572 —
G. DEL1TALA
LA T E T R A G O N O M E T K I A
PIANA
NELLE SCUOLE SECONDARIE
Oggetto della presente comunicazione è di coordinare e completare alcuni risultati, che già videro la luce in sedi opportune, diretti a fornire dei materiali utili
per migliorare i metodi d'insegnamento della Trigonometria nelle scuole secondarie
e riparare così a quei difetti lamentati da qualche oratore di questa Sezione nella
seduta di giovedì.
Sarà pure un modesto contributo alla Geometria recente o del triangolo, intorno
alla quale molti illustri autori continuano a dedicare con lena incessante le loro
ricerche, per giungere qualche volta per vie diverse e con mezzi diversi ai medesimi
risultati.
La Tetragonometria piana, secondo l'etimologia della parola, suona quella parte
delle Matematiche elementari che si propone la risoluzione del tetragono completo
e ne studia le sue proprietà giovandosi delle funzioni circolari o goniometriche.
Nella Trigonometria dati 3 elementi del triangolo, fra i quali sia compreso
almeno un lato, si determinano i restanti elementi. Nella Tetragonometria dati 5
dei suoi elementi si possono trovare i rimanenti ; si potrà estendere la risoluzione al
pentagono completo noti essendo 7 dei suoi elementi; ed in generale si può con
metodo sistematico dedurre la risoluzione dell' #-gono completo conoscendo (2n — 3)
dei suoi elementi, fra i quali sia compreso almeno un lato (nn. 3-9-11 dell'Elenco
di pubblicazioni qui unito).
Mentre colla Trigonometria ordinaria si ritrovano e si dimostrano le proprietà
metriche già note della Geometria, colla Tetragonometria non solo si riscontrano e
si dimostrano le medesime proprietà, ma se ne deducono delle nuove, e la Trigonometria stessa si può riguardare come caso particolare della Tetragonometria, quando
uno dei vertici coincide con uno degli altri tre o cade sopra un lato del triangolo e
sul prolungamento.
Altro vantaggio della Tetragonometria si ha nel fatto che mentre le formule
della Trigonometria ordinaria si basano sul postulato d' EUCLIDE, ossia sui principi
della Geometria euclidea, la quale corrisponde precisamente al caso della Geometria
non-euclidea, quando in questa i lati del triangolo sono infinitamente piccoli, le formule della Tetragonometria piana godono il carattere di appartenere ai principi
— 573 —
fondamentali della Geometria non-euclidea più generale della prima. Infatti, è risaputo essere una conseguenza di quest'ultima Geometria che le relazioni metriche
delle figure piane dipendono da una lunghezza k che non può essere determinato
a priori', ma se questo parametro deve restare indeterminato dal punto di vista
logico od astratto, non è più tale quando si scende ai casi pratici o concreti, ed
allora bisogna fissarlo, e perciò non vi è altro modo di determinarlo che ricorrendo
all'osservazione.
Il celebre LOBACEFSKI, fondatore della Geometria non-euclidea, i due BOL Y AI,
BIEMANN, HELMOLTZ, BATTAGLINI, BELTRAMI, KLEIN, TAURINUS,
DE-TILLY, G E -
ecc. nelle loro classiche Memorie hanno dimostrato questo concetto fondamentale. Essi, partendo dalle funzioni iperboliche relative alla base k, hanno dimostrato che la Geometria euclidea non è altro che la Geometria pratica (in senso
lato) che corrisponde al particolare valore di k = oo e sono giunti alla indiscutibile
conclusione che il V postulato d'EUCLIDE è indimostrabile e bisogna ammetterlo come
una verità sperimentale.
Fin dall'anno 1898 nello studio di un problema di Geodesia elementare conosciuto comunemente col nome di POTHéNOT, ho trovato un nuovo metodo per la risoluzione dell' importante problema mediante Y uso di un segmento fèsso (n. 9), del quale
ho indicato la costruzione geometrica e l'espressione analitica.
