Laurea in Matematica
Esercitazioni di Geometria 2 - 14 aprile 2016
1. Si denoti con X lo spazio topologico con sostegno in R e topologia avente per
chiusi R ed i sottoinsiemi di R di cardinalità finita. Tra le seguenti affermazioni
riguardanti il prodotto topologico X × X individuare quella falsa:
(a) X × X è compatto;
(b) X × X è connesso;
(c) X × X non è di Hausdorff;
(d) ogni chiuso di X × X diverso da R2 ha cardinalità finita.
Soluzione:
• Il prodotto topologico di spazı̂ compatti e connessi ha le stesse proprietà.
• Ogni sottospazio di uno spazio topologico di Hausdorff ha la stessa proprietà: X, che non è di Hausdorff, è omeomorfo al sottospazio di X × X
che ha sostegno in {x} × R per ogni numero reale x.
• Tra gli aperti di X × X ci sono, per esempio, i sottoinsiemi R \ {x} × R \ {x}
per ciascun numero reale x. Il complementare di un tale aperto non ha
cardinalità finita.
2. Si denoti con X lo spazio topologico avente sostegno in R e topologia T generata
e la compattificazione di Alexandrov
dagli intervalli Ia := {x ∈ R : x < a} e sia X
di X ottenuta con l’aggiunta di un punto ∞. Individuare l’affermazione corretta:
(a) i numeri reali di valore assoluto > 1 sostengono un sottospazio connesso di
e
X;
e è un aperto di X
e 1;
(b) il punto ∞ che rende compatto X
e
(c) l’insieme dei numeri interi sostiene un sottospazio discreto di X;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione: I chiusi di X sono gli intervalli {x ∈ R : x ≥ a}, oltre che ∅ ed
R, ed un compatto di X, dovendolo coprire con un numero finito d’intervalli
{x ∈ R : x < a}, non può essere illimitato superiormente. Ne consegue che
l’insieme vuoto è l’unico chiuso compatto di X, ovvero R ∪ {∞} è l’unico aperto
e contenente il punto ∞: pertanto due aperti non vuoti di X
e contengono
di X
sempre un membro della base di T e ciò permette di concludere che è impossibile
decomporre l’insieme in (a) in due aperti non vuoti disgiunti e che il punto ∞
non è aperto. Si osservi infine che in ogni intervallo Ia ci sono infiniti numeri
interi e ciò non permette che l’insieme dei numeri interi sostenga un sottospazio
e discreto.
di X
1 Un
punto aperto talvolta è detto un punto isolato.
1
3. Siano X lo spazio topologico con sostegno in R e topologia T generata dagli
intervalli Ia := {x ∈ R : x < a}, Y il sottospazio di X che si appoggia sull’insieme
N dei numeri interi non negativi e Ye la compattificazione di Alexandrov di Y
ottenuta con l’aggiunta di un extra punto ∞. L’insieme
Z := {∞} ∪ {2n : n ∈ N}
di punti di Ye
(a) è denso in Ye ;
(b) ha parte interna vuota;
(c) sostiene un sottospazio discreto;
(d) non ha alcuna delle proprietà precedenti.
Soluzione: Poiché nessun chiuso di Y sostiene un compatto, gli unici aperti
propri di Ye sono quelli di Y , cosicché l’unico contenuto in Z è quello costituito
dal punto {0}. D’altronde ogni intorno di un punto y di Ye non appartenente a
Z, cioè di un intero positivo dispari, contiene tutti gli interi positivi pari ≤ y,
ovvero l’affermazione (a) è corretta ed è la sola corretta, ove si tenga conto che
{0} è l’unico punto aperto del sottospazio che si appoggia su Z.
4. Sia T la topologia più fine che rende C compatto e che induce in C∗ la topologia
euclidea. Delle seguenti affermazioni:
- ogni chiuso rispetto a T è un insieme limitato rispetto alla metrica euclidea;
- c’è un numero complesso che non risulta chiuso rispetto a T ;
quelle corrette sono:
(a) né la prima, né la seconda;
(b) la prima, ma non la seconda;
(c) la seconda, ma non la prima;
(d) sia la prima che la seconda.
Soluzione: La topologia T che si sta considerando equivale alla compattificazione di Alexandrov del sottospazio C∗ di C ' E2 prendendo 0C come punto di compattificazione. Ne consegue che gli aperti di T sono gli aperti del
piano euclideo che o risultano contenuti in C∗ , oppure contengono 0C ed hanno un complementare che sostiene un sottospazio compatto del piano euclideo.
Pertanto
- gli aperti del secondo tipo hanno un complementare limitato, ma lo stesso
non può dirsi per quelli del primo tipo perché il complementare di un aperto
di C∗ limitato ha complementare illimitato;
- ogni numero complesso z 6= 0C è il complementare di un aperto del secondo
tipo, mentre 0C è il complementare dell’aperto C∗ di T .
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