Modulo di Topologia

A. A. 2007-08 - ESAME DI PROFITTO DI GEOMETRIA 2 - novembre 2008
Modulo di Topologia
1. Si denoti con T la topologia ∅, R ∪ (−∞, a) : a ∈ R di R e sia f una
funzione biiettiva R → R. Individuare tra le seguenti eventualità l’unica
che esclude che f sia una funzione continua E1 → (R, T ):
(a)
f (x) = x3 ∀ x ∈ R;
(b)
f (Q) = Q;
(c)
f è una funzione aperta;
(d)
f (Q) =
√
2+q :q ∈Q .
Soluzione: Poiché la topologia T è meno fine della topologia euclidea,
ogni funzione continua con dominio e codominio E1 è ancora continua se
si cambia la topologia del codominio
√ con T : è questo il caso della funzione
(a) e delle funzioni x 7→ x e x 7→ 2 + x che per restrizione a Q danno le
condizioni (b) e (d). Se f fosse continua, la condizione (c) richiederebbe
che T sia equivalente alla topologia euclidea e ciò è escluso dal fatto che
T non è di Hausdorff.
2. Sia Y il sottospazio della retta proiettiva complessa costituito dai punti
di coordinate [1, c] con c numero complesso di norma 1. Individuare
l’affermazione corretta per il sottospazio X complementare di Y in P1 (C):
(a) X è connesso;
(b) X è compatto;
(c) X è denso in P1 (C);
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione: Identificando la retta proiettiva complessa con la sfera S2 via
proiezione stereografica, Y corrisponde ad un cerchio massimo di S2 e,
conseguentemente, X dà due semisfere aperte e sconnesse la cui chiusura
è tutto S2 .
3. Nello spazio topologico euclideo delle matrici 2 × 2 a coefficienti reali si
consideri il sottospazio O2 (R) delle matrici ortogonali. Definita su O2 (R)
la relazione d’equivalenza
1 0
A ∼ B ⇐⇒ A =
B,
0 ±1
si consideri lo spazio quoziente X := O2 (R)/∼. Individuare l’affermazione
corretta:
(a) X è connesso ma non compatto;
(b) X è omeomorfo alla retta proiettiva reale;
(c) X privato di un punto ha due componenti connesse;
(d) X è omeomorfo al sottospazio delle matrici di determinante 1.
Soluzione: È ben noto che O2 (R) è un compatto, e quindi tale deve essere
ogni suo quoziente. Inoltre le matrici di O2 (R) sono del tipo
cos θ
sin θ
,
∓ sin θ ± cos θ
per cui la proiezione
a
c
b
d
7→ (a, b),
induce una funzione biiettiva continua X → S1 che risulta anche chiusa
essendo X compatto ed S1 ' P1 di Hausdorff. A questo punto basta
ricordare che SL2 (R) non è compatto (in quanto illimitato) e che S1 privato
di un punto è omeomorfo ad E1 .
4. Si consideri su R la topologia T generata dalla famiglia {x + Q : x ∈ R}.
Individuare tra le seguenti affermazioni riguardanti lo spazio topologico
X = (R, T ) l’unica corretta:
(a) Z è un chiuso di X;
(b) X è connesso;
(c) X è di Hausdorff;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione: Si osservi che:
• ogni numero razionale non contenuto in Z è di accumulazione per Z;
• due aperti x + Q e y + Q hanno intersezione vuota se y − x 6∈ Q, per
cui X è unione di aperti disgiunti;
• due numeri reali x e y che differiscono per un numero razionale non
sono separati dagli aperti di T .
5. Sia X uno spazio topologico con almeno due elementi. Individuare tra le
seguenti condizioni su X l’unica che non esclude che ogni sottospazio di
X sia connesso:
(a) X è uno spazio di Hausdorff;
(b) X è uno spazio metrizzabile;
(c) ogni sottospazio di X è compatto;
(d) {x} è un chiuso di X per ogni x ∈ X.
Soluzione: In uno spazio di Hausdorff devono sempre esistere due aperti
disgiunti non vuoti che separano una data coppia di punti; l’unione di
questi aperti dà ovviamente un sottospazio sconnesso. Poiché ogni spazio
metrizzabile è di Hausdorff, si può concludere che le condizioni (a) e (b)
escludono che ogni sottospazio di X sia connesso.
Se vale la condizione (d) ogni sottospazio costituito da due punti si sconnette nell’unione di due chiusi.
La topologia banale dà infine un esempio di spazio in cui ogni sottospazio
è compatto e connesso.