Le formule alle quali sono pervenuto sono le seguenti:
NOCCHI
x = — sen (a — A)
q
(1)
^
=
^ S en(^-B)
ab
.
nv
: = — senx (y — C)
q
(2)
q2 = b2 sen2 y - j - c2 sen2 ß + 2bc sen ß sen y cos (a — A)
o le altre due analoghe che da quest'ultima si possono ottenere colla rotazione ciclica delle lettere. Le a, b , e ; A , B , C sono gli elementi del triangolo di riferimento ABC; a , ß , y sono le coordinate angolari del quarto vertice D del tetragono
completo che per la convenzione stabilita debbono soddisfare alla relazione di condizione :
(3)
a+ ß+ y= ±
2n
secondochè sono descritte nel senso dell'ordine ciclico dei vertici del triangolo o nel
senso inverso ; x ,y , z sono le coordinate ceviane dello stesso vertice D rispetto al
triangolo di riferimento. Siccome uno dei lati del triangolo prolungato indefinitamente
divide il piano in due regioni, si adotta la convenzione di assumere positive le coordinate ceviane del quarto vertice che si trova nella regione del triangolo, negative
quando giace nell'altra regione.
— 574 —
In altro studio (n. 4) ho introdotto un secondo parametro J, la costante angolare del vertice D rispetto al triangolo di riferimento, col quale le formule di risoluzione diventano:
(4)
(5)
b sen C sen (a — A)
x= —
J —
e sen A sen (ß — B)
a sen C sen (ß — B)
a sen B sen (y — C)
b sen A sen (y — C)
ly =
e sen B sen {a — A)
-J
J2 = sen2« sen2 (ß — B) -f- sen2/? sen2 (a — A) -f
-f- 2 sen a sen ß sen (a — A) sen (ß — B) cos C
o le altre due analoghe a quest'ultima.
È notevole che il nuovo parametro 4 è indipendente dai lati del triangolo, ed
i due parametri sono legati fra di loro dalla relazione:
(6)
l
=
4
_Jt
sen A
*
«
sen B
sen C
aß
che include il noto teorema dei seni della Trigonometria ordinaria.
In un successivo studio (n. 7) si è trovato un terzo parametro lineare h, valore
dell'altezza equivalente del vertice D rispetto al triangolo di riferimento, esso è
rappresentato dall'altezza d'un triangolo equivalente a quello di riferimento avente
per base il segmento fisso q. Esiste cioè la relazione:
.
be sen A
ca sen B
ab sen C
2J2
E le formule di risoluzione diventano:
# =
(8)
v
'
7
sen (« — A)L
*—-—
sen A
ft
{y^h^^**
sen B
_ h sen(y —C) ^
sen C
Le citate combinazioni di formule risolvono il problema fondamentale della Tetragonometria piana: « Dati 5 dei 12 elementi principali del tetragono completo, fra
i quali sia compreso almeno un lato, trovare i 7 restanti elementi ».
— 575 —
In altro successivo studio (n. 11) oltre i 12 elementi principali del tetragono
completo si sono considerati i 6 angoli secondari A i , A3 ; Bl, B 2 ; Gx, C2 misurati
nel senzo dell'ordine ciclico dei vertici del triangolo di riferimento, e si sono stabilite altre due terne di relazioni fra questi nuovi elementi, cioè:
A = A2 — Ai - j (9)
2TT
{ B = B* — B ! + 27r
C = C2 — d + 2rt .
Si osserva che tutte le possibili disposizioni della figura, tetragono piano, si
riducono alle tre seguenti: l a , il quarto vertice D cade nell'interno del triangolo di
riferimento ; 2 a , esso cade fuori del triangolo e in uno dei suoi angoli ; 3* cade fuori
del triangolo e in uno degli angoli formati dai prolungamenti dei lati. Nel 1° caso
le formule (9) si mantengono inalterate; nel 2° caso si mantiene il termine costante
2JT solo nella relazione dell'angolo in cui cade il punto; nel 3° caso si sopprime in
tutte il termine costante 2n.
