b * sin( ))
(con gli slider a e b oltre al parametro ).
Cosa ottieni?
3) Prova infine a inserire P (cos(a * ), sin(b * ))
Conviene digitare nella barra di inserimento i valori di a e b e muovere .
Per esempio per a=2 e b=1 cosa si ottiene ? Perché ?
In figura c’è invece la curva che si ottiene per a = 1 e b = 2: sembra un fiocco !
NOTA
Per evitare di dover “muovere” il parametro, per ottenere la curva, possiamo usare il comando di
Geogebra:
Curva[x(parametro),y(parametro),parametro,valore_iniziale_parametro,valore_finale_parametro]
Per esempio per ottenere la circonferenza iniziale possiamo scrivere:
curva[ cos( ), sin( ), ,0,2 * pi ]
10
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
Laboratorio di informatica
Funzioni sinusoidali ed equazioni parametriche di una curva
Scheda 2
Rodonee
Se creiamo gli slider a e m ed inseriamo
curva[ a * cos( m * ) * cos( ), a * cos( m * ) * sin( ), ,0,2 * pi ]
otteniamo le “rodonee” (rodonea in latino significa rosa).
Disegnane qualcuna come negli esempi seguenti e prova a dare una spiegazione delle figure che si
ottengono.
11
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
12
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
Laboratorio di informatica
Funzioni sinusoidali ed equazioni parametriche di una curva
Scheda 3
La cicloide
Qual è la traiettoria di un punto P di una circonferenza quando questa rotola su una retta t ?
Supponiamo di fissare un sistema di riferimento in cui all’istante t 0 il punto P si trovi
nell’origine, l’asse x coincida con la retta t e il raggio della circonferenza sia r.
Quando la circonferenza rotola del tratto P0 A il punto P0 è ruotato di un angolo intorno al
centro e quindi P0 A C 0 C r * e PCA .
Quindi le coordinate di P saranno
x P r rsen
y P r r cos
Se fissiamo per esempio r 1 e 1rad / s per cui t (t tempo), possiamo ottenere la
traiettoria di P definendo lo slider t , inserendo P (t sin(t ),1 cos(t )) , attivando la traccia di P
e muovendo t .
13
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica Ecco la curva che otteniamo:
Questa curva viene chiamata cicloide (nome assegnatole da Galileo).
Esercizio:prova a variare il raggio r e la velocità angolare e stampa le curve che ottieni.
Osserva le curve ottenute e fai le tue osservazioni.
Nota
La cicloide ha interessanti proprietà fisiche:
una massa posta su un punto di un profilo a forma di un arco di cicloide rovesciata
impiega lo stesso tempo a giungere nel punto più basso qualunque sia la quota di partenza
(si dice che è una curva tautocrona da uguale e tempo );
un arco di cicloide rovesciata tra A e B rappresenta il percorso che fa impiegare il minor
tempo per andare da A a B per effetto della forza di gravità.
14
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Laboratorio di informatica
Funzioni sinusoidali e fisica
Scheda 1
Moto armonico
Possiamo visualizzare con Geogebra il moto di un punto che oscilla di moto armonico
considerandolo come proiezione di un punto che si muove di moto circolare uniforme.
Possiamo inserire l’equazione x 2 y 2 1 e poi, dopo aver creato gli slider t e , inserire
M (cos( * t ), sin( * t ))
e la sua proiezione sull’asse y
P (0, sin( * t ))
A questo punto fissiamo e muoviamo t (possiamo farlo anche ,dopo aver attivato “muovi”e
cliccato su t con il tasto freccia ): vedremo M muoversi di moto circolare uniforme con velocità
angolare e P di moto armonico con pulsazione .
15
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Laboratorio di informatica
Funzioni sinusoidali e fisica
Scheda 2
Composizione di moti armonici
Abbiamo visto che una curva può essere descritta anche da equazioni “parametriche” cioè
assegnando l’ascissa e l’ordinata di un suo punto in relazione ad un “parametro”, che in fisica è
generalmente il tempo t .
Consideriamo per esempio le curve descritte da queste equazioni parametriche:
x Asen(1t 1 )
y B cos( 2 t 2 )
Queste curve si chiamano curve di Lissajous dal nome del fisico francese dell’Ottocento che le
ha studiate.
Possiamo visualizzarla con Geogebra creando gli slider A, B, 1 , 2 , 1 , 2 e questa volta
usiamo il comando curva[…] digitando nella barra dell’inserimento:
curva[A*sin( 1 *t+ 1 ),B*cos( 2 *t+ 2 ),t,0,10]
Variando gli slider (attivando il pulsante “muovi”) si otterranno tante curve diverse.
Prova a capire quando viene una circonferenza , un’ellisse, un segmento.. e cercane una
spiegazione partendo dalle equazioni.
Stampa i tuoi esempi.
Nota: queste curve possono essere visualizzate sullo schermo di un oscilloscopio a raggi
catodici applicando alle “placche” di deflessione verticale e orizzontale tra cui passa il fascio di
elettroni due tensioni sinusoidali (alternate): conoscendo le caratteristiche di una tensione
alternata e osservando la curva di Lissajous che si ottiene si ottengono informazioni sull’altra
tensione alternata.
Riportiamo qualche curva:
16
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
17
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
In quest’ultimo esempio abbiamo inserito da tastiera 2=pi/2 (pi sta per ): sai spiegare
perché viene il segmento in figura?
18
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Laboratorio di informatica
Funzioni sinusoidali e fisica
Scheda 3
Equazione di un’onda armonica
Proviamo a simulare con Geogebra la propagazione di un’onda armonica trasversale su una corda.
Ricordiamo che l’equazione di un’onda armonica è del tipo
x
s ( x, t ) A * sen( * (t ))
v
dove s rappresenta lo spostamento di un punto del mezzo materiale (corda) che si trova a distanza
x dalla sorgente, A l’ampiezza dell’onda, la pulsazione (ricordiamo che la frequenza
risulta f
) e v la velocità di propagazione dell’onda.
2
Consideriamo per esempio A 1cm 1rad / s v 1cm / s : possiamo creare lo slider tempo t
facendolo variare per esempio da 0 a 60 con incremento 0.1 e inserire l’equazione y sin(t x) .
Creiamo un nuovo punto P con il tasto apposito in modo che appartenga alla sinusoide e quindi
rappresenti un punto della corda che sta oscillando (possiamo per esempio prendere (0,0) per
t 0 perché si trova sulla funzione).
Per simulare la propagazione dell’onda basta muovere lo slider t: un modo alternativo al
trascinamento con il mouse consiste nell’attivare il pulsante “muovi”, cliccare sullo slider (appare
una crocetta) e tenere premuto il tasto freccia .
Osserveremo l’oscillazione armonica del punto P trasversalmente alla propagazione dell’onda.
