Modulo di Topologia

A. A. 2007-08 - ESAME DI PROFITTO DI GEOMETRIA 2 - settembre 2008
Modulo di Topologia
1. Individuare tra i seguenti sottospazi dello spazio topologico euclideo E4
l’unico omeomorfo a P1 :
©
ª
(a) (cos πt, t, sin πt, −t) : t ∈ [−1, 1] ;
©
ª
(b) (cos πt, et , sin πt, e−t ) : t ∈ [−1, 1] ;
©
ª
(c) (cos πt, |t|, sin πt, t2 ) : t ∈ [−1, 1] ;
©
ª
√
√
(d) (cos πt, t + 1, sin πt, 1 − t) : t ∈ [−1, 1] .
Soluzione: Ciascuno dei sottospazi indicati risulta essere immagine di
una funzione continua ϕ : [−1, 1] → E4 . In particolare, ϕ è iniettiva per i
sottospazi (a), (b) e (d), mentre per il sottospazio (c) lo è solo su [−1, 1[
(si ha ϕ(−1) = ϕ(1) = (−1, 1, 0, 1)). Tenuto conto che una funzione continua tra uno spazio compatto ed uno spazio di Hausdorff è anche chiusa,
possiamo senz’altro concludere che ciascuno dei sottospazi (a), (b) e (d)
è omeomorfo all’intervallo [−1, 1], mentre il sottospazio (c) è omeomorfo
allo spazio quoziente ottenuto identificando in [−1, 1] i punti −1 ed 1, cioè
ad S1 ' P1 .
2. Si consideri su R la topologia
©
ª © ª
T = A⊆R:Q⊆A ∪ ∅ .
Individuare tra le seguenti affermazioni l’unica che risulta falsa:
(a)
(b)
(c)
(d)
(R, T ) non è uno spazio compatto;
Q è denso in R, cioè la sua chiusura è R;
in (R, T ) non vale l’assiona di Hausdorff;
(R, T ) è uno spazio topologico totalmente sconnesso, cioè ogni componente connessa si riduce ad un singolo punto.
©
ª
Soluzione: Q ∪ {ξ} : ξ ∈ R \ Q è una ricoprimento di aperti dello spazio
(R, T ) ed un numero finito di questi aperti non è sufficiente a ricoprire tale
spazio.
Poiché Q è contenuto in ogni aperto non vuoto dello spazio, ogni elemento
di R è d’accumulazione per Q.
Due aperti non vuoti in T hanno sempre almeno Q in comune e quindi non
hanno mai intersezione vuota: questo esclude sia la validità dell’assioma di
Hausdorff, sia la possibilità che lo spazio si sconnetta nell’unione disgiunta
di due aperti non vuoti.
2
3. Su R©
si consideri la topologia
T generata
dalla famiglia di sottoinsiemi
ª
©
ª¡
B = Ba : a ∈ R,¢ a ≥ 0 con Ba = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ a cioè B
è una base per T . Individuare tra le seguenti affermazioni riguardanti lo
spazio topologico X := (R, T ) l’unica che risulta corretta:
(a) in X ogni punto non è chiuso;
√ ª
©
(b) (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 3 2 ∈ T ;
√ ª ©
©
(c) la parte interna di (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 3 2 è (x, y) ∈ R2 :
√
ª
x2 + y 2 > 3 2 ;
(d) un sottospazio di (R2 , T ) è chiuso se, e solamente se, è compatto.
Soluzione: L’unione degli aperti Ba con a > 0 dà R2 \ {0}, per cui {0} è
un chiuso di X.
√ ª
©
©
(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 3 2 si ottiene come unione degli aperti (x, y) ∈
ª
¡√
¢
R2 : x2 + y 2 ≥ a al variare di a ∈ 3 2, ∞ .
La falsità dell’affermazione (c) segue dal fatto che l’insieme di cui si chiede
3
la parte interna è l’aperto B √
2 di B.
I chiusi non vuoti di X sono precisamente i sottospazı̂
Ca0 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < a}
(a ∈ R+ ),
oppure i sottospazı̂
Ca00 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ a}
(a ≥ 0),
mentre ogni sottospazio di X di cardinalità finita è sicuramente compatto.
4. Sia X uno spazio topologico di Hausdorff con almeno due elementi. Supposto che per ogni x ∈ X il sottospazio X \ {x} sia compatto, individuare
tra le seguenti affermazioni l’unica non corretta:
(a) X è sconnesso;
(b) X è compatto ⇐⇒ X ha cardinalità finita;
(c) ciascun sottoinsieme di X ha frontiera vuota;
(d) una delle precedenti affermazioni è non corretta.
Soluzione: Poiché i compatti di uno spazio di Hausdorff sono chiusi, le
ipotesi garantiscono che ogni singolo punto di X è un aperto, ovvero che
X è uno spazio discreto. Le proprietà (a), (b) e (c) sono peculiari di uno
spazio discreto.
5. Nello spazio topologico euclideo delle matrici 2 × 2 a coefficienti reali si
consideri il sottospazio X delle matrici aventi traccia 1. Denotata con ∼
la relazione di equivalenza in X che identifica le matrici aventi la stessa
diagonale principale, cioè
µ
¶ µ 0
¶
x z0
x z
⇐⇒ x = x0 e y = y 0 ,
∼
t y
t0 y 0
individuare tra le seguenti affermazioni l’unica corretta:
(a) X/∼ è compatto;
(b) X/∼ è connesso;
(c) X/∼ è omeomorfo al sottospazio D2 (R) delle matrici diagonali;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione: Poiché
µ
¶ µ
¶
µ
¶ µ 0
x z
x 0
x 0
x
'
e
6'
t y
0 y
0 y
0
0
y0
¶
se (x, y) 6= (x0 , y 0 ),
lo spazio quoziente X/ ∼ è palesemente omeomorfo alla retta del piano
affine euclideo d’equazione x + y = 1, cioè ad uno spazio connesso ma non
compatto. Ciò esclude che X/∼ possa essere omeomorfo a D2 (R) ' R2 .
6. Si consideri sulla retta reale la struttura topologica τ avente per chiusi R e
tutti i sottoinsiemi con cardinalità finita e sia f : R → R una funzione che
risulti continua dotando sia il dominio che il codominio di tale struttura
topologica. Tra le seguenti affermazioni individuare l’unica falsa:
(a) se f è invertibile =⇒ f è un omeomorfismo;
(b) se l’immagine di f ha cardinalità finita allora f è una funzione costante;
(c) il sottospazio f (Z) è in ogni caso uno spazio discreto (rispetto alla
topologia indotta da τ );
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: f ovviamente trasforma sottoinsiemi di cardinalità finita in
sottoinsiemi di cardinalità finità, cioè trasforma chiusi in chiusi, e quindi
aperti in aperti se si assume che f sia invertibile.
L’immagine di f è certamente connessa per cui f deve essere costante se
l’immagine di f è uno spazio discreto.
Infine si osservi che ogni punto del sottospazio f (Z) è un aperto esattamente quando |f (Z)| < ∞.