9. CALCOLO INTEGRALE
Esercizio 9.1. Utilizzando le opportune sostituzioni, calcolare i seguenti integrali:
Z
Z
x2
1
√ dx
√
dx
b)
a)
2 + x3
x(1 + x)
Z √π
Z 1
√
2
x 4 x + 1 dx
c)
x sin(x ) dx
d)
0
0
Esercizio 9.2. Utilizzando la tecnica di integrazione per parti, calcolare i seguenti
integrali:
Z 1
Z
a)
(x + 1)2 e−x dx
b)
2x ln(x − 5) dx
0
Z
−π/2
c)
Z
x sin(x) dx
d)
x arctan x dx
π/2
Esercizio 9.3. Calcolare i seguenti integrali
Z
Z
1
x−1
√
dx
b)
dx
a)
x2 + x + 2
1+ x+2
Z 3
Z
√
x
d)
arctan( x) dx
e)
dx
4
x +1
1
Esercizio 9.4. Calcolare i seguenti integrali impropri:
Z +∞
Z +∞
x
1
p
a)
dx
b)
dx
2 + 4x + 9
2
3
x
(x + 5)
1
−∞
Z +∞ −√x
Z e
e
1
√ dx
√
d)
e)
dx
x
x
ln x
0
1
√
Z
c)
√
xe
x
dx
−3
Z
|x + 2| dx
f)
1
Z
+∞
c)
0
Z
f)
2
ex
dx
e2x + 1
+∞
x+1
dx
x3 − 1
Esercizio 9.5.
Calcolare le aree delle seguenti figure piane:
1
a) {(x, y) : y ≤ x, y ≥ x2 }
b) {(x, y) : y ≥ , y ≤ ex , y ≤ 1 − x}
2
x
3e
c) {(x, y) : 1 ≤ y ≤
}
d) {(x, y) : 1 ≤ yx3 ≤ x}
2 + e2x
arctan x
1
1
e) {(x, y) : 0 ≤ y ≤
≤y≤ }
}
f ) {(x, y) : x ≥ 1,
2
1+x
x+1
x
Esercizio 9.6. Stabilire per quali valori di α la funzione F (x) = (2 ln x − α)x2 è
una primitiva della funzione f (x) = 4x ln x.
Esercizio 9.7.
Determinare la primitiva di f (x) = ln(x2 + 1) che vale 7 in x = 1
Esercizio 9.8.
Sapendo che la funzione f (x) è continua e che l’uguaglianza
Z x
f (t) dt = x2 (1 + x)
0
vale per ogni x reale, determinare il valore di f (1).
