LAUREA IN MATEMATICA
Esame di profitto di Geometria 2
Modulo di Topologia
marzo 2013
1. Si consideri il sottospazio X del piano topologico euclideo E2 che ha sostegno
nell’insieme di punti
S
F
S
(x, 0) : −1 ≤ x ≤ 1
(0, ±1) ,
n∈N, n>1 Cn
dove Cn denota la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1 − n1 . Individuare
l’affermazione corretta:
(a) X è uno spazio connesso;
(b) X ha tre componenti connesse, precisamente Y , (0, −1) e (0, 1) , dove
si è posto
F
S
Y := n∈N, n>1 Cn
(x, 0) : −1 ≤ x ≤ 1 ;
(c) X ha infinite componenti connesse;
(d) esiste una funzione continua γ : [−1, 1] → X (un ”cammino”) tale che
γ(−1) = (0, −1) e γ(1) = (0, 1).
F
Soluzione. L’unione n∈N, n>1 Cn sostiene un sottospazio con infinite componenti connesse (le singole circonferenze Cn ), ma Y è connesso perché il
sottoinsieme
Z := (x, 0) : −1 ≤ x ≤ 1
interseca ogni singola Cn . Tuttavia Y non è una componente connessa
di X
1
e
(0,
1) =
perché non un chiuso
di
X:
infatti,
(0,
−1)
=
lim
0,
−1
+
n→∞
n
limn→∞ 0, 1− n1 cosicché Y è denso in X e si può concludere che X è connesso.
Per completezza dimostriamo che la (d) è falsa.
Si supponga per assurdo che un cammino γ del tipo specificato in (d) esista
e si ponga
T := γ −1 (0, 1) .
Poiché γ è una funzione continua, T è un chiuso in [−1, 1], ma si può mostrare
che è anche un aperto. Infatti, la continuità
di γ in un qualunque t ∈ T richiede
che per ogni intorno sferico B (0, 1), r di centro (0, 1) e raggio r di E2 esista
un intervallo ] t − s, t + s [ tale che
γ ] t − s, t + s [ ⊆ B (0, 1), r ∩ X.
Se il raggio r dell’intorno sferico è tale che B (0, 1), r ∩ Z = ∅ (per esempio
r < 1), il sottoinsieme γ ] t − s, t + s [ di B (0, 1), r ∩ X, in quanto sostegno di
un sottospazio connesso, non può contenere
altri punti oltre (0, 1) perché (0, 1)
è componente
connessa
di
B
(0,
1),
r
∩
X.
Ne
deduciamo che γ ] t − s, t + s [ =
(0, 1) e, conseguentemente, ] t − s, t + s [ ⊆ T , cioè T è un sottoinsieme non
vuoto dell’intervallo [−1, 1] che risulta, oltre che chiuso, aperto essendo ogni
suo punto t interno a T ; quindi T dovrebbe esaurire l’intervallo [−1, 1], ma ciò
contraddice il fatto che γ(−1) = (0, −1).
1
2. Lo spazio proiettivo P M(2, C) , determinato dallo spazio vettoriale complesso
delle matrici 2 × 2 a coefficienti in C, come spazio topologico quoziente dello
spazio topologico euclideo M(2, C) ' C4 ' E8 ,
• si decompone in 3 componenti connesse;
• è unione disgiunta di 3 sottospazı̂ omeomorfi a E6 , E4 ed S2 , rispettivamente.
Le precedenti affermazioni sono:
(a) ambedue vere;
(b) la prima è vera, la seconda è falsa;
(c) la prima è falsa, la seconda è vera;
(d) ambedue false.
Soluzione. Lo spazio proiettivo P M(2, C) , come quoziente di uno spazio
topologico connesso è essostesso connesso. Poiché la C-dimensione vettoriale
di M(2, C) è 4, P M(2, C) è essenzialmente lo spazio proiettivo CP3 , ovvero
l’unione disgiunta C3 ∪ CP2 , identificabile con l’unione disgiunta E6 ∪ E4 ∪ S2 ,
ove si tenga conto delle equivalenze topologiche C3 ≡ E6 e CP2 ≡ C2 ∪ CP1 e
del fatto che C2 ≡ E4 e CP1 ≡ S2 .
