INTEGRALI
Teoria in sintesi
Pag. 1395 -1399
Pag. 58 W (integrazione di particolari funzioni irrazionali escluso)
Volume escluso….
Def. Sia f(x) una funzione continua in un intervallo I, si dice che la funzione F(x) è una Primitiva
della f(x) se è derivabile in ogni punto di I e ivi risulta:
F’(x)=f(x)
Ex:
sinx è una primitiva di cosx perché (sinx)’= cosx
1 3
x è una primitiva di x2
3
'
perché
1 3 3 2
2
x x x
3
3
Teorema: Se una funzione f(x) ammette in un certo intervallo I la funzione F(x) come primitiva,
allora ne ammette infinite. Cioè se F(x) è una primitiva di f(x), tutte e sole le primitive di f(x) sono
date dalla formula F(x) + c, con c € R.
Def. : La totalità delle primitive di una data funzione f(x) si chiama INTEGRALE INDEFINITO della
funzione f(x) e si indica col simbolo
f ( x)dx che si legge “ Integrale Indefinito di f(x) in dx”
f ( x)dx
Cioè si ha
= F(x) + c
N.B. [F(x) + c ]’ = f(x)
Il simbolo
: è detto segno d’Integrazione
f(x) : è detta funzione integranda.
Significato Geometrico Dell’Integrale Indefinito
Geometricamente, si può considerare l’integrale indefinito come un insieme (una famiglia ) di curve
tali che si passa dall’una all’altra effettuando una traslazione nel senso positivo o negativo
dell’asse y.
N.B. Le tangenti alle curve nei punti di uguale ascissa, sono parallele.
Domanda: Ogni funzione f(x) possiede una primitiva? ( e quindi un integrale indefinito?) NO!!!
Però esiste il seguente teorema:
Teorema: Ogni funzione Continua in un intervallo ammette SEMPRE primitiva.
PROPRIETA’ dell’integrale indefinito:
Sia f(x) una funzione continua in I e k una costante si ha:
k f ( x) dx k f ( x) d ( x)
f1(x) f2(x)
Se
…. fn(x) sono funzioni continue in I, si ha:
f x f x ... f x dx f
1
2
n
1
( x) d ( x) f 2 x dx ... f n x dx
Combinando queste due si ha:
k
1
f 1 x k 2 f 2 x ...k n f n x dx k1 f 1 ( x) d ( x) k 2 f 2 x dx ...k n f n x dx
N.B. Dovete conoscere gli integrali indefiniti immediati vedi tabella pag. 1395-1396
Metodi di integrazione visti:
Integrazione per Scomposizione Pag. 1404
Integrazione delle funzioni razionali fratte Pag. 1420
Integrazione per sostituzione pag. 1412
Integrazione per parti Pag. 1418
NTEGRALE DEFINITO
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] positiva. L’insieme T
(quadrilatero mistilineo ABMN delimitato dalla curva la cui equazione è proprio la f(x), dalll’asse
delle x e dalle parallele AM e BN all’asse delle y) è detto TRAPEZZOIDE. Vogliamo trovare l’area
di questo trapezoide.
y
M
N
T
x
A
B
Per definire l’Integrale definito si suddivide l’intervallo [a,b] in n parti e si determinano le aree dei
rettangoli inscritti e dei rettangoli circoscritti .
Si ha : sn≤Sn dove sn sono le somme per difetto e sn sono le somme per eccesso.