La seconda terna di formule di risoluzione è:
,
.
b sen a
a sen ß
sen A sen
sen ß
sen
sen (— BQ
sen A2
/ c sen ß
b sen y
sen C sen
sen ß
ß
sen
sen B sen
sen yy
sen
sen (— Ci)
sen B 2
sen
sen yy
s
en A sen
sen C sen a
sen (— AQ
sen C2
a sen y
c sen a
sen B sen a
—
Le relazioni (9) e (10) insieme alle sette precedenti forniscono un sistema di
13 equazioni fra altrettante incognite le quali premettono di risolvere il problema
fondamentale della Tetragonometria piana sotto una forma più generale: « Di un
tetragono completo dati 5 qualunque dei suoi 18 elementi di misura, fra i quali
sia compreso almeno un lato, trovare i 13 restanti elementi ».
Ognuno vede come sotto questa forma più generale esso comprende moltissimi
problemi della Geodesia elementare, fra i quali ricordo: il problema di POTHENOT,
quello di HANSEN, quello di NANSEN, quello della distanza inaccessibile ecc.
Proseguendo nelle ricerche, tenendo presente il suesposto principio di Geometria
non-euclidea, in due successive Note (nn. 13-14) ho trovato la formula di risoluzione
del problema di SNELLIUS, ampliato in generale, che comprende come caso particolare pee n = l, quello di POTHENOT, sotto la forma seguente:
« Date le coordinate cartesiane dei tre vertici del triangolo di riferimento e
u misurate le coppie di angoli «,-, ßi (i = 1 ,2 ,3 , . . . , n) trovare l'azimut della
« prima congiungente (APi)==0 a ) 1 ».
— 576 —
Si è trovato:
,
(11)
/
f t
0
(X. — X») cosft)— (Yc — Yb) sen w + (Xft — Xa) K
(Tc — Y6) cos « + (Xc — Xb) sen œ + (Y6 — Tfl) K
fll1
ft)
= ± M r (« w -j-0 n ) —,
K =
n n
\
sen /?i sen ft2... sen ßn
sen «! sen «2 . . . sen an
essendo co l'angolo di deviazione dell'ultima congiungente P n C sulla prima congiungente Pi A (n. 19).
Le quali mi hanno condotto alle nuove formule di risoluzione, calcolabili direttamente per logaritmi, del problema di POTHENOT e del conseguente problema della
Tetragonometria piana:
sen B sen a
7
=
COt (>i
sen A sen ß
, 10 v
, sen <f1 = sen 2^i cos (y — C)
A= c
sen A cos £i
\!2 sen a sen (~ + y j
oppure le altre due terne analoghe che si ottengono colla rotazione ciclica delle lettere.
Le formule ottenute godono del carattere di generalità, così pure tutte quelle
che dalle medesime si possono dedurre.
Del carattere di generalità si avvantaggia specialmente la Geometria se si considera che le proprietà di una figura si estendono pure al caso in cui uno dei suoi
punti si allontani indefinitamente nel piano del triangolo di riferimento in direzione
assegnata, il che può dar luogo al tetragono che dirò immaginario, per distinguerlo
dal tetragono reale finora considerato, al quale si potranno estendere in virtù del
principio di continuità le proprietà dimostrate pel tetragono reale.
Per la dimostrazione, richiamo due importanti proprietà che ho trovato in altro
studio (n. 7) ielYinversione isogonale:
* 1°. Due punti coniugati isogonali hanno in valore assoluto gli stessi parametri q, J, h. 2°. Le coordinate angolari dell' uno sono date dalle funzioni circolari omonime delle differenze angolari dell'altro ».