3. Si denoti con X il prodotto topologico [0, 1] × [0, 1] di due copie del sottospazio
[0, 1] della retta topologica euclidea. Si considerino le famiglie di sottoinsiemi
di X:
D1 := [0, 1 − ε [ × ] ε, 1] : 0 < ε < 1 , D2 := ] ε, 1] × [0, 1 − ε [: 0 < ε < 1 ,
e si ponga D := D1 ∪ D2 . Individuare l’affermazione corretta:
(a) D è un ricoprimento di aperti di X;
(b) D non copre i punti (0, 0) e (1, 1);
(c) ci sono infiniti membri di X non ricoperti da D;
(d) un numero finito di membri di D non sono sufficienti a ricoprire l’aperto
] 13 , 23 [ × ] 13 , 23 [ di X.
Soluzione. Se (a, b) è un punto di X con a 6= 1 e b 6= 0, allora (a, b) sta in
ciascun membro [0, 1 − ε [ × ] ε, 1] di D per ogni numero reale positivo ε minore
sia 1 − a che di b, mentre se (a, b) è un punto di X con a 6= 0 e b 6= 1, allora
(a, b) sta in ] ε, 1] × [0, 1 − ε [ per ε minore sia a che di 1 − b : ne consegue che
gli unici punti di X non coperti da D sono (0, 0) e (1, 1). Infine si osservi che
per ε < 13 già [0, 1 − ε [ × ] ε, 1] copre ] 13 , 23 [ × ] 13 , 32 [ .
4. Nello spazio topologico eucldeo E2 si consideri il sottospazio X avente sostegno
nell’insieme
(x, y) ∈ R2 : (x − y + 1, x + y − 1) ∈ S1 .
Individuare l’affermazione falsa:
(a) X è connesso;
(b) X è compatto;
2
(c) X è omeomorfo al sottospazio di E2 avente sostegno nell’ellisse di equazione
x2 + 4y 2 = 4;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa
Soluzione. La funzione (x, y) 7→ (x − y + 1, x + y − 1) definisce un omeomorfismo E2 → E2 in quanto le sue componenti sono polinomi di grado 1 non
proporzionali (Rouché-Capelli): ne consegue che X è omeomorfo ad S1 per cui
le affermazioni (a) e (b) sono corrette, ma anche l’affermazione (c) è corretta perché (x, y) 7→ (2x, y) dà un omeomorfismo tra S1 e l’ellisse d’equazione
x2 + 4y 2 = 4.
5. Si consideri lo spazio topologico quoziente Y ottenuto identificando nel sottospazio del piano topologico euclideo avente sostegno nell’insieme
(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| = 1
il punto (−1, −1) col punto (−1, 1) ed il punto (1, −1) col punto (1, 1). Individuare l’affermazione corretta:
(a) Y privato di uno qualsiasi dei suoi punti è sconnesso;
(b) Y è omeomorfo al sottospazio della retta euclidea avente sostegno in [0, 1];
(c) Y è omeomorfo alla compattificazione di Alexandrof della retta euclidea;
(d) le precedenti affermazioni sono false.
Soluzione. Poiché X è unione disgiunta dei chiusi C1 = {(x, y) ∈ X : y = 1}
e C2 = {(x, y) ∈ X : y = −1} di E2 ,
(
√
se (x, y) ∈ C1
x, 1 − x2
√
(x, y) 7→
2
x, − 1 − x
se (x, y) ∈ C2
è una ben posta funzione f : X → S1 che risulta continua perché le sue
componenti sono funzioni continue aventi per dominio un chiuso. Inoltre f è
palesemente suriettiva, ma anche chiusa essendo X compatto ed S1 di Hausdorff. Quindi f è una identificazione
e, tenuto
√ conto che f (x1 , y1 ) = f (x2 , y2 )
√
esattamente quando x1 = x2 e 1 − x2 = − 1 − x2 , cioè per x1 = x2 = ±1,
possiamo concludere che Y è omeomorfo ad S1 .
6. Si denoti con X lo spazio topologico avente sostegno in R2 e topologia
T = ∅, R2 ∪ A ⊂ R2 : A ∩ (Z × Z) = ∅ .
Denotati con Q◦ , Q ed F(Q), rispettivamente, la parte interna, la chiusura e
la frontiera del quadrato Q = [0, 1] × [0, 1], individuare l’affermazione corretta:
(a) Q◦ = (0, 1) × (0, 1);
(b) Q = R2 ;
(c) F(Q) = Z × Z;
(d) le precedenti affermazioni sono false.
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Soluzione. Si verifica facilmente che il più grande aperto di X contenente Q
è Q privato dei punti (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Inoltre, essendo i chiusi di X
tutti e soli i sottoinsiemi che contengono Z × Z, il più piccolo chiuso di X che
contiene Q è Q ∪ (Z × Z). Possiamo allora concludere che:
• Q◦ = Q \ {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)},
• Q = Q ∪ (Z × Z),
• F(Q) = Q \ Q◦ = Z × Z.
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