19
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Funzioni sinusoidali e fisica
Scheda 4
Somma di onde armoniche
Se sommiamo più onde armoniche tutte di frequenza multipla di una frequenza minima f 0 detta
frequenza fondamentale, otterremo un’onda periodica anche notevolmente diversa da un’onda
armonica ma di frequenza uguale a f o .
Possiamo verificarlo con Geogebra creando per esempio gli slider a1,a2,a3,a4 per variare
l’ampiezza delle varie onde armoniche e lo slider t (tempo) per visualizzare la propagazione
dell’onda.
Possiamo prendere per esempio f o
1
così che 1 e, considerando v 1 , inserire:
2
y a1 * sin(t x) a 2 * sin( 2 * (t x)) a3 * sin(3 * (t x)) a 4 * sin( 4 * (t x))
Fissando le ampiezze e muovendo t si ottengono varie onde periodiche, ma tutte di frequenza f o .
20
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21
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Funzioni sinusoidali e fisica
Scheda 5
Battimenti
Se sommiamo due onde armoniche di stessa ampiezza e frequenza molto vicina otteniamo
un’onda periodica la cui ampiezza varia come in figura: si parla di “battimenti” perché se le onde
sono onde sonore si percepiscono delle “ondate” di intensità maggiore ad intervalli regolari
(appunto i battimenti). Precisamente la frequenza dei battimenti è uguale alla differenza tra le
frequenze delle due onde che interferiscono.
Vediamo per esempio il grafico di
y sin(10 * (t x)) sin(11 * (t x))
Osserviamo che il periodo della prima onda sinusoidale è T1
2
ed il periodo dell’onda risultante è 2
11
1
“battimenti” risulta f f 2 f1
2
T2
2
, mentre quello della seconda è
10
come si nota dal grafico e la frequenza dei
Si nota inoltra che l’ampiezza massima raggiunta dalla somma delle due onde sinusoidali risulta il
doppio dell’ampiezza delle onde componenti: infatti l’ampiezza massima è 2, mentre le
componenti avevano ampiezza 1.
22
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Laboratorio di informatica
Funzioni sinusoidali e fisica
Scheda 6
Onde stazionarie
Vediamo come possiamo visualizzare con Geogebra le onde stazionarie che si possono avere su
una corda di lunghezza l fissata ai due estremi.
Ricordiamo che le onde stazionarie si ottengono quando la corda viene eccitata con onde di
nv
frequenza f
dove l indica la lunghezza della corda e v la velocità di propagazione delle
2l
onde sulla corda.
nv
(ricordiamo che 2f ) e le
l
otterremo sommando in un punto P l’onda incidente che arriva da A dopo aver percorso un
cammino x con l’onda riflessa dall’estremo destro B che arriva in P dopo aver percorso un
cammino l (l x) 2l x .
Quindi avremo onde stazionarie se la pulsazione sarà
Ricordiamo che quando l’onda viene riflessa risulta sfasata di metà periodo e quindi avremo,
ricordando l’equazione dell’onda armonica e prendendo per semplicità v 1 :
equazione dell’onda incidente : s1 sen( (t x))
equazione dell’onda riflessa:
s 2 sen( (t 2l x) )
Se quindi prendiamo per esempio l 10 :
creiamo gli slider n e t;
inseriamo s ( x) sin( * (t x)) sin( * (t 20 x) pi ) ;
scriviamo funzione[ s ( x),0,10] per avere la funzione solo 0 x l .
A questo punto cancelliamo s(x) (tasto destro sul grafico e nascondi oggetto) per vedere solo
l’onda tra 0 e 10.
Se poniamo n=1, attiviamo “muovi” e facciamo variare t: otterremo l’onda stazionaria di minima
frequenza (vedi figura).
23
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Se poniamo n=2 e variamo t ,otterremo l’onda stazionaria di frequenza doppia e così via.
24
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25
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Laboratorio di informatica
Trigonometria
Scheda 1
Costruzione di un triangolo a partire da tre elementi
Sappiamo che un triangolo è univocamente determinato se conosciamo:
due lati e l’angolo compreso;
un lato e due angoli;
tre lati (purché ogni lato sia minore della somma degli altri due e maggiore della loro
differenza)
Esercizio 1
Supponendo di adottare l’usuale convenzione di indicare con a il lato opposto al vertice A, ecc. e
con l’angolo di vertice A ecc., costruisci con Geogebra un triangolo avente:
a=10, b=8, 30
a=10, 45 , 70
a=10, b=8 , c=5
Esercizio 2
Se si conoscono due lati e un angolo non compreso tra essi il triangolo è individuato?
Considera per esempio a=6 , b=8 45 .
Suggerimento: parti dal disegnare il segmento AC b 8 e l’angolo A 45 con il comando
angolo di una data misura (e poi traccia la semiretta di origine A). Traccia la circonferenza di
centro C e raggio a …
Trovi un solo triangolo?
Considerando b=8 e 45 per quali valori di a si ha
nessun triangolo………………………..
un solo triangolo …………………………
due triangoli……………………………….
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Laboratorio di informatica
Trigonometria
Scheda 2
Problemi di massimo e minimo
Consideriamo una semicirconferenza di diametro AB e un punto C appartenente ad essa:
utilizzando Geogebra come potresti individuare la posizione di C per cui il triangolo ABC ha il
massimo o minimo perimetro ?
Suggerimento: dopo aver tracciato la semicirconferenza di diametro AB, costruisci il punto C con
il comando “punto su oggetto” e poi costruisci il poligono ABC con il comando poligono.
Con il comando “distanza o lunghezza” determina la misura del perimetro di ABC.
Attivando il pulsante “muovi” e muovendo il punto C sulla semicirconferenza il perimetro viene
automaticamente aggiornato in relazione alla posizione di C e puoi cercare di individuare in quale
posizione di C si ottiene il valore e il valore minimo del perimetro di ABC.
Esercizio: per quale posizione di C si ottiene la massima e minima area del triangolo ABC?
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Laboratorio di informatica
Coordinate polari
Scheda 1
Coniche in coordinate polari
L’anno scorso avevamo dato anche una definizione unitaria delle coniche utilizzando un punto
(fuoco) e una retta (direttrice): si può dimostrare che l’equazione delle coniche in coordinate
polari, considerando il polo coincidente con il fuoco e l’asse polare perpendicolare alla direttrice,
è la seguente:
in cui
e
a
1 e cos
rappresenta l’eccentricità della conica.
L’angolo è quindi un parametro variabile tra 0 e 2 e passando al sistema di riferimento
(0,x,y) abbiamo :
a
x 1 e cos cos
a
y
sen
1 e cos
Proviamo quindi a creare uno slider “e” (che darà un’ellisse quando 0<e<1 , una iperbole quando
e>1 e una parabola nel caso e=1 ) e ad inserire le equazioni parametriche, per esempio fissando
a 2 , con il comando curva[…] (che permette di visualizzare tutta la curva parametrica senza
dover muovere il parametro e la parte finale della formula serve appunto per specificare che il
parametro deve variare tra 0 e 2*pi).
curva[2/(1-e*cos( ))*cos( ),2/(1-e*cos( ))*sin( ), ,0,2*pi]
Proviamo a variare il valore di e….