Se si consideramo i punti del circolo circoscritto al triangolo di riferimento ed
i corrispondenti punti isogonali si trovano p. es. per l'arco che chiude l'angolo A:
P a [_aa == 2/r - (B + C) , ßa = B , ya = CJ , lqa = 0 , Ja = 0 , ha = oo] ,
_0
_0
_0
%a
Q
i J/a
Q
i $a
Q
K K = - 2TT , ß'a = 0 , Y'a = 0] , \_q'a = 0 , J'a = 0 , h'a = a,]
x'a = — œ ,y'a = — ce ,s'a = — oo.
— 577 —
Altri due gruppi di formule analoghe esistono per gli altri due archi di cerchio
circoscritto al triangolo.
Dunque il luogo degli inversi isogonali dei punti del cerchio circoscritto, che
sono i vertici dei tetragoni immaginari, hanno le coordinate trilineari (angolari e
ceviane) tutte negative e si può affermare ch'esso è un cerchio di raggio infinito e
concentrico a quello circoscritto.
Il che non è in contraddizione al concetto di cerchio-limite di LOBACEFSKI di
cui è cenno nella celebre Memoria del BATTAGLINI quando scrive : « Nel sistema
« di Geometria non-euclidea il piano è mia superficie indefinita, essendo i suoi punti
« all' infinito tutti distinti fra loro ed appartenenti ad una circonferenza di circolo
« che ha per centro un punto qualunque del piano ed il raggio infinito ecc. » (*).
Pei tetragoni reali aventi il quarto vertice sulla circonferenza del cerchio circoscritto al triangolo di riferimento, le relazioni fra i tre parametri si presentano sotto
forma indeterminata, e siccome si erano trovate le dette relazioni indipendenti dai
due sistemi di coordinate trilineari, cioè:
a
Sì
-^ = 2R , q X h = 242 e di conseguenza 4 X i = così queste proprietà del tetragono reale si estendono pure al tetragono immaginario.
Si deduce come conseguenza che se si immaginano i lati del triangolo di riferimento prolungati indefinitamente, essi divideranno il piano non già in 7 regioni
come si ritiene comunemente nella Geometria euclidea, sibbene in 8 regioni, l'ottava
delle quali è caratterizzata dall'avere le coordinate trilineari (angolari e ceviane)
tutte negative.
Per le brevi considerazioni svolte credo poter concludere che le proposte formule
della Tetragonometria piana si possono considerare appartenere alla Geometria noneuclidea, o meglio si potranno considerare come un capitolo della Pangeometria di
LOBACEFSKI, scienza questa logica deduttiva fondata come è noto sulle 28 proposizioni di EUCLIDE e sulla negazione del V postulato, e che considera le rette parallele non equidistanti ma assintotiche.
Alla fine della sua opera così si esprime:
«
Un semplice colpo d'occhio sulle equazioni (19), che esprimono la di« pendenza esistente fra i lati e gli angoli dei triangoli rettilinei, è sufficiente per
« dimostrare che a partire di là la Pangeometria diviene un metodo analitico che
« rimpiazza e generalizza i metodi analitici della Geometria ordinaria. Si pott trebbe incominciare l'esposizione della Pangeometria delle equazioni (19), ed anche
« cercare di sostituire a queste equazioni altre equazioni che esprimerebbero le di« pendenze fra i lati e gli angoli di ogni triangolo rettilineo ecc. » (2).
Y) G-. BATTAGLINE Sulla Geometria immaginaria di LOBACEFSKI (Giornale di Matematica,
Napoli, voi. V, pag. 230).
(2) Pangeometria per N. LOBACEFSKI. Versione dal francese (Giornale di Matematiche di G. Battaglini, vol. Y, 1867, pag. 273).
73
— 578 —
Parole queste che io credo, con poco differente interpretazione, si possano applicare alle citate formule della Tetragonometria piana per le quali si può concludere :
Esse sono semplici, simmetriche, generali, soddisfano alle esigenze della pratica e
sono feconde di numerose applicazioni nel campo della Geodesia elementare (nn. 8,
12, 16, 15, 17, 18) e della Geometria recente (nn. 6, 10, 7), perciò le ho credute
degne della vostra benevola attenzione.