Prevedendo gli intervalli sempre più piccoli, n sempre più grande le due somme si avvicinano
sempre più all’area T Allora:
Teorema: Se f(x) è una funzione continua in [a,b] le due successioni sn e Sn sono convergenti
verso lo stesso numero : lim sn lim S n
n
n
Definizione: Il valore comune di tale limite è detto INTEGRALE DEFINITO della funzione f(x)
esteso all’intervallo [a,b] e si indica con la scrittura :
b
f ( x) dx
che si legge : integrale definito da “ a a b
di f(x) in dx”
a
a e b sono gli estremi di integrazione; a: estremo inferiore ; b: estremo superiore
f(x): funzione integranda
x: variabile di integrazione
b
Per definizione si ha quindi:
f ( x) dx lim s
n
n
lim S n
n
a
Proprietà:
Innanzitutto valgono le stesse proprietà degli integrali indefiniti ( ossia di linearità)
In più valgono queste:
Se a<b
allora
a
b
b
a
f ( x) dx - f ( x) dx
a
Se a = b allora
f ( x) dx 0
a
Se a, b , c sono punti qualunque di un intervallo nel quale f(x) sia continua allora:
b
a
c
f ( x) dx
a
b
f ( x) dx +
f ( x) dx
c
Saltiamo alcuni teoremi….(anche se importanti) E arriviamo al:
Calcolo dell’integrale definito:
Calcolata una primitiva qualunque (x ) della funzione f(x) , l’integrale definito tra a e b della f(x)
è dato dalla differenza dei valori assunti da (x ) , rispettivamente nell’estremo superiore b e
nell’estremo inferiore a dell’integrale stesso.
b
f ( x) dx ( x)
b
a
(b) (a)
a
Significato geometrico dell’integrale definito.
b
Se f(x) è continua e non negativa in [a,b], allora
f ( x) dx
rappresenta l’area del trapezoide
a
delimitato dalla curva di equazione y= f(x), dall’asse delle x e dalle parallele all’asse delle y.
b
f ( x) dx
N.B.: Se f(x) è continua in [a,b] e NON positiva, allora
è uguale all’opposto dell’area :
a
b
A = - f ( x) dx
a
ATTENZIONE!!!! NON bisogna fare confusione fra integrale definito e area perché l’integrale
definito è un numero reale qualsiasi mentre un’area è SEMPRE >0!!!
Tuttavia se y=f(x) è continua e non negativa in [a,b] il suo integrale definito tra a e b rappresenta da
un punto di vista geometrico la misura dell’area della parte di piano racchiusa dalla curva dall’asse
x e dalla retta x= a e x=b.
b
Se y= f(x) è negativa e continua in [a,b] allora l’area A = -
f ( x) dx
a
Se y= f(x) ha questo andamento
a
b
allora
c1
c2
c3
b
a
c1
c2
c3
A(T ) f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Teoria in sintesi pag. 1487-1490
Nelle applicazioni della matematica sorgono spesso dei problemi in cui quello che si vuol trovare è
la legge in base alla quale alcune variabili dipendono da altre, ossia in cui l’incognita è una
funzione.
Def: si dice equazione differenziale ordinaria un’equazione nella quale l’ incognita è una funzione
y=f(x) e in cui vi è un legame fra x, y ed alcune derivate della funzione stessa, ossia della forma:
F(x,y,y’,y’’,….yn)=0
Si dice ordine di un’equazione diff. il massimo ordine delle derivate che in essa compaiono .
Vogliamo costruire dei metodi che consentano di determinare le funzioni y=y(x) che, insieme alle
loro derivate, soddisfano un’equaz. diff.
Def.: Si dice soluzione o integrale di un’equazione diff. di ordine n ogni funzione che verifica
l’equazione diff. Il grafico della soluzione è detto curva integrale.
Ex.
Soluzione di un’Equazione diff. del 1° ordine:
y’=x
[N.B.:si integrano ambo i membri] cioè L’insieme delle primitive della funzione x è soluzione (o
integrale) della equaz. diff. quindi:
1
y x2 c
2
Al variare di c rappresenta l’insieme delle soluzioni dell’equazione diff. data. Il grafico di tali
funzioni, ( parabole traslate con V nell’origine), sono le curve integrali .
In generale la soludi un’equa. diff. NON è unica ma è costituita da un’intera famiglia di funzioni
che dipendono da una o più costanti. (il numero delle costanti è pari all’ordine dell’equazione
stessa: se l’equaz. diff. è del 1°ordine, allora si ha un’unica costante c; equaz. diff. del 2° ordine
allora le soluzioni dipendono da due costanti c1, c2)
Def : Si dice Integrale generale l’insieme di tutte le funzioni che sono integrali dell’equazione diff.
