A. A. 2006-07 - ESAME DI PROFITTO DI GEOMETRIA 2 - luglio 2007
C.d.L. in Matematica - II Modulo
C.d.L. in M.I.C.S. - I Modulo
1. Si consideri il gruppo G costituito dalle quattro trasformazioni del piano
topologico euclideo E2
(x1 , x2 ) 7→ (ε1 x1 , ε2 x2 )
(εi = ±1).
Tra le seguenti affermazioni riguardanti lo spazio di orbite X = E2 /G
individuare l’unica che risulta corretta:
(a) X è omeomorfo alla retta proiettiva reale P1 ;
(b) X è omeomorfo al piano proiettivo reale P2 ;
(c) X è omeomorfo alla bottiglia di Klein;
(d) X non è omeomorfo ad alcuno dei precedenti spazı̂ .
Soluzione: Ciascuno degli spazı̂ (a), (b) e (c) è uno spazio compatto
mentre X non lo è: infatti gli intorni sferici
o
n
p
S(O, n) = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < n ,
con n intero positivo, formano un ricoprimento di aperti di E2 che risultano
saturi rispetto alla proiezione canonica π : E2 → X e un numero finito di
essi non è sufficente per ricoprire E2 . Ciò significa che
©
ª
π(Sn ) : n ∈ N, n > 0
è un ricoprimento di aperti di X da cui non se ne può estrarre alcuno finito.
2. Tra le seguenti affermazioni riguardanti il sottoinsieme
[ ©
ª
M :=
(x, y) ∈ R2 : x − ny = 0, 0 ≤ x ≤ 1 .
n∈N, n6=0
del piano topologico euclideo E2 individuare l’unica che risulta sbagliata:
(a) M è un chiuso di E2 ;
(b) M è un connesso di E2 ;
(c) l’interiore di M è vuoto;
(d) la frontiera di M contiene propriamente M .
Soluzione: M consiste di segmenti aventi in comune l’estremo (0, 0) (e
quindi M è connesso) col secondo estremo (1, n1 ) sulla retta x = 1. Questi
punti (1, n1 ) costituiscono una successione convergente al punto (1, 0) 6∈ M .
Questo ci dice che M non contiene tutti i suoi punti di aderenza e quindi
non può essere un chiuso. D’altronde ogni intorno sferico di centro un
punto di M non può essere contenuto in un insieme lineare qual è M ;
dunque i punti di M sono tutti di aderenza sia per M che per il suo
complementare, e lo stesso vale per il punto (1, 0).
3. Osservato che lo spazio prodotto X = N∗ × S1 può essere immerso nello
spazio euclideo E3 , si individui tra le seguenti affermazioni l’unica che
risulta sbagliata:
(a) la topologia di X coincide con quella indotta dallo spazio euclideo E3 ;
(b) X non è uno spazio connesso;
(c) X è omeomorfo al sottospazio del piano topologico eucliedo E2
[
Y =
FrS(O, n),
n∈N∗
dove FrS(O, n) denota la frontiera dell’intorno sferico di E2 di centro
O = (0, 0) e raggio n;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: La veridicità della prima affermazione segue dal fatto che
la topologia prodotto di E1 × E2 coincide con quella di E3 .Chiaramente
X non può essere connesso perché altrimenti lo sarebbe anche la sua
proiezione su N∗ , che è invece uno spazio totalmente sconnesso in cui ogni
punto costituisce una componente connessa.
Un omeomorfismo X → Y si ottiene agevolmente associando al punto
(n, s) ∈ X il punto ρn (s) di FrS(O, n), avendo indicato con ρn l’omeomorfismo esistente tra S1 e FrS(O, n).
4. Dotato R della topologia T dei complementari finiti, si consideri su S1 la
topologia quoziente Tp rispetto alla funzione
p : R → S1 ,
x 7→ (cos x, sin x).
Individuare tra le seguenti affermazioni riguardanti lo spazio X = (S1 , Tp )
l’unica corretta:
(a) X ha la topologia banale;
(b) X contiene un sottospazio sconnesso;
(c) ogni sottoinsieme finito di X è chiuso;
(d) esiste un sottospazio della retta euclidea omeomorfo ad X.
Soluzione: Poiché p è una funzione periodica, la pre-immagine A di un
aperto non vuoto A0 di ©
X (A è quindi un apertoª saturo per p) è un sottoinsieme di R del tipo x + 2kπ : x ∈ L, k ∈ Z per qualche insieme di
numeri reali L. Si capisce che il complementare di un tale aperto A non
è mai finito, a meno che L = R, e ciò richiede che A0 deve esaurire tutti i
punti di S1 . Ne segue che ogni sottospazio di X non può essere unione di
due aperti disgiunti e che ogni sottoinsieme di cardinalità finita > 0 non
può essere un chiuso. Infine la falsità dell’ultima affermazione segue dal
fatto che gli unici sottospazi di E1 aventi topologia banale sono i singoli
punti.
5. Siano Y = (R, T ) lo spazio topologico considerato nell’esercizio precedente ed f : Y → E1 una funzione continua. Individuare l’affermazione
sbagliata:
(a) f non può in alcun caso essere invertibile;
(b) f è in ogni caso chiusa;
(c) f è in ogni caso limitata;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione:
• Essendo i sottoinsiemi di cardinalità finita della retta euclidea dei chiusi,
f trasforma certamente un chiuso di Y in un chiuso di E1 .
• Se f fosse una funzione chiusa iniettiva, f (Y ) dovrebbe essere omeomorfo
ad un sottospazio della retta euclidea e ciò è escluso dal fatto che Y non è
uno spazio di Hausdorff.
• Y è compatto per cui f (Y ) è un sottospazio compatto della retta euclidea,
quindi un sottospazio limitato.
6. Si considerino lo spazio topologico euclideo Mat2×2 (R) delle matrici 2 × 2
a coefficienti reali, il suo sottospazio D2 delle matrici diagonali e lo spazio
quoziente D2 /∼ ottenuto identificando le matrici di D2 aventi lo stesso
determinante. Individuare tra le seguenti affermazioni l’unica che risulta
sbagliata
(a) D2 /∼ privato di uno qualsiasi dei suoi punti è sconnesso;
(b) D2 /∼ è omeomorfo ad un quoziente di S1 ;
(c) D2 /∼ è di Hausdorff;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: La funzione
·µ
f : D2 /∼ −→ E1 ,
x 0
0 y
¶¸
7→ xy
∼
è biunivoca con inversa
·µ
f −1 : x 7→
¶¸
x 0
0 1
∼
che risulta essere continua in quanto composizione della funzione continua
µ
¶
x 0
g : E1 −→ D2 , x 7→
0 1
con l’identificazione π : D2 −→ D2 /∼, A 7→ [A]∼ . Inoltre, essendo f ◦ π
continua, la teoria garantisce che lo è anche f . Quindi f è un omeomorfismo, da cui segue immediatamente che le risposte (a) e (c) sono corrette
mentre la (b) non lo è, in quanto il quoziente di un compatto è ancora un
compatto.