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Coordinate polari
Scheda 2
Spirali
Qual è la traiettoria di un punto materiale P che si muove con velocità costante v lungo una retta
che ruota a sua volta con velocità angolare costante ?
Se individuiamo la posizione P del punto usando le coordinate polari cioè P ( , ) possiamo
scrivere subito che si ha, indicando con t il tempo:
v *t
*t
Ricordiamo che
x cos
y sen
e quindi P ( * cos( )), * sin( )) .
Proviamo per esempio a considerare v 1m / s e 1rad / s .
Possiamo allora individuare la traiettoria di P definendo
P (t * cos(t ), t * sin(t )) , attivando la traccia di P e muovendo t .
t
come slider, inserendo
Otterremo la spirale in figura:
Esercizio: prova a variare v e e stampa le spirali che ottieni. Confrontale e fai le tue
osservazioni.
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Laboratorio di informatica
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 1
Traslazione
Disegniamo un poligono (comando poligono), disegniamo un vettore (comando vettore tra due
punti) e poi attiviamo il comando “traslazione”: selezioniamo il poligono e poi il vettore
traslazione e otterremo una copia del poligono traslata.
Per esempio:
Osservazioni
Prova a trascinare qualche punto del poligono variandone così la forma: cosa osservi?
Come risultano i lati corrispondenti del poligono iniziale e del poligono traslato?
Prova a modificare anche il vettore traslazione e stampa qualche esempio.
Domanda
Se abbiamo traslato una figura di un vettore v con quale traslazione possiamo ritornare alla
situazione iniziale?
Stampa un esempio.
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Progetto Matematica in Rete
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Laboratorio di informatica
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 2
Composizione di due traslazioni
Eseguendo in successione cioè componendo due traslazioni, che indicheremo con t v1 e t v2 , come
si trasforma una figura?
Applichiamo ad un poligono la traslazione del primo vettore e poi , sul risultato, la traslazione del
secondo vettore : possiamo ottenere il poligono finale direttamente dal poligono iniziale con una
sola traslazione?
Descrivi quale traslazione dobbiamo fare per saltare il passaggio intermedio e fai una verifica
della tua congettura (puoi aiutarti lavorando sul piano quadrettato).
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Progetto Matematica in Rete
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Laboratorio di informatica
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 3
Rotazione
Disegniamo un poligono e scegliamo il comando “rotazione”: per ruotare il poligono dobbiamo
selezionarlo e selezionare il centro di rotazione (cliccare su un punto) , la misura in gradi
dell’angolo di rotazione e il verso della rotazione (introducendo questi dati nella finestra che si
apre).
Per esempio nel disegno seguente il poligono iniziale è stato ruotato intorno al suo vertice A di
90° in senso antiorario.
Possiamo ottenere lo stesso risultato anche ruotando la figura di 270° in senso orario (prova) .
Nella figura seguente il poligono è stato ruotato di 90° in senso orario (oppure di 270° in senso
antiorario ).
Fai anche tu qualche prova di rotazione e stampala.
Osservazione
Prova a ruotare intorno ad un altro punto (diverso da un vertice del poligono).
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Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica Verifica che se r r ' cioè la retta r si trasforma nella retta r’ applicando la rotazione R (O, ) , le
rette r e r’ formano un angolo uguale ad .
Suggerimento: distingui il caso in cui la retta r passi per il centro di rotazione O dal caso in cui r
non passa da O.
Nelle figure ci sono rotazioni di +45° intorno ad O: prova con altri angoli di rotazione.
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 4
Rotazione di 180° intorno ad O ( simmetria di centro O )
Proviamo a ruotare di 180° intorno ad un punto O un poligono:
Osservazioni
Sia ruotando in verso orario che antiorario il risultato è lo stesso.
Se eseguendo la rotazione A A' si osserva che O è il punto medio del segmento AA' e questo
vale per tutte le coppie di punti corrispondenti secondo questa trasformazione.
La rotazione di 180° intorno ad un punto O viene anche chiamata simmetria di centro O e in
Geogebra c’è anche un apposito pulsante indicato con la dicitura “simmetria centrale”.
Prova ad utilizzare il comando “simmetria centrale” rispetto ad un punto O e verifica che ottieni lo
stesso risultato che ruotando la tua figura di 180° intorno ad O.
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 5
Composizione di due rotazioni
1) Consideriamo la composizione di due rotazioni aventi lo stesso centro
E’ chiaro che otteniamo una rotazione avente sempre lo stesso centro e come angolo ……….
Fai una prova e stampala.
Osservazione: puoi dire che la composizione di rotazioni aventi lo stesso centro è commutativa?
2) Consideriamo la composizione di due rotazioni che non hanno lo stesso centro
Componi per esempio una rotazione di centro O e angolo 60° con una rotazione di centro un altro
punto O’ e angolo 30°.
Stampa quello che ottieni: la figura finale sembra ruotata rispetto alla figura iniziale ma come si
può determinare il centro di rotazione?
E l’angolo di rotazione risulta………………….
Fai un’altra prova: componi la rotazione di centro O e angolo 60° (antiorario) con una rotazione di
centro O’ e angolo 300° (antiorario).
In questo caso dovresti ottenere una figura finale traslata rispetto alla figura iniziale!
Stampa i tuoi esempi e spiega quando si ottiene una traslazione.
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 6
Equazione della rotazione intorno ad O
Sappiamo che l’equazione della rotazione R (O, ) (O= origine del sistema di riferimento) è
x' cos x sen y
y ' sen x cos y
Con Geogebra possiamo applicare la trasformazione utilizzando la matrice corrispondente alla sua
equazione.
Nel nostro caso la matrice è
cos( ) sin( )
sin( ) cos( )
Supponiamo di voler ruotare un poligono che abbiamo costruito con il comando “poligono” (per
esempio il triangolo in figura) e che è stato denominato poli1.
Possiamo quindi procedere così:
creiamo uno slider che mi permetterà di cambiare l’angolo della rotazione (ricorda di
indicare , quando definisci lo slider, che si tratta di un angolo e fallo variare per esempio
da 0° a 360° con incremento di 10°);
introduciamo la matrice dalla barra di inserimento digitando:
M cos , sin , sin , cos
(attenzione a digitare bene le parentesi: praticamente viene inserita la prima riga e la
seconda riga);
digitiamo nella barra di inserimento il comando
applicamatrice[M,poli1]
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Vedremo comparire sullo schermo il poligono ruotato di (nella figura 90 e infatti i valori
0 1
.
della matrice risultano M
1 0
Se variamo lo slider vedremo cambiare il poligono ruotato e arrivati a 360° torneremo sul
poligono iniziale!