Attribuendo un particolare valore alle costanti c si ottiene una sola funzione che costituisce un
integrale particolare.
In generale i valori delle costanti sono individuabili mediante opportune condizioni cui deve
obbedire l’equaz. diff. oppure la sua soluz. generale; tali condizioni sono di solito dettate dal
problema che ha originato l’equazione (si parla in questi casi di “problema di Cauchy”). Risolvere
un Problema di Cauchy significa :trovare tra le infinite soluzioni dell’equaz. diff. quella che
equ.diff .
soddisfa le condizioni iniziali
condizioni .iniziali
OSSERVAZIONE: In alcuni casi può capitare che l’integrale generale non comprende tutte le
soluzioni dell’equ. diff., cioè esiste almeno una soluzione che NON è deducibile dall’integrale
generale per alcun valore delle costanti; si parla allora di integrali singolari.
Risolvere un’equazioni diff. non è semplice , si tratta quindi di suddividere le equazioni diff. per
tipologie e poi applicare i vari metodi di risoluzione.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE del tipo : y’=f(x)
In questo caso
Si integra membro a membro
Ex: y’= x-2
y=
x2
2x c
2
soluzione generale
EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARATE O SEPARABILI
Un’equazione diff. del 1° ordine si dice a variabili separate quando si opuò scrivere nella forma:
p(y)∙dy=q(x)∙dx
dove p(y) e q(x) sono funzioni rispettivamente nella sola variabile di y e di x.
Si dice a variabili separabili quando, mediante trasformazioni di tipo algebrico, diventa a variabili
separate.
La scrittura precedente si integra membro a membro (ricordando che è
p( y) dy q( x) dx
y'
dy
)
dx
(la costante di integrazione va da una sola parte, ad es a destra!)
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL 1° ORDINE
Def: Un’equazione diff. del 1° ordine si dice lineare quando è di 1° grado in y e in y’ e scritta in
forma normale (con opportuni accorgimenti) è sempre della forma:
y’ + a(x)∙y=b(x)
dove a(x) e b(x) rappresentano funzioni note e continue
Se b(x) =0, l’equazione è detta omogenea ed è risolubile per separazione delle variabili; se b(x)≠0,
è completa
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL 1° ORDINE COMPLETE :
Metodo delle variazioni delle costanti
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL 2° ORDINE LINEARI
Un’ equaz. diff. del 2° ordine è riconducibile alla forma:
F(x;y;y’;y’’)=0
Dove alcune variabili possono mancare, ma NON può mancare y’’.
(lineare significa che è di primo grado in y, y’, y’’)
Anche per queste equaz. si può risolvere un Problema di Cauchy, in questo caso però le C.I. saranno
due: una sulla y ed una sulla y’.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL 2° ORDINE del tipo:
y’’ = r(x)
In questo caso si integra due volte membro a membro:
Ex: y’’=6x+2
Si integra membro a membro
y ' 3 x 2 2 x c1
Si integra una seconda volta
y=x3+x2+c1x+c2
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL 2° ORDINE OMOGENEE a coeff. Costanti:
y’’+by’+cy=0
Si risolve in C l’equazione caratteristica: t2+bt+c=0
Radici dell’equazione caratteristica
∆>0
z1≠z2
(reali distinte)
Integrale generale
∆=0 z1=z2
y (c1 c2 )e z1x
∆<0 z1,2=α +iß
(reali coincidenti)
(complesse coniugate)
y c1e z1x c 2 e z2 x
y=eαx(c1·cosßx+c2sinßx)
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL 2° ORDINE COMPLETE a coeff. Costanti:
La soluzione è data dalla somma di una soluzione particolare + la soluz generale dell’equaz.
l’omogenea associata.
SERIE NUMERICHE
Teoria in sintesi
Pag. € 26 – 27
Problema: Sommare un numero infinito di termini. Sia in matematica che nelle scienze esatte
succede spesso di dover considerare somme di infiniti termini.
Ex: 0, 7 =0,7777=0+0,7+0.07+0.007+….=0+
7
7
7
+
+
+…
10 100 1000
A questo punto il valore del numero periodico può essere ottenuto solo se si sa eseguire la
somma di infiniti termini in cui esso si è trasformato.
