A. A. 2007-08 - ESAME DI PROFITTO DI GEOMETRIA 2 - settembre 2008 Modulo di Topologia 1. Individuare tra i seguenti sottospazi dello spazio topologico euclideo E4 l’unico omeomorfo a P1 : © ª (a) (cos πt, t, sin πt, −t) : t ∈ [−1, 1] ; © ª (b) (cos πt, et , sin πt, e−t ) : t ∈ [−1, 1] ; © ª (c) (cos πt, |t|, sin πt, t2 ) : t ∈ [−1, 1] ; © ª √ √ (d) (cos πt, t + 1, sin πt, 1 − t) : t ∈ [−1, 1] . Soluzione: Ciascuno dei sottospazi indicati risulta essere immagine di una funzione continua ϕ : [−1, 1] → E4 . In particolare, ϕ è iniettiva per i sottospazi (a), (b) e (d), mentre per il sottospazio (c) lo è solo su [−1, 1[ (si ha ϕ(−1) = ϕ(1) = (−1, 1, 0, 1)). Tenuto conto che una funzione continua tra uno spazio compatto ed uno spazio di Hausdorff è anche chiusa, possiamo senz’altro concludere che ciascuno dei sottospazi (a), (b) e (d) è omeomorfo all’intervallo [−1, 1], mentre il sottospazio (c) è omeomorfo allo spazio quoziente ottenuto identificando in [−1, 1] i punti −1 ed 1, cioè ad S1 ' P1 . 2. Si consideri su R la topologia © ª © ª T = A⊆R:Q⊆A ∪ ∅ . Individuare tra le seguenti affermazioni l’unica che risulta falsa: (a) (b) (c) (d) (R, T ) non è uno spazio compatto; Q è denso in R, cioè la sua chiusura è R; in (R, T ) non vale l’assiona di Hausdorff; (R, T ) è uno spazio topologico totalmente sconnesso, cioè ogni componente connessa si riduce ad un singolo punto. © ª Soluzione: Q ∪ {ξ} : ξ ∈ R \ Q è una ricoprimento di aperti dello spazio (R, T ) ed un numero finito di questi aperti non è sufficiente a ricoprire tale spazio. Poiché Q è contenuto in ogni aperto non vuoto dello spazio, ogni elemento di R è d’accumulazione per Q. Due aperti non vuoti in T hanno sempre almeno Q in comune e quindi non hanno mai intersezione vuota: questo esclude sia la validità dell’assioma di Hausdorff, sia la possibilità che lo spazio si sconnetta nell’unione disgiunta di due aperti non vuoti. 2 3. Su R© si consideri la topologia T generata dalla famiglia di sottoinsiemi ª © ª¡ B = Ba : a ∈ R,¢ a ≥ 0 con Ba = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ a cioè B è una base per T . Individuare tra le seguenti affermazioni riguardanti lo spazio topologico X := (R, T ) l’unica che risulta corretta: (a) in X ogni punto non è chiuso; √ ª © (b) (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 3 2 ∈ T ; √ ª © © (c) la parte interna di (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 3 2 è (x, y) ∈ R2 : √ ª x2 + y 2 > 3 2 ; (d) un sottospazio di (R2 , T ) è chiuso se, e solamente se, è compatto. Soluzione: L’unione degli aperti Ba con a > 0 dà R2 \ {0}, per cui {0} è un chiuso di X. √ ª © © (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 3 2 si ottiene come unione degli aperti (x, y) ∈ ª ¡√ ¢ R2 : x2 + y 2 ≥ a al variare di a ∈ 3 2, ∞ . La falsità dell’affermazione (c) segue dal fatto che l’insieme di cui si chiede 3 la parte interna è l’aperto B √ 2 di B. I chiusi non vuoti di X sono precisamente i sottospazı̂ Ca0 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < a} (a ∈ R+ ), oppure i sottospazı̂ Ca00 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ a} (a ≥ 0), mentre ogni sottospazio di X di cardinalità finita è sicuramente compatto. 4. Sia X uno spazio topologico di Hausdorff con almeno due elementi. Supposto che per ogni x ∈ X il sottospazio X \ {x} sia compatto, individuare tra le seguenti affermazioni l’unica non corretta: (a) X è sconnesso; (b) X è compatto ⇐⇒ X ha cardinalità finita; (c) ciascun sottoinsieme di X ha frontiera vuota; (d) una delle precedenti affermazioni è non corretta. Soluzione: Poiché i compatti di uno spazio di Hausdorff sono chiusi, le ipotesi garantiscono che ogni singolo punto di X è un aperto, ovvero che X è uno spazio discreto. Le proprietà (a), (b) e (c) sono peculiari di uno spazio discreto. 5. Nello spazio topologico euclideo delle matrici 2 × 2 a coefficienti reali si consideri il sottospazio X delle matrici aventi traccia 1. Denotata con ∼ la relazione di equivalenza in X che identifica le matrici aventi la stessa diagonale principale, cioè µ ¶ µ 0 ¶ x z0 x z ⇐⇒ x = x0 e y = y 0 , ∼ t y t0 y 0 individuare tra le seguenti affermazioni l’unica corretta: (a) X/∼ è compatto; (b) X/∼ è connesso; (c) X/∼ è omeomorfo al sottospazio D2 (R) delle matrici diagonali; (d) le precedenti affermazioni sono tutte false. Soluzione: Poiché µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ 0 x z x 0 x 0 x ' e 6' t y 0 y 0 y 0 0 y0 ¶ se (x, y) 6= (x0 , y 0 ), lo spazio quoziente X/ ∼ è palesemente omeomorfo alla retta del piano affine euclideo d’equazione x + y = 1, cioè ad uno spazio connesso ma non compatto. Ciò esclude che X/∼ possa essere omeomorfo a D2 (R) ' R2 . 6. Si consideri sulla retta reale la struttura topologica τ avente per chiusi R e tutti i sottoinsiemi con cardinalità finita e sia f : R → R una funzione che risulti continua dotando sia il dominio che il codominio di tale struttura topologica. Tra le seguenti affermazioni individuare l’unica falsa: (a) se f è invertibile =⇒ f è un omeomorfismo; (b) se l’immagine di f ha cardinalità finita allora f è una funzione costante; (c) il sottospazio f (Z) è in ogni caso uno spazio discreto (rispetto alla topologia indotta da τ ); (d) una delle precedenti affermazioni è falsa. Soluzione: f ovviamente trasforma sottoinsiemi di cardinalità finita in sottoinsiemi di cardinalità finità, cioè trasforma chiusi in chiusi, e quindi aperti in aperti se si assume che f sia invertibile. L’immagine di f è certamente connessa per cui f deve essere costante se l’immagine di f è uno spazio discreto. Infine si osservi che ogni punto del sottospazio f (Z) è un aperto esattamente quando |f (Z)| < ∞.