Prova a stampare qualche caso.
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 7
Composizione di trasformazioni e prodotto tra le matrici corrispondenti
Abbiamo visto che se componiamo due rotazioni intorno alla stesso punto, per esempio l’origine
del sistema di riferimento, otteniamo una rotazione avente lo stesso centro e angolo uguale alla
somma (algebrica) degli angoli.
Creiamo due slider , (di tipo angolo incremento per esempio 5°) e inseriamo le matrici
corrispondenti alle rotazioni R (O, ) e R (O, ) :
M 1 cos( ), sin( ), sen( ), cos( )
M 2 cos( ), sin( ), sen( ), cos( )
Se inseriamo M2*M1 (o M1*M2 perché in questo caso il risultato non cambia) vedremo
comparire la matrice che rappresenta la composizione delle due rotazioni: infatti se per esempio
45 vedremo che compare la matrice associata alla rotazione di 90°.
Creiamo un poligono con il comando “poligono” e proviamo ad applicare il prodotto delle
matrici:
applica matrice[M2*M1,poli1]: dovremmo ottenere un risultato simile a quello in figura.
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Nota
Il prodotto tra due matrici si effettua con la cosiddetta regola del “prodotto righe per colonne”:
l’elemento della matrice prodotto nella posizione riga 1, colonna 1 si ottiene sommando i prodotti
tra gli elementi della riga 1 della prima matrice con gli elementi corrispondenti della colonna 1
della seconda matrice; l’elemento riga 1, colonna 2 si ottiene nello stesso modo considerando riga
1 della prima matrice con colonna 2 della seconda matrice e così via.
Per esempio se consideriamo le matrici associate alle rotazioni RO; e RO;
cos
A
sen
sen
cos
cos
B
sen
sen
cos
la matrice prodotto risulta:
cos cos sen sen
A B
sen cos cos sen
cos ( sen ) ( sen ) cos
sen ( sen ) cos cos
e corrisponde alla composizione delle due rotazioni in quanto infatti si ha che:
cos cos sen sen cos ecc .
Se per esempio consideriamo le rotazioni R1 O,30 e R2 O,60 aventi matrici
R1
3
2
1
2
1
1
2 e R 2
2
3
3
2
2
3
3
3
2 abbiamo R R 4
4
1
2
1 3
1
2
4 4
3 1
4 4 0 1
3
3 1 0
4
4
che infatti corrisponde alla composizione R1 R2 cioè alla rotazione intorno a O di 90°.
In generale se consideriamo due trasformazioni
x' ax by
x ' a ' x b' y
A
e B
y ' cx dy
y ' c' x d ' y
a b
a ' b'
B
cioè A
c d
c' d '
la trasformazione composta A B (si applica prima B e poi A ) risulta
x; y a' x b' y; c' x d ' y aa' x b' y bc' x d ' y ; ca' x b' y d c' x d ' y
B
A
a b'b d '
a a 'b c'
e quindi ha come matrice associata
c b' d d '
c a ' d c'
che risulta proprio la matrice prodotto A B definita con la regola del prodotto “righe per
colonne” che abbiamo indicato.
In generale, proprio come per la composizione di trasformazioni, non vale la proprietà
commutativa.
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 8
Simmetria assiale
Disegniamo un poligono, tracciamo una retta e scegliamo il comando “simmetria assiale”:
selezioniamo il poligono e poi l’asse di simmetria (la retta) per ottenere la figura simmetrica
rispetto a quella retta.
Osservazione
Se osserviamo due qualsiasi punti corrispondenti , per esempio A e A’, ci accorgiamo che l’asse
di simmetria è asse del segmento AA’.
Prova ad utilizzare il pulsante “muovi” e a trascinare qualche vertice del poligono oppure a
cambiare l’asse di simmetria e verifica che l’asse di simmetria è sempre l’asse dei punti
corrispondenti.
Osserva inoltre che se una retta è perpendicolare all’asse di simmetria la retta simmetrica coincide
con la retta stessa ma si scambiano le due semirette individuate dall’intersezione con l’asse.
Se un poligono viene trasformato con una simmetria assiale e poi sul poligono trasformato
eseguiamo la stessa simmetria assiale, torniamo al poligono di partenza: questo significa che
“componendo” cioè eseguendo in successione la stessa simmetria assiale è come se non si fosse
realizzata nessuna trasformazione
Se indichiamo la simmetria di asse r con S r scriveremo che S r S r identità ( è il simbolo
della composizione).
Questo non accadeva né per le traslazione né per le rotazioni eccettuata quella di 180°.
41
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 9
Composizione di due simmetrie assiali
1. Fissiamo due rette parallele e trasformiamo un poligono con la simmetria avente come asse la
prima retta e poi trasformiamo il poligono che abbiamo ottenuto con la simmetria avente come
asse di simmetria la seconda retta (si dice che abbiamo “composto” le due simmetrie): come
risulta il poligono finale?
Puoi dire che la “composizione” di due simmetrie assiali con assi paralleli risulta una
………………
Verifica la tua congettura.
2. Fissiamo due rette incidenti e trasformiamo un poligono con la simmetria avente come asse la
prima retta e poi trasformiamo il poligono ottenuto con la simmetria avente come asse di
simmetria la seconda retta: come risulta il poligono finale?
Puoi dire che la “composizione” di due simmetrie assiali con assi incidenti risulta
una…………….di centro …… e angolo ……..
Verifica la tua congettura.
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 10
Composizione di tre simmetrie assiali
Cosa si ottiene componendo tre simmetrie assiali?
a) Comincia dal considerare il caso in cui i tre assi passano tutti per uno stesso punto: fai un
esempio come in figura.
La figura F e F’ sembrano simmetriche rispetto ad una retta…prova a costruire l’asse r del
segmento A A’….e controlla con il comando “simmetria assiale” di Geogebra se F e F’ sono
simmetriche rispetto alla retta r. Ma perché viene una simmetria?
43
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
b) E se gli assi sono paralleli?
Prova a fare un esempio come in figura.
Anche in questo caso sembra che F F ' con una simmetria assiale: tracciamo l’asse di A A’ e
verifichiamo.
44
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica c) E se due assi sono paralleli e il terzo è incidente con essi?
Possiamo cercare di ottenere la trasformazione componendo una simmetria di asse r e una
traslazione di vettore parallelo all’asse r (glissosimmetria): prova a disegnare la retta r come la
retta passante per i punti medi di AA’ e BB’ e verifica se esiste una traslazione di vettore parallelo
a r che ci porta in F’…
d) E se i tre assi sono incidenti due a due?
Prova da solo seguendo lo stesso procedimento del caso c).