La necessità di definire rigorosamente ed in modo univoco la somma di infiniti termini può essere
messa in luce dalla seguente considerazione:
Ex: +1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1….applico la proprietà associativa e sommo:
1 + (-1+1)+(-1+1)-(-1+1)+(-1+1)….=1 oppure
(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+….= 0
Quindi se non si fissano dei criteri per sommare infiniti termini, si possono avere risultati diversi
per la stessa somma
Def: Una funzione f:N
R, si dice una successione numerica . ( N: dominio ) . Per indicare i
valori di tale funzione in corrispondenza di ogni numero naturale 1,2,3 ,4,…,n , si usano i simboli
a1, a1,a3,…..an, elementi della successione.
Def: Data la successione di infiniti numeri reali a1, a1,a3,…..an con n € No, l’espressione
a1, a2+a3,+..an+.. costruita con i numeri della successione è detta SERIE NUMERICA. I numeri
a1, a1,a3,…..an sono detti termini della serie e an è il terrmine generale.
In forma compatta si scrive ( *)
a
n 1
n
dove
n è l’indice che varia da 1 a +∞. Talvolta si
considerano serie il cui indice varia da 0 a +∞ oppure da un certo n° n0 a +∞.
Poiché non è possibile sommare realmente tutti gli infiniti termini di una serie, per dare significato
alla somma (*) è necessario dare un’apposita definizione. A tale scopo cominciamo a sommare,
uno dopo l’altro, i termini della serie così da formare le seguenti somme, ciascuna delle quali ha un
numero finito di termini.
S1= a1
S2= a1+a2
Tali somme sono dette Somme parziali
o Ridotte della serie
S3=a1+a2+a3
e formano al variare di n€N0, una nuova successione, s1, s2, s3,….sn
.
.
detta successione delle somme parziali o successione delle ridotte.
.
.
Sn=a1+a2+….+.an
Il termine Sn è detto SOMMA PARZIALE o ridotta n_esima. (di indice n)
N.B. La ridotta n_esima è la SOMMA dei primi n termini della serie!!!!
Determinare il carattere di una serie significa stabilire se essa è convergente divergente oppure
indeterminata .
Precisamente:
una serie è CONVERGENTE se lim s n S , con S R ed ha per somma S
n
una serie è DIVERGENTE se lim s n ,
n
una serie è INDETERMINATA se lim s n non esiste.
n
Non per tutte le serie risulta semplice calcolare sn, per poi fare il limite. Tale operazione risulta
abbastanza semplice per due tipi di serie: serie telescopiche e serie geometriche.
Definizione:
Una serie numerica
a
n 1
n
è telescopica quando il termine n-esimo an si può scrivere come
differenza fra termini che in parte si semplificano quando vengono esplicitati per formare le
somme parziali.
Ex.
n
n2
an=
2
1
n n
2
1
n
essendo il denominatore un polinomio di secondo grado può essere così
scomposto
n(n-1)
quindi
an=
1
A
B
A(n 1) Bn An A Bn ( A B)n A
n n n n 1
n(n 1)
n(n 1)
n(n 1)
2
per trovare AeB si imposta il seguente sistema:
A B 0
A 1
an=
B 1
A 1
1
1
pertanto
n n 1
1
1
sn=
1 1 1 1 1
1 1
1
1
1
=1 ...
2 2 3 3 4
n
n 2 n 1 n 1 n
ora dobbiamo calcolare il limite ossia:
1
lim 1 1
n
n
si conclude allora che la serie data è convergente ed ha per somma 1.