E mia convinzione, sarebbe veramente utile e si renderebbe benemerito dell'insegnamento secondario chi cercasse d'introdurre nelle scuole con metodi elementari il concetto di Geometria non-euclidea sopra enunciato e che ebbi occasione di
applicare nelle mie ricerche con buoni risultati. Esso potrà facilitare il raggiungimento di quell' ideale desiderato da tutti e proclamato dalle varie Sezioni di questo
Congresso, cioè di contenere in poche leggi generali il maggior numero di cognizioni
acquisite alla scienza. Infine per le formule proposte di Tetragonometria piana si
potrebbero applicare le parole dette dall'illustre mio maestro, il prof. D'OVIDIO, in
una sua Conferenza tenuta a Napoli a proposito delle coordinate triangolari'. « esse
hanno ormai il diritto di entrare nell'insegnamento » (*) e non tardarono ad entrarvi.
Con questo augurio e con questa speranza termino questa qualunque comunicazione.
ELENCO DELLE PUBBLICAZIONI CITATE
1. Contributo allo studio del problema di Pothenot. — Accademia Eeale delle Scienze di Torino.
Anno 1897-98, voi. XXXIII, gennaio 1898.
2. Le formule definitive di risoluzione del problema di Pothenot. — L'Ingegneria Civile e Industriale. Torino, gennaio 2906, fase. 1°.
3. La risoluzione completa del tetragono piano. — Periodico di Matematica. Livorno, 1901, t. XVI,
gennaio-febbraio.
4. Relazioni dipendenti da raggi uscenti da un punto ecc. — Le Matematiche pure ed applicate.
Città di Castello, 1901, Febby N. 1.
5. Su di un sistema di coordinate trilineari. — Le Mat. pure ed applicate. Città di Castello,
1902, t. IL Nn. 6-7.
6. Un correlativo del teorema di Stewart. — Periodico di Mat. Livorno, t. XVII, agosto 1901.
7. Algunas propriedades de la inversion isogonal. — Revista trimestral de Matematicas. Zaragoza,
1905, pp. 76-89.
8. Nuova risoluzione di due problemi. — L'Ing. Civ. Torino, 1901, voi. XXVII.
9. La risoluzione del pentagono completo ecc. — L'Ing. Civ. Torino, 1902, voi. XXVII.
10. Nuove proprietà dei punti notevoli del triangolo. — Periodico di Mat. Livorno, voi. XVIII,
settembre-dicembre 1902.
11. La risoluzione generale del tetragono completo e sue applicazioni ecc. — Il Monitore tecnico.
Milano, ottobre 1903, Nn. 28-29.
(*) E. D'OVIDIO, Nuova esposizione della teoria generale ecc. (Giornale di Matematica di
G. Battaglini. Napoli 1867, voi. VI, pag. 46).
— 579 —
12. La risoluzione generale del problema di Hansen. — L'Ing. Civ. Torino, 1903, voi. XXIX.
13. Determinazione di una o più stazioni incognite ecc. — L'Ing. Civ. Torino, 1902, voi. XXVII.
14. Il segmento fisso nel problema di Snellius ampliato in generale. — Il Monitore tecnico. 1902,
voi. Vili, N. 21 e seg.
15. Determinazione di un punto al vertice di piramide e relativa compensazione. — Il Potitecnico.
Milano, 1902.
16. Per la misura indiretta delle distanze con una stazione unica. — Il Politecnico. Milano, 1902.
17. Il problema di Snellius ampliato in generale e relativa compensazione. — L'Ing. Civ. Torino,
18. Influenza degli errori angolari nel problema di Snellius ampliato ecc. — L'Ing. Civ. Torino,
1902, voi. XXVIII.