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 11
Isometrie che mutano in sé una figura
Il triangolo equilatero
Quali sono le isometrie che trasformano in se stesso un triangolo equilatero?
Dopo aver disegnato un triangolo equilatero (comando poligono regolare) traccia gli assi dei lati
…..
Ci sono solo simmetrie assiali che trasformano il triangolo equilatero in se stesso?
E se il triangolo fosse solo isoscele?
Il quadrato
Quali isometrie trasformano in se stesso un quadrato?
Dopo aver disegnato un quadrato (comando poligono regolare) traccia le mediane e le diagonali.
Prova ad eseguire le simmetrie di assi le mediane e le diagonali: cosa osservi?
Ci sono altre isometrie che trasformano in se stesso il quadrato?
Esercizio: cerca le isometrie che trasformano in sé un rettangolo,un rombo e un parallelogramma.
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 12
Isometrie e …mosaici
Partiamo da un disegno-base come per esempio un quadrato
con una decorazione: possiamo ricoprire il piano
semplicemente traslandolo secondo i due vettori individuati
dai lati ottenendo un semplice “mosaico”.
(per fare la decorazione puoi usare il pulsante “penna”)
Ma possiamo anche applicare al disegno-base delle isometrie ed ottenere “piastrelle” più
complesse da traslare sempre per ricoprire il piano.
Per esempio possiamo effettuare delle simmetrie oppure delle rotazioni…
Nello stesso modo possiamo partire da disegni-base a forma di rettangolo, triangolo rettangolo
isoscele o triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60° ecc.
47
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica Prova tu a costruire qualche mosaico….
Nota: i “mosaici” diversi che si possono ottenere sono solo 17 e sono stati tutti realizzati nel
complesso dell’Alhambra di Granada…
48
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 13
Composizione di due omotetie
Per applicare ad una data figura un’omotetia di centro C e rapporto k possiamo utilizzare il
comando “omotetia” di Geogebra: occorre selezionare l’oggetto a cui applicare l’omotetia, il
centro dell’omotetia e poi digitare il rapporto di omotetia.
Prova ad utilizzare il comando e stampa degli esempi.
Cosa si ottiene componendo due omotetie?
Se le omotetie hanno lo stesso centro….prova a fare un esempio come in figura.
Se le omotetie hanno centri distinti….prova a fare degli esempi.
(Suggerimento: se consideri omotetie di rapporti k1 e k 2 se k1 k 2 1 allora si ha…………..;
se invece k1 k 2 1 allora si ha…….)
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Progetto Matematica in Rete
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 14
Similitudini
a) Componi un’omotetia di centro O(0;0) e rapporto k 3 con una traslazione t (3;7) (considera
come figura da trasformare un triangolo ABC, vedi esempio).
Scrivi le equazioni della similitudine ottenuta.
Prova ad invertire l’ordine di applicazione delle due trasformazioni: si ottiene la stessa
similitudine?
b) Componi la stessa omotetia dell’esercizio precedente con una rotazione RO;90 : stampa il
disegno di come si trasforma il triangolo ABC e scrivi le equazioni della similitudine.
c) Componi la stessa omotetia dell’esercizio precedente con una simmetria rispetto all’asse y:
stampa il disegno di come si trasforma il triangolo ABC e scrivi le equazioni della similitudine.
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Laboratorio di informatica
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 15
Similitudini “ricorsive”: i frattali
I frattali sono figure in cui la stessa struttura si ripete su scala via via più piccola (si parla anche
di figure “autosimilari”).
Per disegnare un frattale con Geogebra possiamo utilizzare una “macro” : costruiamo un nuovo
strumento (la macro) che , a partire da degli “oggetti iniziali” dopo una serie di operazioni (che
costituiscono appunto la macro) genererà degli “oggetti finali”.
Facciamo un esempio e costruiamo una macro che, partendo da un punto A e un punto B disegni
una “casina” di lato AB.
Tracciamo prima un segmento di estremi A,B e un quadrato di lato AB con il comando poligono
regolare di 4 lati (possiamo anche colorarlo) ; disegniamo poi un triangolo rettangolo isoscele
sopra al quadrato (tracciamo il punto medio del lato superiore del quadrato, la perpendicolare per
il punto medio e dopo aver fatto l’ intersezione con la circonferenza di centro il punto medio e
passante per il vertice del quadrato disegniamo il poligono “tetto” (che possiamo anche colorare).
A questo punto selezioniamo:
Strumenti - crea nuovo strumento -
Compare una finestra in cui dobbiamo indicare quali sono gli oggetti finali, gli oggetti iniziali e il
nome della macro.
Per inserire gli oggetti finali (cioè quadrato e triangolo) possiamo anche cliccarli sul foglio di
lavoro ( compariranno nella lista degli oggetti finali). Quindi abbiamo:
Oggetti finali: Poli1 poli2 (poli1 è il quadrato, poli2 è il triangolo)
Oggetti iniziali: punto A , punto B
Nome dello strumento: casina
Fine
Nota: possiamo anche inserire un’icona che ci ricordi il risultato della macro (in caso contario
comparirà semplicemente il simbolo di strumento cioè una chiave inglese): dobbiamo prima
selezionare la nostra casina , esportala come immagine , salvarla e poi caricarla come “icona” del
nostro strumento.
In questo modo abbiamo creato la macro “casina”: se quindi , dopo il primo disegno, attiviamo la
macro e clicchiamo sul lato del tetto verrà disegnata un’altra casina (più piccola perché parte con
il lato del quadrato più piccolo) e così via ..
Avremo quindi un disegno come il seguente:
51
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
Nota : se vogliamo visualizzare tutta la nostra costruzione in sequenza possiamo usare i comandi
Opzioni – Avanzate – Preferenze grafici – Mostra pulsante Esegui
Impostando il tempo tra un’operazione e la successiva di 0,5 s e premendo Esegui sarà ripetuta in
successione veloce tutta la vostra costruzione!
La costruzione può essere riportata all’inizio o anche solo indietro di una operazione con gli
appositi pulsanti o stoppata in qualsiasi momento premendo il tasto Esegui.
Esercizio
Prova a definire un’altra macro per disegnare un
albero come in figura…e poi costruisci il tuo
frattale!
52
Progetto Matematica in Rete
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Laboratorio di informatica
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Scheda 16
Affinità
x' ax by c
Ricordiamo che un’affinità ha equazioni
con ab' a ' b 0
y ' a ' x b' y c '
x' 3x y 1
Consideriamo per esempio l’affinità di equazioni
. Come trasformerà un
y' x 2 y 3
quadrato?
Creiamo la matrice associata M={{3,1},{1,2}} ed applichiamola per esempio al quadrato in
figura (creato con il comando poligono regolare).
53
Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica Otteniamo il poligono poli1’.