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SERIE GEOMETRICA
Una serie numerica si dice geometrica quando il rapporto fra ogni termine e il suo precedente è
costante, tale costante (q) prende il nome di ragione.
cq
n
c cq cq 2 cq 3 cq 4 ... cq n 1 cq n
il termine q
è detto ragione della
n 0
serie; c è il primo elemento della
serie.
la serie geometrica è:
CONVERGENTE se -1 <q <1
DIVERGENTE se q 1
OSCILLANTE se q 1
Es:
Studia le seguenti serie:
ed ha per somma S =
c
1 q
2
n 0 3
n
serie geometrica di ragione q =
1
somma: S=
1
8
n 0 7
2
3
2
3
poiché q<1 la serie converge quindi troviamo la
1
3
3 la somma della serie è 3
3 2 1
3
n
serie geometrica di ragione q = -
8
poiché q<-1 la serie è oscillante .
7
N.B. importante per le applicazioni è la serie geometrica:
1
n 0 10
n
di ragione q =
1
<1 quindi convergente
10
Facendo il calcolo si trova che la somma della serie è S =
10
9
Applicazione: Ricerca della frazione generatrice di un numero periodico
EX:
0,45
4
5
5
5
4
5
1
1
1 4
5 10 4 5 36 5 41
.... n
1
... n
10 100 1000
10
10 100 10 100
10 10 100 9 10 90
90
90
Infatti: 0,45
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45 4 41
90
90
:::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::
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SERIE ARMONICA
Si chiama serie armonica generalizzata la serie
1
n
con α € R
n 1
Se α =1 allora la serie diventa
1
n
detta serie ARMONICA SEMPLICE che è DIVERGENTE
n 1
Si dimostra che la serie armonica generalizzata è:
convergente per α >1
divergente per α ≤1
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ALCUNI CRITERI PER LA CONVERGENZA DI UNA SERIE
Non è sempre facile trovare una espressione analitica di Sn, esistono tuttavia dei criteri per
stabilire la convergenza di una serie.
C.N. ma non sufficiente per la convergenza di una serie : se una serie è convergente allora
lim a n 0 (questa affermazione non è invertibile!) (N.B. la serie armonica
n
eppure lim
n
1
n
è divergente
n 1
1
0 !!)
n
Negli esercizi questo teorema si utilizza per provare che una serie non è convergente : se il suo
termine generale NON tende a zero allora NON è convergente.
CRITERI DI CONVERGENZA
Sono criteri che permettono di stabilire la convergenza o meno di una serie senza dover
calcolare il limite delle ridotte!! Con i criteri però non è possibile conoscere la somma S della
serie.
I criteri che prendiamo in considerazione riguardano le serie a termini positivi le quali o
convergono o divergono positivamente.
CRITERIO DEL RAPPORTO (o di D’Alembert)
Sia
a
n 1
n
a n 1
l allora
n a
n
una serie a temini positivi se si verifica che lim
Se l<1 la serie CONVERGE
Se l>1 la serie DIVERGE
Se l=1 il criterio non è efficace e nulla si può dire sulla serie.
Ex
n3
n
n 0 2
Si utilizza il criterio del rapporto, si costruisce:
a n 1 n 1 2
n 1 2
3 n
n 1
an
2
n
2 2 n3
3
n
Ora si calcola il limite
3
n
an+1: ad n si sostituisce (n+1)
lim
n 13
n
2n
3
1
2
(per fare il limite si guardano i coefficienti di grado massimo)
poiché il limite <1 la serie converge!
Il criterio del rapporto si applica normalmente quando ci sono delle potenze o dei fattoriali (n!)
Proprietà del fattoriale.:
Calcolare il fattoriale di un numero significa moltiplicare tutti i numeri che lo precedono
n!=(n-1)∙(n-2)∙(n-3)∙…∙2∙1
Esempio 5! = 5 4 3 2 1
Proprietà del fattoriale
5!= 5 4!
n!= n(n-1)!
CRITERIO DELLA RADICE (o di Cauchy)
Sia
a
n 1
n
una serie a temini positivi se si verifica che lim
n
n
a n l allora
Se l<1 la serie CONVERGE
Se l>1 la serie DIVERGE
Se l=1 il criterio non è efficace e nulla si può dire sulla serie.
Ex:
1
1
n
n 1
2n
Si applica il criterio della radice
1
lim 1
n
n
n
2n
2
1
lim 1 1
n
n
può dire sulla serie.
Poiché il limite tende ad 1 per il criterio della radice nulla si
