Gli integrali impropri Integrale improprio di prima specie Definizione:
Sia f : con c una funzione f integrabile su ogni intervallo
a. Si definisce
integrale improprio di prima specie
della funzione f su :
. Oppure , se l’intervallo è :
Se il limite esiste:
funzione integrabile in [a,b].
Integrale convergente Se il limite è infinito:
funzione non integrabile in [a,b].
Integrale divergente Se il limite non esiste :
l’integrale improprio è oscillante Primo caso f(x) infinita nell’estremo a : Esempio L’integrale è divergente. Secondo caso f(x) infinita nell’estremo b : Esempio L’integrale è convergente, l’area infinita vale 2 !! Terzo caso f(x) infinita su entrambi gli estremi dell’intervallo, quindi : :
N.B.
;
i due limiti sono indipendenti tra loro ecco perché utilizziamo due variabili per indicarli. Esempio Integrale improprio di seconda specie f(x) discontinua agli estremi dell’intervallo (a,b) o in un numero finito di punti all’ interno di (a,b) : per esempio : sia f(x) una funzione discontinua in c interno ad (a,b) ; dobbiamo allora suddividere l’intervallo (a,b) in due intervalli : (a,k) e ( h,b) , poi risolvere i 2 limiti e sommarli : Esempio f(x) discontinua in un estremo dell’intervallo (a,b) : Tale integrale è divergente . Tale integrale è convergente. Esercizi Risolvere i seguenti integrali impropri :