Per ottenere la trasformazione data dobbiamo però anche traslare la figura ottenuta del vettore
v=(1,3) : digitiamo v=(1,3) nella barra di inserimento e digitiamo trasla [poli1’,v].
Notiamo che viene conservato il parallelismo e che il rapporto tra le aree delle figure
corrispondenti è uguale a 3 2 1 1 5 .
Inoltre, essendo si tratta di un’affinità diretta ed infatti viene conservato l’orientamento della
figura.
Esercizio: prova a trasformare un trapezio isoscele con l’affinità di equazioni
x' x 2 y
y' 2 x y 3
Come risulta il rapporto tra le aree?
Si tratta di un’affinità diretta o inversa?
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Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
Laboratorio di informatica
NUMERI COMPLESSI
Scheda 1
Il piano “complesso”
Geogebra consente di lavorare anche con i numeri complessi nella loro rappresentazione
geometrica ( piano complesso).
Possiamo introdurre da tastiera, nella barra di inserimento, l’espressione algebrica o
trigonometrica di un numero complesso che comparirà nel piano complesso come punto z.
Proviamo per esempio a digitare (ricordando di scrivere a+bi e non a+ib) :
1+2i oppure cos(pi/3)+sin(pi/3)i
Avremo i punti z1 , z 2 come in figura.
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Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica Proviamo a fare qualche operazione tra numeri complessi.
Consideriamo per esempio due numeri complessi coniugati : introduciamo da tastiera 1+2i 1-2i.
Se digitiamo z_1+z_2 otterremo il numero reale 2 (vedi figura).
Provate a sottrarre i due numeri complessi digitando z_1-z_2: cosa ottieni?
E moltiplicando i due numeri complessi coniugati cioè inserendo z_1*z_2 cosa si ottiene?
Esercizio
Inserisci da tastiera due numeri complessi z1 e z2: digita z1+z2, z1-z2,z1*z2, z1/z2 e controlla i
risultati che compaiono nel piano complesso.
Nota: puoi direttamente creare punti sul piano complesso attivando il pulsante “numero
complesso” (nella lista dei comandi sotto “nuovo punto”) e vedrai comparire la corrispondente
espressione algebrica nella finestra algebra (se è aperta). Prova a creare qualche punto.
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Progetto Matematica in Rete
- Laboratorio di informatica -
Laboratorio di informatica
NUMERI COMPLESSI
Scheda 2
Radici complesse dell’unità
Abbiamo visto che le soluzioni in campo complesso dell’equazione z n 1 sono date dai numeri
2k
2k
complessi z cos
con k 0,1,2,...n 1 .
isen
n
n
Possiamo rappresentare queste soluzioni nel piano complesso utilizzando il comando di Geogebra
“successione”.
La sintassi del comando “successione”è :
successione[<oggetto dipendente da un parametro>,parametro,valore iniziale,valore finale]
Se vogliamo per esempio far comparire i punti (1,1) (1,2) (1,3) (1,4 ) possiamo digitare:
lista=successione[(1,k),k,1,4]
Nel nostro caso per avere una successione che disegni le soluzioni in campo complesso
dell’equazione z n 1 possiamo creare uno slider n (variabile tra 1 e 10, per esempio, con
incremento 1) e poi introdurre nella riga di inserimento:
soluzioni=successione[(cos(2*k*pi/n),sin(2*k*pi/n)),k,0,n-1]
(attenzione a non dimenticare nessuna parentesi!)
Se per esempio poniamo n=5 otterremo la figura seguente (i segmenti tratteggiati sono stati
aggiunti per evidenziare che le soluzioni sono i vertici di un pentagono regolare inscritto nella
circonferenza di raggio 1). Prova a variare n e stampa vari casi.
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Progetto Matematica in Rete
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Laboratorio di informatica
GEOMETRIA DELLO SPAZIO
Introduzione a Geogebra 3D
La versione 5 di Geogebra prevede anche la possibilità di lavorare in ambiente 3D.
Basta aprire Visualizza - Grafici 3D: sullo schermo, oltre all’ambiente 2D con il sistema di
riferimento (O,x,y), comparirà una terna di assi cartesiani (O,x,y,z) e la barra degli strumenti
3D.
(Possiamo fare comparire la barra dei comandi 2D/3D cliccando con il tasto del mouse sulla zona
grafici 2D/3D)
Notiamo inoltre che è presente anche la vista “algebra” e la barra di inserimento.
Proviamo i vari comandi dei pulsanti della barra 3D (un pulsante può aprire vari comandi) .
Pulsante “Muovi”: funziona come nei grafici 2D, ma un punto può essere mosso solo in
orizzontale (compaiono delle frecce orizzontali) o, facendo un secondo clic, in verticale
(parallelamente all’asse z) quando compaiono delle frecce verticali.
Pulsante “Punto”: ci sono vari comandi che si possono scegliere a partire da questo pulsante
come nei grafici 2D (punto su oggetto, intersezione, punto medio ecc).
Possiamo però creare un punto direttamente solo sul piano xy: se vogliamo un punto non
appartenente al piano xy dobbiamo prima creare un punto sul piano xy e poi, facendo clic con il
muose per far apparire le frecce verticali, possiamo variarne la quota.
Possiamo comunque creare un punto anche inserendolo da tastiera: per esempio digitando
A=(1,2,3).
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Pulsante “Retta” :questo comando ed i comandi collegati hanno lo stesso funzionamento che nei
grafici 2D.
Pulsante “Retta perpendicolare” : se per esempio vogliamo la retta per il precedente punto
A(1,2,3) perpendicolare al piano (O,xy) basta cliccare su A e poi sul piano xy: comparirà anche
l’equazione parametrica della retta X (1,2,3) (0,0,1) .
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- Laboratorio di informatica Pulsante “poligono”, “circonferenza”, “testo” ecc. funzionano come per i grafici 2D.
Pulsante “Piano per tre punti”(e gli altri comandi collegati quali piano parallelo e piano
perpendicolare): selezionando tre punti non complanari viene creato il piano passante per essi e
compare la sua equazione nella vista algebra.
Creati per esempio anche i punti B=(1,0,0) e C=(0,1,0) selezionando A,B,C abbiamo il piano a
(viene denominato con una lettera nella vista algebra) in figura:
Osserviamo che l’equazione risulta a : 3 x 3 y 2 z 3 (e possiamo verificare algebricamente che
è corretta) e che i punti B e C sul piano xy compaiono anche nella vista 2D.
Possiamo intersecare il piano a con il piano xy utilizzando il comando “interseca due superfici” e
comparirà la retta intersezione (anche nella vista 2D).
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- Laboratorio di informatica In particolare la rotazione della “vista” (molto utile per esplorare una figura solida) può essere
facilmente ottenuta tenendo premuto il tasto destro del mouse (posizionato nella zona grafici
3D) e muovendo il mouse.
