I Modulo - Matematica e Informatica

A. A. 2006-07 - ESAME DI PROFITTO DI GEOMETRIA 2 - settembre 2007
C.d.L. in Matematica - II Modulo
C.d.L. in M.I.C.S. - I Modulo
1. Si denoti con τ la topologia di R avente per base gli intervalli chiusi a sinistra e aperti
a destra. Individuare tra le seguenti affermazioni l’unica che risulta corretta:
(a) la topologia τ è compatta;
(b) la topologia τ è connessa;
(c) la topologia τ è di Hausdorff;
(d) nessuna delle precedenti affermazioni è corretta.
Soluzione: La topologia τ risulta più fine di quella euclidea, per cui se fosse compatta
dovrebbe esserlo anche quella euclidea.
Per ogni numero reale a si ha la decomposizione (−∞, a) ∪ [a, +∞) di R nell’unione
disgiunta di due aperti di τ .
τ è di Hausdorff perché tale è quella euclidea che è meno fine.
2. Tra le seguenti affermazioni riguardanti l’insieme di punti di R3
©
ª
√
T := (x, y, z) : x, z ∈ R+ ∧ y = x + ln(z)
individuare l’unica che risulta sbagliata:
(a) T è omeomorfo ad un aperto di S2 ;
(b) T non è connesso;
(c) S2 è la compattificazione di Alexandrov di T ;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
¡ √
¢
Soluzione: La funzione (x, z) 7→ x, x + ln(z), z fornisce un evidente omeomorfismo tra R+2 e T , e quindi tra T ed S2 privato di un punto essendo la semiretta aperta
R+ omeomorfa ad R ed S2 privato di un punto omeomorfo ad R2 . Ne consegue
che T è uno spazio connesso e non compatto avente S2 come compattificazione di
Alexandrov.
3. L’applicazione
Ã
f : (x1 , . . . , xn ) 7→
1−
x1
pP
n
i=1
x2i
, ... ,
1−
xn
pP
n
i=1
!
x2i
definisce:
(a) una funzione continua tra la sfera Sn−1 ed il disco n-dimensionale Dn (' In );
(b) una funzione aperta tra l’interiore di Dn e lo spazio euclideo n-dimensionale En ;
(c) un omeomorfismo tra lo spazio euclideo En ed un suo sottospazio proprio;
(d) una funzione continua, ma non iniettiva, di En in sé.
Soluzione: Sicuramente le risposte (a), (c) e (d) sono da scartare perché la funzione
data è definita sui vettori di En di norma 6= 1. D’altronde f è invertibile sui vettori
interni a Dn avendo come inversa la funzione continua
!
Ã
x1
xn
pP n
pP n
(x1 , . . . , xn ) 7→
, ... ,
.
2
2
1+
1+
i=1 xi
i=1 xi
4. Si consideri sulla sfera S2 la relazione di equivalenza:
(x, y, z) ∼ (x0 , y 0 , z 0 ) ⇐⇒ x = x0 .
Denotato con X lo spazio quoziente S2 / ∼ individuare la risposta sbagliata:
(a) ogni chiuso di X è un compatto;
(b) X è uno spazio di Hausdorff;
(c) è possibile definire una relazione di equivalenza R su X tale che lo spazio
quoziente X/R sia omeomorfo ad S1 ;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: Certamente X = S2 / ∼ è uno spazio compatto in quanto immagine
continua dello spazio compatto S2 sotto la proiezione canonica π : S2 → S2 / ∼, e
quindi ogni chiuso di X è un compatto.
La proiezione (x, y, z) 7→ x fornisce un’identificazione f : S2 → [−1, 1] e si ha
f (x, y, z) = f (x0 , y 0 , z 0 ) ⇐⇒ (x, y, z) ∼ (x0 , y 0 , z 0 ).
Dunque associando alla classe d’equivalenza [(x, y, z)]∼ del punto (x, y, z) ∈ S2 la
sua ascissa x si ha una ben posta biiezione g : X → [−1, 1] tale che f = gπ e la teoria
garantisce che g è un omeomorfismo. X ha allora le proprietà (b) e (c) in quanto
l’intervallo [−1, 1] ha queste proprietà.
5. Si consideri nello spazio topologico euclideo Mat2×2 (R) delle matrici 2×2 a coefficienti
reali il sottospazio X delle matrici simmetriche aventi determinante 1. Individuare
tra le seguenti affermazioni l’unica corretta:
(a) X è connesso;
(b) X contiene un sottospazio omeomorfo ad S1 privato di un punto;
(c) X è omeomorfo ad S2 ;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione: Se
µ
x y
y z
¶
∈X
deve essere xz − y 2 = 1 e quindi x 6= 0 6= z. Ne consegue che
½µ
¶
¾
¡
¢
x
y
2
X=
∈ Mat2×2 (R) : (x, y) ∈ R \ {0} × R
y 1+y
x
e l’applicazione
µ
(x, y) 7→
x
y
¶
y
1+y
x
2
ci da un omeomorfismo tra lo spazio prodotto (R \ {0}) × R ed X. Quindi X è
sconnesso, contiene un sottospazio omeomorfo ad R, e quindi ad S1 privato di un
punto, e non è omeomorfo allo spazio S2 che sappiamo essere connesso.
¡
¢
6. Si consideri lo spazio topologico X = R \ {0}, T dove T è la topologia generata
dalla famiglia di sottoinsiemi di R
©
ª
B = {−x, x} : x ∈ R, x 6= 0 .
Individuare tra i seguenti sottospazi di X l’unico metrizzabile:
(a)
Q \ {0};
(b)
la semiretta aperta (0, +∞);
(c) Z \ {0};
(d)
la coppia d’intervalli aperti (−2, −1) ∪ (1, 3).
Soluzione: Poiché ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff ed ogni aperto di X
contiene l’opposto di ciascuno dei suoi elementi, condizione necessaria affinché un
sottospazio Y di X sia metrizzabile è che −y ∈
/ Y per ogni y ∈ Y . Le risposte (a), (c)
e (d) sono quindi da scartare, mentre la topologia di (0, +∞) ereditata da X coincide
con la topologia discreta ed è dunque metrizzabile.