A. A. 2006-07 - ESAME DI PROFITTO DI GEOMETRIA 30 - maggio 2007
C.d.L. in Matematica - II Modulo
C.d.L. in M.I.C.S. - I Modulo
1. Si consideri il sottospazio X della retta proiettiva complessa ottenuto privando P1 (C) dei punti di coordinate [0, 1] e [1, 0]. Individuare tra le
seguenti affermazioni l’unica che risulta corretta:
(a) X ha un sottospazio omeomorfo ad S1 ;
(b) X è compatto;
(c) X ha due componenti connesse;
(d) Non può esistere una funzione continua e suriettiva X → S1 × R.
Soluzione: La retta proiettiva complessa è omeomorfa a S2 . Togliendo
due punti a S2 si ottiene uno spazio omeomorfo al cilindro S1 × R che è
uno spazio connesso ma non compatto. Ogni sezione trasversale all’asse
del cilindro dà un sottospazio omeomorfo ad S1 .
2. Si consideri lo spazio topologico X ottenuto identificando in un unico punto
i punti del piano proiettivo reale di coordinate [x1 , 0, x3 ] con [x1 , x3 ] ∈
P1 (R). Individuare tra le seguenti affermazioni l’unica che risulta corretta:
(a) X è omeomorfo ad S1 ;
(b) X è omeomorfo ad S2 ;
(c) X è una compattificazione di R2 , ma non è la sua compattificazione
di Alexandrov;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false;
Soluzione: I punti di P2 (R) possono essere suddivisi in due parti disgiunte: i punti del tipo [x1 , 1, x3 ] con (x1 , x3 ) ∈ R2 ed i punti del tipo
[x1 , 0, x3 ] con [x1 , x3 ] ∈ P1 (R) che abbiamo identificato in un unico punto,
che indichiamo con ∞. Un aperto di X che contine ∞ ha come preimmagine nella proiezione naturale P2 (R) → X un aperto il cui complementare è un chiuso che, essendo contenuto in uno spazio compatto, deve
essere compatto. Quindi X è la compattificazione di Alexandrov di R2 e
quindi è omeomorfo ad S2 .
3. Un arco definito su uno spazio topologico X è una funzione continua α :
I → X. Ciò premesso, individuare tra le seguenti affermazioni riguardanti
un dato arco α definito sul sottospazio Q della retta euclidea, l’unica che
risulta corretta:
(a) α(I) è un intervallo di Q;
(b) α è una funzione iniettiva;
(c) α è una funzione costante;
(d) α(0) 6= α(1).
Soluzione: Essendo I connesso, anche α(I) deve essere un connesso, ma
gli unici connessi di Q sono i punti, quindi α(I) ha cardinalità 1.
4. Si consideri il sottospazio del piano euclideo
©¡
¢
ª
X = t cos(2πt), t sin(2πt) : t ∈ I = [0, 1] .
Indicare tra le seguenti affermazioni l’unica corretta:
(a) X è omeomorfo a P1 (R);
(b) X privato di uno qualsiasi dei suoi punti è omeomorfo ad R;
(c) lo spazio X 0 ottenuto da X identificando il punto (0, 0) con il punto
(1, 0) è omeomorfo ad S1 ;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
¡
¢
Soluzione: La funzione continua f : I → X, t 7→ t cos(2πt), t sin(2πt)
(un arco definito
p nel piano euclideo) è invertibile avendo inversa nella funzione (x, y) 7→ x2 + y 2 . Quindi I ed X sono spazı̂ isomorfi e ciò esclude
che le risposte (a) e (b) siano corrette, visto che I privato dei punti 0 ed
1 è connesso, mentre privando di due punti P1 (R) ' S1 , oppure privando
R di un punto, si ottengono spazı̂ con più componenti connesse. Infine il
procedimento per ottenere X 0 da X è equivalente a quello necessario per
ottenere S1 da I.
5. Si consideri la funzione
(
f : x 7→
1
x2
0
se x 6= 0,
se x = 0
con dominio la retta euclidea e codominio la semiretta X = [0, +∞) dotata
della topologia quoziente rispetto alla funzione f data. Individuare tra le
seguenti affermazioni riguardanti lo spazio tolopogico X l’unica che risulta
sbagliata:
(a) la topologia data ad X coincide con quella indotta su X dalla topologia euclidea di R;
(b) X non è compatto;
(c) X è di Hausdorff;
(d) i compatti di X sono chiusi;
Soluzione: Ogni insieme di numeri reali del tipo (k, +∞) ∪ {0} con k > 0
è un aperto dello spazio topologico X, quindi determina un intorno
di 0,
√ √
perché ha per pre-immagine rispetto ad f l’intervallo aperto (− k, k).
Ne consegue che la topologia data ad X è differente da quella indotta su
X dalla topologia euclidea di R.
©¡ 1
¢
ª
La famiglia di aperti
n , +∞ ∪ {0} : n ∈ N ricopre X, ma non si può
ricoprire X con un numero finito di essi.
È utile osservare che la topologia indotta da X sulla semiretta Y=(0, ∞)
coincide con quella indotta dalla topologia euclidea di R. Questo significa
che il sottospazio Y è di Hausdorff e rimane da controllare se in X 0 può
essere separato da ogni numero reale ² > 0. La ”separazione” può essere
fatta scegliendo un intervallo di numeri reali positivi che contenga ² ed
una semiretta (a, ∞) che non contenga tale intervallo. Conseguentemente
i compatti di X devono essere chiusi.
©
ªS©
ª
6. Si consideri su R la topologia T = (−∞, x) : x ∈ R
R, ∅ e si dee la compattificazione di Alexandrov dello spazio X = (R, T ).
noti con X
Individuare tra le seguenti affermazioni l’unica che risulta corretta:
e
(a) l’intervallo [1, 2] è un chiuso di X;
e è sconnesso;
(b) X
e
(c) Z è denso in X;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione: Chiaramente i chiusi di X sono semirette destre del tipo
[c, +∞), oltre che ∅ e R. È altrettanto evidente che un compatto di X,
dovendolo coprire con un numero finito di semirette sinistre, non può essere
illimitato superiormente. Ne consegue che l’insieme vuoto è l’unico chiuso
compatto di X, ovvero R ∪ {∞} è l’unico aperto contenente il punto ∞.
Pertanto due aperti non vuoti di X hanno sempre intersezione non vuota.
Infine in ogni semiretta sinistra vi si trovano numeri interi, il che significa
che tutti gli intorni di un qualsiasi numero reale contengono degli interi,
e questo vale ovviamente anche per l’unico intorno R ∪ {∞} che possiede
e è di aderenza per Z.
∞. Si può concludere cosı̀ che ogni elemento di X