Ecco come appare la figura precedente dopo aver ruotato la vista :
Pulsante “piramide”: ci sono una serie di comandi per creare piramidi, prismi, coni, cilindri,
tetraedro regolare, cubo ecc.
In particolare il comando “estrusione in piramide o cono” permette di “tirare sù” una piramide (o
un cono) partendo da un poligono di base (o da una circonferenza) e nello stesso modo funziona
“estrusione in prisma o cilindro”.
Ogni comando ha comunque una piccola guida sul suo utilizzo che compare quando viene
selezionato e il mouse si trova nel triangolino in basso a destra.
NOTA
Ci sono anche i comandi per creare i poliedri regolari cubo, tetraedro ecc. digitando direttamente
nella barra di inserimento.
Come esempio riportiamo la costruzione di un cubo: costruiamo prima nella zona grafici 2D un
quadrato di lato AB (usando per esempio il comando poligono regolare) e poi digitiamo
direttamente nella barra di inserimento
cubo[A,B]
Nota: per evitare che vengano indicati nella figura le etichette dei vari spigoli possiamo digitare
Opzioni- etichettatura- nessun nuovo oggetto.
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Un comando molto interessante è “sviluppo piano” che fornisce lo sviluppo piano di u v poliedro:
viene automaticamente anche creato uno slider e se attiviamo muovi e variamo lo slider da 0 a 1
vedremo il poliedro che “si apre” fino al suo sviluppo sul piano xy.
Ci sono infine i pulsanti che permettono di creare una sfera, di fare trasformazioni geometriche, di
inserire un testo. Inoltre premendo il tasto destro del mouse nella zona 3D compare un menù
(assi, griglia, ecc.) che permette di nascondere/visualizzare gli assi, la griglia sul piano xy ecc.
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Scheda 1
Tetraedro regolare
Scegliamo dal Menù 3D tetraedro regolare.
Facciamo clic su dei punti del piano xy, per esempio A0;2;0, B0;2;0 (possiamo controllare
le coordinate nella vista algebra ed eventualmente muovere il punto se non abbiamo creato
proprio questi due punti).
Verrà creato un tetraedro di spigolo AB 4 con la faccia ABC sul piano xy (la faccia sul piano
xy viene visualizzata anche nella vista 2D).
Possiamo ruotare la vista grafica per vederlo da angolazioni diverse.
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Possiamo scegliere dai vari comandi “volume” e facendo clic sul tetraedro verrà visualizzato il
volume:
Esercizio 1: verifica l’esattezza del valore del volume indicato.
Suggerimento: abbiamo ricavato (vedi esercizio 1 sui poliedri) che il volume di un tetraedro
2 3
regolare di spigolo l risulta V
l e quindi nel nostro caso abbiamo…
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Esercizio 2: calcola l’angolo diedro formato da due facce.
Suggerimento: traccia il segmento DO (O origine del sistema di riferimento) e poi misura l’angolo
DOC .Controlla il risultato con l’esercizio 1 sui poliedri.
Esercizio 3: fai lo sviluppo piano del tetraedro (puoi renderlo più dinamico utilizzando uno slider
come indicato nella guida a Geogebra 3D.
Stampa il tuo sviluppo.
Esercizio 4: applica al tetraedro una simmetria rispetto al piano xy. Stampa il poliedro che ottieni.
Esercizio 5: costruisci i baricentri delle 4 facce del tetraedro e congiungile.
Verifica che si tratta di un tetraedro (inscritto).
Stampa il tetraedro inscritto.
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Scheda 2
Cubo
Costruiamo un cubo con il comando cubo: come nella scheda precedente dopo aver scelto il
comando cubo facciamo clic su due punti del piano xy, per esempio A0;2;0, B0;2;0 .
Comparirà il cubo in figura:
Anche in questo caso scegliamo il comando “volume” e verifichiamo il risultato.
Esercizio 1: traccia una diagonale del cubo e verifica (usando il comando misura di un segmento)
che risulta d 3l dove l è la misura dello spigolo.
Esercizio 2: dopo aver costruito i centri delle facce , congiungili e verifica che si ottiene un
ottaedro regolare. Stampa l’ottaedro così costruito.
Esercizio 3: sviluppa il cubo nel piano. Stampa lo sviluppo piano.
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Le sezioni del cubo
Quali sono le possibili sezioni di un cubo?
Con il comando “piano per tre punti” selezioniamo tre punti per creare il piano sezione e
intersechiamo con le facce del cubo: è chiaro che con un piano parallelo ad una faccia si ottiene
un quadrato, ma si possono ottenere molte altre sezioni…
Per esempio nella figura seguente il piano passa per due spigoli opposti e si ottiene come sezione
un rettangolo.
Quali altre sezioni puoi ottenere ?
Puoi ottenere un triangolo equilatero?Prendendo il piano passante per i punti…
Puoi ottenere un trapezio isoscele?
Puoi ottenere un pentagono?
Puoi ottenere un esagono regolare? Prendendo il piano passante per i punti…
Perché non si può ottenere come sezione un poligono con sette o più lati?
Suggerimento: prova a creare tre punti su tre spigoli con il comando “punto su oggetto”, poi
costruisci il piano passante per essi e individua (con intersezione superfici) la sezione: attiva
“muovi” e prova a muovere i punti e osserva come varia la sezione.
Quando ti sembra di aver trovato il piano che dà come sezione una data figura spiega perché si
tratta veramente di quella figura (congruenza di segmenti ecc.).
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GEOMETRIA DELLO SPAZIO
Scheda 3
Ottaedro regolare
Proviamo a costruire , dopo aver creato due punti A e B, un ottaedro regolare con il comando
ottaedro[A,B]
Nella figura seguente i punti sono A(-2,0,0) B(2,0,0) : il software disegna la faccia triangolare di
lato AB (completando il triangolo equilatero in senso antiorario) sul piano xy.
Esercizio 1
Sviluppa nel piano l’ottaedro (stampa il suo sviluppo).
Esercizio 2
Prova a costruire un ottaedro che abbia il quadrato-base comune delle due piramidi uguali sul
piano xy.
Suggerimento: puoi costruire un quadrato sul piano xy e poi (usando il comando piramide)
costruire la piramide di base il quadrato e alzando il vertice finché nella vista algebra non vedi che
gli spigoli laterali sono uguali a quelli di base: per ottenere l’altra piramide basta che tu faccia una
simmetria rispetto al piano xy.
Esercizio 3
Costruisci il poliedro avente per vertici i baricentri delle facce dell’ottaedro regolare.
