lucidi Coniche

Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Se x0 = 0 , non abbiamo un punto di R2 .
LE CONICHE DEL PIANO REALE
Diremo che la classe di terne non nulle
§ 1. - IL PIANO PROIETTIVO REALE
!
A) Coordinate omogenee
Ad ogni punto P= $$#x,y ''& del piano R2 associamo
"
%
una terna !ordinata
modo che:
(
x0, x1, x2
!
"x = x x
1 0
#
$!y = x2 x0
)
ogni
2
impropri è detto piano proiettivo reale " R .
()
non nulla in
!
Data ora una curva algebrica! di equazione
(1)
!
[
%
#
&
di grado n ! 1, la sostituzione (1) e
]
scriveremo ! P = x0, x1, x2 ,
l’eliminazione
del
denominatore
comune
trasformano il polinomio f in un polinomio
! P.
individua lo stesso
Allora
"
f $$x,y '' = 0
(kx0, kx1, kx2), k " 0,
terna
!
Il piano R2 unito con l’insieme dei punti
!
Allora dobbiamo porre x0 " 0 .
Inoltre,
!
[0, x1, x2] è un punto improprio.
(
)
omogeneo f x0, x1, x2 = 0 di grado n.
classe
! k " 0 si ha
d’equivalenza di terne proporzionali, dette
coordinate omogenee di P.
!
f kx0, kx1, kx2 = k n " f x0 , x1, x2
(
)
! potremmo scrivere
quindi
!
(
[
),
]
f x0, x1, x2 = 0 .
!
Le soluzioni con x0 = 0 sono i punti impropri
della curva algebrica.
!
!
1
2
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
B) Le rette.
Notiamo ora che in
2
Una retta r di R ha equazione
ax + by + c = 0 ,
non c’è distinzione
tra punti propri ed impropri, o tra le rette
proprie e la !retta impropria; è un nuovo
!
In coordinate
omogenee conviene
riscriverla
!
ambiente geometrico, nel quale punti e rette
così: a 0 x0 + a1x1 + a 2x2 = 0 .
si rappresentano allo stesso modo.
Osserviamo che ! k " 0 anche l’equazione
a) L’appartenenza di un punto
(
alla
)
( )
( )
rappresenta
r,
quindi possiamo
identificare ogni retta r con
!
[
r = a 0, a1, a 2
retta
]
è
[
P = x0, x1, x2
l’annullarsi
]
del
!
prodotto scalare delle due terne:
la classe r = [a 0, a1, a 2 ] di terne non nulle di
a 0 x0 + a1x1 + a 2x2 = 0
!
b) La retta r = [a 0, a1, a 2 ] passante per i punti
coefficienti proporzionali.
!
Il caso a1 = a 2 = 0, ossia [1, 0, 0] , non dà una retta
di R2 , ma l’equazione x0 = 0 è di primo grado,
!quindi è naturale! chiamarla retta: i suoi punti
!
()
con a, b non entrambi nulli.
! ka 0 x0 + ka1 x1 + ka 2 x2 = 0
!
"2 R
sono tutti e soli
! i punti impropri del piano
proiettivo, quindi la chiameremo retta impropria.
! P = x ,x ,x
0 1 2
[
distinti
]
e Q = [ y0, y1, y2 ] si trova
!
calcolando
il prodotto vettoriale di P e Q:
!
! # x x2 x0
r = a 0, a1, a 2 = % 1
,"
%$ y1 y2 y0
[
]
x2
,
y2
x0
y0
x1 &
(
y1 (' .
c) Analogamente, due rette distinte r ed s
! hanno
in comune il punto P ottenuto col
prodotto vettoriale delle due terne.
3
4
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
C) Le collineazioni
Proprietà del gruppo G:
Un automorfismo o collineazione di
"2 R
()
è
- G agisce transitivamente sui punti: !P,
una permutazione dei punti che trasforma
2R
Q" "
!
rette in rette. Le collineazioni costituiscono
#
- G agisce transitivamente anche sulle rette.
&
2
il gruppo G = Aut%$" (R) (' .
!
Struttura di G: sia GL3$$R'' il gruppo delle
"
%
#
&
matrici invertibili d’ordine
3. Il suo centro è
!
