Liceo Scientifico `A

Liceo Scientifico ‘A. Volta’
Prova di Matematica (integrali)
tempo a disposizione: 1h e 40’
anno scolastico 2015/2016
Data: 1 marzo 2016 - Alunno: __________________________________________
classe: 5°D
Problema
2
Si consideri la funzione f x   x 1  ln x  .
a) Determinare le coordinate del punto di massimo assoluto e gli intervallo di concavità
positiva e quelli di concavità negativa.
b) Determinare il valor medio della funzione nel’intervallo 1; e
c) Dopo aver rappresentato la funzione assegnata nell’intervallo 0; e , si consideri la regione
finita di piano contenuta nella striscia k  x  e , con 0  k  e , e delimitata dalla funzione
assegnata e dall’asse x. Determinare l’area Ak  di tale regione e calcolare il limite di
Ak  quando k  0
Quesito 1
Calcola i seguenti integrali indefiniti
a)
x3  2x2  2x  2
dx

x 1
b)
 x  1sen x dx
Quesito 2
Data la funzione
x3


f(x)
 x 2  kx  k

se 0  x  1
se 1  x  2
Verificare che è continua in 0;2 per ogni valore di k, quindi determinare il parametro k in modo
19
che il valor medio della funzione in tale intervallo valga
.
24
Quesito3
Il proprietario di una villa con giardino, ti commissiona il
progetto di una piscina che deve essere inscritta in un
rettangolo di dimensioni 4 m per 6 m.
Il committente desidera che la piscina sia a forma di cuore e
tu presenti il progetto in figura in cui il profilo è determinato
dai due archi OVA e OV’A’ di parabole e dai segmenti AB
e A’B. Il profilo finale è simmetrico rispetto all’asse x.
Determinare l’area della piscina e la percentuale di area
occupata rispetto al rettangolo in cui è iscritta.