LAUREA IN MATEMATICA
Esame di profitto di Geometria 2
Modulo di Topologia
aprile 2014
1. Si considerino gli spazı̂ topologici X 0 = (R; T 0 ) e X 00 = (R, T 00 ), dove T 0 denota
la topologia discreta di R e
S
T 00 = ∅, R
]− x, x [ : x ∈ R+
Supposto che f : X 0 → X 00 sia una funzione continua, indicare tra le seguenti
condizioni su f quella incompatibile con i dati:
(a) f è iniettiva;
(b) f è suriettiva;
(c) f (X 0 ) è un sottospazio compatto di X 00 ;
(d) f (X 0 ) non è un sottospazio connesso di X 00 .
Soluzione: Tenuto conto che ogni funzione con dominio discreto è continua e
che ogni sottospazio di X 00 non è decomponibile in due aperti disgiunti, si vede
che la (a) e la (b) sono condizioni compatibili con i dati, mentre la (d) non lo è.
D’altronde anche la (c) è una condizione compatibile, per esempio f (X 0 ) è un
sottospazio compatto di X 00 se f è una funzione costante.
2. Si denoti con Y il sottospazio dello spazio topologico euclideo C2 ≡ E4 che ha
sostegno nell’insieme
(x, y) ∈ C2 : xx̄ + y ȳ = 1 .
Denotati con <(z) e =(z) le componenti reale ed immaginaria del numero
complesso z, cioè z = <(z) + =(z)i, si consideri su Y la relazione di equivalenza:
(x, y) ∼ (x0 , y 0 ) ⇐⇒ (x0 , y 0 ) = ±(x, y)
oppure
<(x) = =(x) = <(y) = <(x0 ) = =(x0 ) = <(y 0 ) = 0.
Tra le seguenti affermazioni riguardanti lo spazio quoziente X := Y /∼ individuare quella falsa:
(a) è possibile definire una relazione di equivalenza sul disco D3 tale che il
corrispondente spazio quoziente sia omeomorfo ad X;
(b) X è uno spazio topologico metrizzabile;
(c) X contiene un sottospazio omeomorfo ad S2 ;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: Si ha
1
• L’equazione xx̄ + y ȳ = 1 si riscrive
<(x)2 + =(x)2 + <(y)2 + =(y)2 = 1,
cioè Y è la sfera S3 dello spazio euclideo E4 .
• Anche lo spazio topologico quoziente X è omeomorfo a S3 ; più precisamente, proiettando i punti di Y da (0, 0) abbiamo un’identificazione f :
Y → S sul sottospazio S di C2 che ha sostegno nell’insieme di punti
o
n
2
(x, y) ∈ C2 : <(x)2 + =(x)2 + <(y)2 + =(y) + 21 = 14
la sfera di centro 0, 0, 0, − 12 e raggio 12 . Poiché due punti di Y hanno la
stessa immagine in f esattamente quando appartengono alla stessa classe
d’equivalenza, resta definita una biezione g : X S tale che f = gπ, se π
denota la proiezione canonica Y → X. La teoria allora ci assicura che g è
un omeomorfismo tra X ed S ' S3 .
• Quozientando il disco D3 rispetto alla sua frontiera si ottiene S3 .
Con le informazioni acquisite la (b) e la (c) affermano, rispettivamente, che S3
è uno spazio metrizzabile contenente S2 , affermazioni palesemente vere.
3. Dei seguenti spazı̂ topologici:
• il piano proiettivo CP2 ;
• il sottospazio Q2 del piano euclideo E2 ;
• il sottospazio SL(2, R) delle matrici di determinante 1 dello spazio euclideo
M(2, R) delle matrici 2 × 2 a coefficienti in R;
quelli che risultano localmente compatti
(a)
(b)
(c)
(d)
1
sono:
il primo ed il secondo;
il secondo ed il terzo;
il primo ed il terzo;
tutti e tre.
Soluzione. La chiusura di un intorno è compatta in ogni spazio topologico
compatto, in particolare in CP2 . Inoltre, i punti con coordinate razionali di un
intorno di un punto p ∈ Q2 non formano mai un chiuso di E2 , per cui non può
esserci alcun intorno compatto di p in Q2 . Infine si osservi che SL(2, R) è unione
di due aperti, precisamente
!
)
(
x12
x11
1
1
2
∗
2
: x1 , x2 , x1 ∈ R × E
A1 =
1+x12 x21
x21
x1
1
e
(
A2 =
x11
x11 x22 −1
x12
x12
x22
)
!
:
x12 , x11 , x21
∗
2
∈R ×E
,
perché almeno uno tra x11 e x12 deve essere invertibile: A1 che A2 sostengono
sottospazı̂ di SL(2, R) ambedue omeomorfi al prodotto topologico R∗ × E2 , uno
spazio localmente compatto (basta fare la chiusura degli intorni sferici, per avere
intorni compatti).
1 Ricordiamo che uno spazio topologico si dice localmente compatto se ogni suo punto ha un
intorno compatto.
2
4. Sia X lo spazio topologico avente sostegno in R e topologia
T = {∅, R} ∪ {A ⊂ R : A ∩ Q = ∅}.
Individuare l’affermazione falsa:
(a) X è compatto;
(b) X è connesso;
(c) il sottospazio Y di X avente sostegno in R \ Q è sconnesso ;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione. Essendo R l’unico aperto di X che interseca Q, ogni ricoprimento
di X con aperti deve avere R tra i suoi membri e, inoltre, non esiste una decomposizione di X in due aperti non vuoti. Infine, Y è totalmente sconnesso perché
è un sottospazio discreto.
5. Sia X lo spazio topologico dell’esercizio precedente. Tra le seguenti affermazioni
riguardanti la funzione f : X → E1 , x 7→ x + 1, individuare quella corretta:
(a) f è continua;
(b) f è chiusa;
(c) f è aperta;
(d) ciascuna delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione. Poiché f è suriettiva ed X è compatto, un’eventuale continuità
di f implicherebbe
di E1 , ma non è cosı̀. Inoltre le condizioni
√
√ la compattezza
f (Q) = Q e f ( 2) = 1 + 2 ci dicono che f non trasforma ciascun chiuso di X
in un chiuso di E1 , né ogni aperto di X in un aperto di E1 .
6. Sia X lo spazio topologico avente sostegno in R e topologia generata dalla
famiglia {[a, b [ : a, b ∈ R}. Denotato con Y lo spazio topologico √
avente sostegno
in R e topologia indotta da X attraverso la funzione p : x 7→ 3 x, individuare
l’affermazione corretta:
(a) Y è compatto;
(b) Y è connesso;
(c) Y è di Hausdorff ;
(d) ciascuna delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione. Essendo p una biiezione, gli spazı̂ topologici X ed Y sono omeomorfi
e quindi Y ha le stesse proprietà di X: Y è uno spazio di Hausdorff che non è
né compatto né connesso.
3