(
&
)
*&
"#0
"I
3
"
3$$
#
"
3$$#
%
''
&
(
"
3 $$#
)
%
''
&
è
isomorfo
a
PGL R = GL R Z GL R
!
perché trasforma vettori di R3 in vettori di
[
],
X = 0,1, 0
] , I = [1,1,1] , ed un
[
Y = 0, 0,1
!
!
tale che "(OXYI ) = ABCD!.
! ai vertici di
Allora, per semplificare calcoli,
!
ogni
quadrilatero possiamo assegnare quelle
a meno di un fattore di
proporzionalità.
!
quattro terne di coordinate omogenee.
Scritti i punti proiettivi X, Y come colonne,
!
],
quadrilatero non degenere ABCD, # " # G ,
!
G,
!
R3
[
O = 1, 0, 0
, (matrici “scalari”) ed il quoziente
%
'
'
&
!
! agisce transitivamente sull’insieme dei
- G
quadrilateri non degeneri: dati i punti
!
$
&
%
'&
( ) , # " # G , tale che "(P) = Q .
presa una matrice invertibile M ed un " # 0,
ogni collineazione ha la forma "Y=M#X
.
!
!
5
6
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
D) Le coniche
Una conica di
La trasformazione (ortogonale) di coordinate
"2 R
()
che porta la matrice A alla forma diagonale
è una curva algebrica di
#"
% 0
%0
%0
$
II grado, che possiamo scrivere nella forma:
2!
2
2
a 00 x0 + a11x1 + a 22x2 +
+2a 01x0 x1 + 2a 02x0 x2 + 2a12x1x2 = 0
!
2
2
ogni
conica
2
conica " 0 # x0 + "1 # x1 + " 2 # x2 = 0 .
meno di una costante moltiplicativa non
Pertanto,
nulla, come al solito.
equivalente
ad una di questo tipo.
!
Sia
!
induce una collineazione nel piano
proiettivo, che trasforma la conica data nella
con i coefficienti non tutti nulli, individuati a
!
0 0&
(
"1 0 (
0 " 2('
"a
a 01 a 02%
$ 00
'
A = $a 01 a11 a12 '
$a
'
# 02 a12 a 22&
è
proiettivamente
Cerchiamo ora di classificarla.
la matrice simmetrica
Nel campo complesso la distinzione principale è
dei coefficienti. Se scriviamo il generico
la quantità di autovalori non nulli, ossia il rango
2
punto X " # (R) come colonna, l’equazione
della conica diventa X t "A"X=0 .
della matrice A.
Nel campo reale conta anche il segno degli
autovalori.
!
Gli autovalori " 0!, "1, " 2 di A sono tutti reali e
non tutti nulli, perché A non è la matrice nulla.
!
7
8
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
A)
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
"1 = " 2 = 0 . Allora
Sia
quindi,
semplificandolo,
"0 # 0
si
Se µ < 0, allora la trasformazione di
e
ottiene
coordinate
2
l’equazione x0 = 0. Essa
! si spezza nelle
!
2
x0
µ " x1
produce l’equazione
x2
2
due equazioni uguali x0 = 0 , che danno la
y0 " y1 = 0 e quindi si hanno le due rette
!
!
retta proiettiva doppia 1, 0, 0 .
proiettive distinte 1, ±1, 0 ;
[
B)
[
]
!
" 2 = 0 , unico autovalore nullo. Allora
!
2
2
!
2
produce
2
!
l’equazione
2
y0 + y1 = 0 ,
che
implica y0 = y1 = 0 e quindi il solo punto
2
o anche, posto µ = "1 / " 0 , x0 + µ " x1 = 0 .
[
!
]
reale 0, 0,1 .
!
Nel campo complesso avremmo due rette
!
C)
!
distinte. !
]
se µ > 0, allora la stessa trasformazione
la conica ha equazione " 0 # x0 + "1 # x1 = 0 ,
!
#y =
%% 0
$ y1 =
%
%& y2 =
Nel campo reale, invece, tutto dipende dal
!
segno di µ
I tre autovalori siano non nulli. Il
(
2
)
2
2
f x0, x1, x2 = " 0 # x0 + "1 # x1 + " 2 # x2
polinomio
non si spezza nel prodotto di due fattori
! ossia la conica è non degenere.
lineari,
9
10
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Nel
campo
autovalori
reale
con
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
possiamo
lo
stesso
avere
segno,
Nel secondo caso, si possono dividere i tre
tre
2
2
2
possiamo supporre positivo, oppure due con
ottenendo
un segno ed uno col segno opposto, e
Per ogni !
coppia di valori!non entrambi nulli
possiamo supporre che siano positivi gli
opposti di x 0 : ci sono infiniti punti reali.