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Scheda 4
Dodecaedro e icosaedro regolari
Analogamente a quanto visto per gli altri poliedri regolari, dopo aver creato due punti A,B
inserisci nella barra di inserimento il comando
Dodecaedro [a,B]
Costruisci infine, dopo aver creato due punti, l’icosaedro regolare con il comando
Icosaedro [A,B]
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Scheda 1
Equazione di un piano nello spazio
Piano passante per un punto dato e perpendicolare ad una direzione data(direzione normale)
Inseriamo nella barra di inserimento un punto, per esempio A (2,0,0) e un vettore normale al
piano, per esempio n (1,2,1) : selezioniamo il comando “piano perpendicolare” clicchiamo su A
e n e otterremo il piano in figura.
Se controlliamo nella vista algebra troviamo l’equazione
x 2y z 2
1,2,1 x 2, y, z 0 come abbiamo visto studiando
che infatti si ottiene sviluppando
l’equazione del piano passante per un punto assegnato e avente una direzione normale assegnata.
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- Laboratorio di informatica Esercizio1
Piano passante per tre punti non allineati
Inseriamo tre punti da tastiera, per esempio A3,0,0, B0,30, C 0,0,2 ,scegliamo il comando
“piano per tre punti” e creiamo il piano passante per i punti A,B,C.
Nella vista algebra comparirà l’equazione del piano 2 x 2 y 3 z 6 .
Imposta il sistema per determinare il piano per A,B,C e verifica che ottieni la stessa equazione (o
una equivalente).
Puoi digitare nella barra di inserimento n (2,2,3) e controllare che si tratta proprio del vettore
normale al piano.
Esercizio 2
Prova ad inserire nella barra di inserimento l’equazione di alcuni piani in cui uno dei coefficienti o
più di uno sono uguali a zero (es: x 2 y 1 0 , x 3 z 0 , y z 2 0 , z 3 ecc.) e fai le
tue osservazioni.
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GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO
Scheda 2
Equazione di una retta nello spazio
Inseriamo nella barra di inserimento un vettore (vettore direzione della retta) per esempio
v 1,2,2 e un punto, per esempio A0,3,0 . Scegliamo il comando “retta parallela”:
selezioniamo A e poi il vettore v e otterremo la retta seguente
Nella vista algebra avremo l’equazione parametrica della retta
dove la X sta per x, y, z .
X (0,3,0) 1,2,2
Esercizio 1
Inserisci i punti A2,1,0 e B1,0,3 e traccia la retta passante per essi usando sia il comando
“retta” che il comando appena visto (il vettore direzione sarà…..) e verifica che in ogni caso
ottieni equazioni equivalenti.
Stampa il tuo lavoro.
Esercizio 2
Disegna i piani : x y z 0 e : z 0 (puoi direttamente inserire l’equazione nella barra di
inserimento) e intersecali usando il comando “interseca due superfici”.
Controlla nella vista algebra e spiega perché l’equazione parametrica della retta risulta in quel
modo.
Esercizio 3
Inserisci nella barra di inserimento le equazioni di due piani (non paralleli), attiva il comando
“interseca superfici” e verifica che l’equazione della retta che compare nella vista algebra
corrisponda effettivamente alla soluzione del sistema formato dalle equazioni dei due piani.
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GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO
Scheda 3
Le superfici algebriche del secondo ordine (quadriche)
Le superfici algebriche del primo ordine sono i piani poiché la loro equazione risulta
ax by cz d 0
Le superfici algebriche del secondo ordine sono dette “quadriche” e sono le superfici che si
possono rappresentare con un’equazione di secondo grado in x,y,z .
Le quadriche hanno cioè equazioni del tipo
ax 2 by 2 cz 2 dxy exz fyz gx hy iz l 0
Superficie sferica
Inseriamo l’equazione x 2 y 2 z 2 1 : otteniamo una superficie sferica di centro l’origine e
raggio 1.
Esercizio
Quale sarà l’equazione di una sfera di centro C 1,2,3 e raggio 2?
Inseriscila da tastiera e stampala.
Prova a costruire una sfera anche con il comando “sfera-dati il centro e un punto” oppure “sferadato il centro e il raggio”: controlla l’equazione corrispondente nella vista algebra. Stampa i tuoi
esempi.
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Cilindro circolare retto
Prova ad inserire nella barra di inserimento un’equazione del tipo x 2 y 2 1 .
Sai spiegare perché si ottiene una superficie cilindrica indefinita avente asse l’asse z ?
Stampa anche le superfici corrispondenti alle equazioni x 2 z 2 1 ; y 2 z 2 1 .
Per ottenere un cilindro definito puoi usare il
comando “cilindro”: devi selezionare due
punti (che saranno i centri delle
circonferenze di base) e il raggio: nella
figura seguente sono stati selezionati (dopo
averli creati) A(0,0,0) B(2,0,0) e raggio 1.
Nota: nella vista algebra compaiono le
equazioni (parametriche) delle circonferenze
di base,l’area della base e della superficie
laterale.
Cilindro iperbolico e parabolico
Inserisci nella barra di inserimento l’equazione x 2 y 2 1
Nella vista algebra compare la denominazione di questa superficie che viene detta
“cilindro iperbolico”: perché ?
In modo analogo studia le superfici aventi equazione x 2 z 2 1 , y 2 z 2 1 , x * y 1 .
Se inserisci l’equazione x y 2 0
“cilindro parabolico”: perché?
nella vista algebra compare la denominazione
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Cono
Inserisci l’equazione x 2 y 2 z 2 0 .
Si ottiene un cono…prova a spiegare perché.
La stessa superficie si può ottenere ruotando una retta intorno (in questo caso) all’asse z .
Se intersechiamo con il piano x 0 troviamo la coppia di rette
y 2 z 2 0 y z y z 0 z y z y
Creiamo uno slider angolo (variabile tra 0° e 360°) , scegliamo il comando “rotazione
assiale”,selezioniamo una retta (per esempio z y ) e l’asse z: attiviamo la traccia e muoviamo lo
slider.
Otterremo proprio la superficie conica già visualizzata.
Esercizio
Prova ad inserire x 2 y 2 z 2 0 e x 2 y 2 z 2 0 .
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Paraboloide di rotazione
Inserendo nella barra di inserimento l’equazione x 2 y 2 z 0 otteniamo il seguente
paraboloide di rotazione.
Verifichiamo che la superficie si ottiene ruotando una parabola intorno al suo asse: intersechiamo
con il piano x 0 e selezioniamo “interseca superfici” per ottenere la parabola.
Creiamo uno slider (angolo) variabile tra 0° e 360°: selezioniamo “rotazione assiale”,
selezioniamo la parabola , l’asse z , attiviamo la traccia e muoviamo lo slider.
La parabola durante la sua rotazione descrive proprio la superficie già presente sullo schermo.
Esercizio
z2
Inserisci l’equazione x y
1 Cosa ottieni? Nella vista algebra dovrebbe comparire come
4
viene chiamata questa superficie. Perché?
z2
z2
Inserisci l’equazione x 2 y 2
1 Cosa ottieni? E se inserisci x 2 y 2
1 ?
4
4
2
2
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