Esercitazioni di Analisi Matematica 1

Esercitazioni di Analisi Matematica 1
Corso di laurea in Ingegneria Clinica. A.A. 2008-2009
Foglio 4
Esercizio 1. Sia assegnata la funzione
f (x) =
cos2 x − sin2 x
.
e
2 + cos x · sin x
1) Stabiliti il dominio della funzione f e l’insieme in cui f è continua,
verificare che la funzione
F (x) = ln(e + sin 2x)
ne è una primitiva.
2) Determinare la primitiva di f passante per il punto P = ( 32 Π, 43 ).
3) Determinare l’area della porzione di piano delimitata dal grafico della
funzione f e dalle rette x = Π2 e x = Π.
4) Calcolare la media µ della funzione f sull’intervallo [ 32 Π, 2Π]. Dimostrare che esiste un punto x ∈ [ 32 Π, 2Π] tale che f (x) = µ.
5) Sia assegnata, per ogni x reale, la funzione
−1
x ≤ 0,
g(x) =
+1
x > 0.
Nonostante g presenti una discontinuità (di quale tipo?) in x = 0, questa
funzione è integrabile in un qualunque intervallo limitato di R. Determinare
un intervallo I chiuso e limitato di R tale che, denotata di nuovo con µ la
media di g sull’intervallo I, non esista alcun punto x ∈ I tale che f (x) = µ.
Esercizio 2. Usando le proprietà degli integrali studiate, le tabelle degli
integrali elementari nonchè i metodi di integrazione per sostituzione o per
parti, calcolare i seguenti integrali indefiniti e verificare i risultati ottenuti.
Z
Z Z
(tan x)3
1
x + arcsin2 x
1
√
dx,
·
dx,
dx,
(cos x)2
1 + ln2 x x
1 − x2
√
Z
Z
Z
1
sin x
1+e x
√
dx,
dx,
dx,
√ √
1 + cos2 x
x
x· 1−x
Z
Z
Z
Z
6x4 − 5x3 + 4x2
dx
arcsin x
√
√
dx,
,
dx,
(x2 −2x+5)e−x dx,
2
2x2 − x + 1
x
+
1
5x − x − 1
1
Z
sin2 x
dx,
ex
Z
3x2 + 1
x4 + 1
dx,
dx,
2
3
3
(x − 1)
x − x2 + x − 1
Z
Z p
x(arctan x)2 dx,
x2 e3x dx,
x 4 − x2 dx.
Z
ln x
dx,
x3
Z
Z
Esercizio 3. Una volta stabilito che la funzione sotto esame è integrabile
sull’intervallo di integrazione, calcolare i seguenti integrali definiti.
√
Z 4
Z 1
Z 3 2
1+ x
x
x sin 2x
dx,
dx,
dx,
2
2
2
x
1
0 x + 3x + 2
−3 x + 1
Z
2
1
Z
0
ln 5
1
Z Π
Z 1
ex
3
dx,
x sin x dx,
arctan x dx,
x2
0
0
√
Z Πq
2
ex ex − 1
dx,
1 + (sin2 x) cos x dx.
x
e +3
0
Esercizio 4. Studiare il carattere dei seguenti integrali impropri. Nei casi
di convergenza, stabilire, qualora possibile, il valore dell’integrale.
√
Z +∞
Z +∞
1
sin x
√
dx,
dx,
x2 + x3
x x2 − 9
3
0
Z 1
Z +∞
dx
arctan x
√ dx,
dx,
x2 + 1
ln(1
+
x)
0
0
Z 0
Z 1
Z +∞
2 + 3x + x2
x
xe dx,
x ln x dx,
dx.
x(x2 + 1)
−∞
0
1
Esercizio 5. 1) Verificare che il seguente integrale improprio converge
Z +∞
2
e−x dx.
−∞
2) Sia assegnata la seguente funzione integrale
Z x
t2
1
√ e− 2 dt
F (x) =
2Π
−∞
Stabilire il dominio di F , l’insieme dove è continua e derivabile e calcolarne
la derivata (sugg. usare il secondo torema fondamentale del calcolo integrale
ovvero il teorema di Torricelli-Barrow). Verificare quindi che la funzione F
è strettamente crescente dove definita e stabilire il comportamento della F
quando x → ±∞.
2
3) Sia g la funzione definita nel punto 5) dell’Esercizio 1. Consideriamo
la seguente funzione integrale
Z x
g(t) dt.
F (x) =
0
Stabilire il dominio di F , l’insieme in cui F è continua e derivabile. Quale
sostanziale novità si riscontra rispetto al punto 2)?
3