Nel primo caso, la forma quadratica è definita
positiva,
dunque
x0 = x1 = x2 = 0 ,
si
annulla
solo
!
per
che non ha significato nel piano
2
µ1 " x1
µ2 " x2
2
!
Il cambiare sistema di riferimento equivale a
trasformare la! conica con una collineazione,
si ottiene l’equazione:
2
pertanto, ogni conica con il determinante della
2
2
matrice
y0 + y1 + y2 = 0 .
!
2
x0
dà il risultato finale, y0 = y1 + y2 .
Con un ulteriore cambio di coordinate, ossia
posto
#y =
% 0
$ y1 =
%
%& y2 =
L’ulteriore
cambio di coordinate:
!
proiettivo, quindi la conica non ha punti reali.
$
& y0 = " 0 # x 0
&
% y1 = "1 # x1
,
&
&' y2 = " 2 # x2
µ i > 0, i = 1,2.
, con
x0 = µ1 " x1 + µ2 " x2
!
!
assegnati ad x1, x2 si ricavano due valori
ultimi due.
!
µ i = "# i / # 0 ,
" 0 e porre
coefficienti per
che
A
equivalente
2
2
non
ad
nullo
una
2
è
conica
2
proiettivamente
di
2
equazione
2
y0 + y1 + y2 = 0 oppure y0 = y1 + y2 .
!
11
!
!
12
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Esercizio.
Riassumendo,
ogni
conica
nel
piano
Coniche
2
Due
2
x0 " x1 = 0
!
2
!
Coniche non
degeneri
!
Conica
proiettiva
"0 0 4%
$
'
A = $0 5 0'
$4 0 0'
#
&
trovano
ed i suoi
risolvendo
(
)
4
$
'
5 " t 0 = " t " 5 # & t 2 " 16 ) = 0
%
(
.
0
"t
(
)
Si trovano le tre radici 5, -4, 4, ossia due
Nessun punto
reale
2
2
2
x0 " x1 " x2 = 0
conica
"t ! 0
reale
2
2
2
x0 + x1 + x2 = 0
si
det A " t # I 3 = 0
4
Un solo punto
2
x0 + x1 = 0
La sua matrice è
autovalori
rette
distinte
degeneri
!
la
2
!
Retta doppia
2
x0 = 0
data
8x0 x2 + 5x1 = 0 . Proviamo a classificarla:
proiettivo reale è proiettivamente equivalente
ad una delle coniche seguenti:
Sia
!
positive ed una negativa. Siamo quindi nel
caso “ordinario” della conica reale non
reale
degenere.
non degenere
!
13
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
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Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Teorema 4. (Pappo – Pascal). Sia data una
Proprietà delle coniche nel piano proiettivo
conica reale non degenere e siano A, B, C, A’,
Lemma 1. Se una conica ed una retta hanno
in comune tre punti distinti, allora la conica è
degenere e contiene la retta.
Teorema 2. Siano dati in
B’, C’ sei punti distinti su di essa. Siano:
L = AB’$A’B, M = AC’$A’C, N = BC’$B’C.
Allora i tre punti L, M, N sono su una stessa
"2 R
()
retta u.
cinque punti
distinti A, B, C, D, E.
a)
Esiste sempre
! una conica alla quale
appartengono.
b)
Se al più tre di essi sono allineati,
allora la conica è unica.
Teorema 3. La retta tangente alla conica reale
non degenere C di equazione X t " A " X = 0
in un suo punto P ha equazione P t " A " X = 0 ,
!
dove A è la matrice di C.
!
15
16
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Sia data una conica non degenere C e sia O
Lemma 5. La polare del punto O rispetto alla
un punto non su di essa. Si traccino tre rette
conica non degenere C intersechi la conica
per O, che intersechino la conica in tre
in un punto H. Allora la retta OH è tangente
coppie di punti A, A’, B, B’, C, C’. La retta u
alla conica.
determinata dal teorema di Pappo – Pascal si
chiama polare di O rispetto alla conica.
