Corso di Geometria I - A.A. 2015/16 Esercizi per la dodicesima

Corso di Geometria I - A.A. 2015/16
Esercizi per la dodicesima settimana
Esercizio 12.1 Sia A ∈ Kn×n e sia
W := { X ∈ Kn×n : A · X − X · A = 0Kn×n } .
Dimostrare che W è un sottospazio
di K
n×n . Si calcoli poi la dimensione di
0 2
W nel caso in cui n = 2 e A =
.
−1 0
Esercizio 12.2 Sia W = L((2 + i, 1, 1), (2 − i, 1, 1), (3 + 3i, 1 + i, 1 + i)) ⊂ C3 .
Determinare la dimensione di W e determinare se coincide con il sottospazio
W 0 di C3 definito da W 0 = { (z 1 , z 2 , z 2 ) ∈ C3 : z 2 − z 3 = 0 }.
Esercizio 12.3 Sia H ⊂ Kn×n il sottoinsieme definito da
H={A=
(aij )
∈ Kn×n : Traccia(A) = 0 } dove Traccia(A) :=
n
X
aii (1)
i=1
Dimostrare che H è un sottospazio di Kn×n e determinarne la dimensione
nel caso n = 2. È vero che anche il sottoinsieme di Kn×n
H 0 = { A = (aij ) ∈ Kn×n : Traccia(A) = 1 }
è un sottospazio di Kn×n ?
Esercizio 12.4 Dati 0 6= v, w ∈ E3 , stabilire quali delle seguenti applicazioni
da E3 in E3 sono lineari:
T (x) := x ∧ v , Te(x) := x + w ,
Tb(x) := (x · w)v , T (x) := x ∧ v + 5x .
Esercizio 12.5 Dato un vettore 0 6= v ∈ E3 , sia
T : E3 −→ E3 ,
T (x) := x ∧ v .
Dopo aver verificato che T è lineare, determinare l’immagine Im T e descriverla in termini geometrici. L’applicazione T è iniettiva?
Esercizio 12.6 Dato 0 6= v ∈ E3 , sia
T : E3 −→ E3 ,
T (x) := (x ∧ v) ∧ v .
Dopo aver verificato che T è lineare, determinare il nucleo ker T e descriverlo
in termini geometrici. L’applicazione T è suriettiva?
1In altre parole, la traccia di una matrice A è la somma degli elementi della sua
diagonale.
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