Laurea in Matematica Esercitazioni di Topologia generale

Laurea in Matematica
Esercitazioni di Topologia generale - 16 dicembre 2014
1. Si consideri su R la topologia τ generata dalle semirette (−∞, x[ con x ∈ R,
e la compattificazione di Alexandrov dello spazio topologico
e si denoti con X
X = (R, τ ). Individuare l’affermazione corretta:
e
(a) l’intervallo [1, 2] è un chiuso di X;
e è sconnesso;
(b) X
e
(c) Z è denso in X;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione: Chiaramente i chiusi di X sono semirette destre del tipo [c, +∞),
oltre che ∅ e R. È altrettanto evidente che un compatto di X, dovendolo coprire
con un numero finito di semirette sinistre, non puè essere illimitato superiormente. Ne consegue che l’insieme vuoto è l’unico chiuso compatto di X, ovvero
R ∪ {∞} è l’unico aperto contenente il punto ∞. Pertanto due aperti non vuoti
di X hanno sempre intersezione non vuota. Infine in ogni semiretta sinistra vi si
trovano numeri interi, il che significa che tutti gli intorni di un qualsiasi numero
reale contengono degli interi, e questo vale ovviamente anche per l’unico intorno
e è di
R ∪ {∞} che possiede ∞: si può concludere cosı̀ che ogni elemento di X
aderenza per Z.
2. Nello spazio topologico euclideo M(2, R) delle matrici 2 × 2 a coefficienti in R
si consideri la relazione di equivalenza ∼ che identifica due matrici esattamente
quando hanno stesso determinante e stessa traccia. Tra le seguenti affermazioni
riguardanti lo spazio quoziente X := M(2, R)/ ∼ individuare quella corretta:
(a) X privato di uno qualsiasi dei suoi punti è connesso e compatto;
(b) X contiene un sottospazio omeomorfo alla retta proiettiva RP1 ;
(c) X è omeomorfo al toro T2 ;
(d) ciascuna delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: Denotati con [A]∼ , det(A) e tr(A), rispettivamente, la classe di
equivalenza contenente la matrice A ∈ M(2, R), il determinante e la traccia di
A, la corrispondenza
[A]∼ 7→ det(A), tr(A)
dà una ben posta applicazione f : M(2, R)/∼ → E2 . Se si dota M(2, R)/ ∼
della topologia quoziente, f risulta una funzione continua, ove si tenga conto
che la composizione di f con la proiezione canonica π : M(2, R) → M(2, R)/ ∼
restituisce la funzione A 7→ (det(A), tr(A)) che è continua perchè tali sono le
componenti determinante e traccia. Inoltre, la funzione
0 1
(d, t) 7→
,
−d t
∼
1
che
è continua
perchè si ottiene per composizione delle funzioni continue (d, t) 7→
0 1
e π, dà l’inversa di f . Possiamo allora concludere che X è omeomorfo
−d t
2
ad E , da cui segue che l’unica affermazione corretta è la (b), ove si tenga conto
che RP1 ' S1 .
3. Si consideri lo spazio proiettivo P (V ) definito dallo spazio vettoriale V delle
matrici 2×2 simmetriche a coefficienti in R e si denoti con X lo spazio topologico
ottenuto identificando in P (V ) in un unico punto il sottospazio delle matrici
diagonali. Individuare l’affermazione corretta:
(a)
(b)
(c)
(d)
X è omeomorfo ad S1 ;
X è omeomorfo a CP1 ;
X non è la compattificazione di Alexandrov di E2 ;
le precedenti affermazioni sono tutte false;
Soluzione: I punti di P (V ) possono essere suddivisi in due parti disgiunte: i
punti del tipo
x1 1
1 x2
R
con (x1 , x2 ) ∈ R2 , che sostengono un sottospazio omeomorfo a E2 , ed i punti del
tipo
x1 0
0 x2
R
con [x1 : x2 ] ∈ RP1 che abbiamo identificato in un unico punto, che indichiamo
con ∞. Un aperto di X che contiene ∞ ha come pre-immagine nella proiezione
naturale P (V ) → X un aperto il cui complementare è un chiuso che, essendo contenuto in uno spazio compatto, deve essere compatto. Quindi X è la
compattificazione di Alexandrov di E2 e quindi è omeomorfo ad S2 ' CP1 .
4. Nel piano topologico euclideo E2 si consideri la relazione di equivalenza
(x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) ⇔ x1 y1 = x2 y2
e lo spazio quoziente X := E2 / ∼. Individuare l’affermazione corretta:
(a) y 7→ [(1, y)]∼ è un omeomorfismo f : E1 X;
(b) X è omeomorfo al sottospazio della retta euclidea che ha sostegno in [0, 1[ ;
(c) X è omeomorfo al sottospazio di E2 che ha sostegno nell’insieme di punti
{(x, y) : xy = 1} di E2 ;
(d) i chiusi di X sono compatti.
Soluzione: La funzione f che compare in (a) è continua perchè si ottiene per
composizione della funzione continua y 7→ (1, y) con la proiezione naturale
π : (x, y) 7→ [(x, y)]∼ . Inoltre f ha un’inversa nella funzione g : X → E1 definita
ponendo g ([(x, y)]∼ ) = xy, funzione che risulta continua perchè è continua la
composizione g ◦ π : (x, y) 7→ xy. Pertanto X è omeomorfo alla retta euclidea
che ha proprietè topologiche non compatibili con (b), (c) e (d).
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