Un punto O è esterno alla conica se la sua
Per completezza, chiamiamo polare di un
polare è una secante; è interno se la polare è
punto T della conica la tangente in T alla
esterna; appartiene alla conica se la sua polare è
conica. Questa definizione risulta compatibile
la tangente in O alla conica.
con i risultati seguenti.
17
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Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
IL PIANO AFFINE REALE
Teorema 6. Sia C una conica non degenere.
"2 R
a) (Reciprocità della polare). Sia O un punto e
Dal piano
sia N un punto della polare u di O rispetto a
diremo impropria, ed i suoi punti, si ottiene
()
togliendo una retta, che
C. Allora la polare di N passa per O.
!
un unico
tipo di piano affine, perché il gruppo
b) Ogni retta è la polare di un punto rispetto
delle collineazioni è transitivo sulle rette del
alla conica.
piano proiettivo.
c) Il polo di una secante r alla conica C
è
l’intersezione delle tangenti condotte dai
Le
affinità
sono
gli
elementi
dello
stabilizzatore della retta impropria.
punti d’intersezione di r con C.
Due
Teorema 7. La polare di un punto P rispetto
alla conica non degenere C di equazione
Xt " A " X = 0
è
la
retta
di
equazione
figure
sono
dette
affini
se
esiste
un’affinità che muti la prima nella seconda. In
tal modo, tutti i punti propri sono affini, e lo
stesso accade per le rette proprie, ed anche
per i fasci di rette parallele.
Pt " A " X = 0.
La classificazione delle coniche del piano affine è
!
Questa equazione ha senso anche per la conica
più complicata rispetto al piano proiettivo,
!
immaginaria, quindi la nozione di polare di un
perché
punto ha senso anche per questa conica.
impropria rispetto alla conica.
19
dipende
dalla
posizione
della
retta
20
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Scegliamo come retta impropria la retta
A)
Una retta doppia: può essere propria,
x0 = 0 . Allora i punti propri hanno coordinate
per esempio x2 = 0 , ma potrebbe essere
[1, x, y] , o semplicemente (x,y). Le rette proprie
la
!
hanno equazione a " x + b " y + c = 0 , con a e b
l’equazione
diventerebbe 1 = 0.
!
!
non entrambi nulli. Un’affinità ha la forma:
retta
B)
# x" = m x + m y + c
12
1 , m 11 m 12 & 0
! 11
$
y
"
=
m
x
+
m
y
+
c
%
21
22
2 m 21 m 22
esempio
Riprendiamo i cinque casi di coniche visti nel
piano proiettivo:
come
!
l’altra
Retta doppia
Coniche degeneri
impropria,
e
proprie
x 2 " y2 = 0 ,
x2 " 1 = 0 ,
non
parallele,
per
o proprie parallele,
ma anche una propria e
impropria,
e
l’equazione
!
diventerebbe del tipo x = 0.
Due rette distinte
C)
Un solo punto reale
Coniche non degeneri
come
Due rette distinte: possono essere o
entrambe
!
scelta
Un solo punto reale: può essere
Nessun punto reale
proprio, per esempio
x 2 + y2 = 0 ,
Conica reale non degenere.
improprio, per esempio
x2 + 1 = 0 .
oppure
!
Come si spezzano nel piano affine reale?
!
Vediamo le varie possibilità:
21
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
D)
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Una conica non degenere immaginaria:
è solo del tipo
22
x 2 + y2 + 1 = 0 ,
PROPRIETÀ AFFINI DELLE CONICHE.
in quanto non
Teorema 8. La polare di una conica rispetto
ha punti reali impropri, ed è chiamata
ad un punto improprio O non appartenente
!
ellisse immaginaria.
alla conica, da cui esce un fascio di rette
Una conica reale non degenere: ci
parallele, è il luogo dei punti medi delle
sono tre possibili situazioni: se interseca
corde in cui la conica taglia ogni retta del
la retta impropria in due punti distinti, per
fascio.
E)
esempio
x 2 " y2 = 1 ,
è detta iperbole; se le è
tangente, per esempio
x2 " y = 0 ,
è detta
!
parabola; se non l’interseca, per esempio
x 2 + y2 = 1 ,
!
!
Un diametro
è detta ellisse.
I casi elencati, 11 in tutto, corrispondono a
situazioni non equivalenti dal punto di vista
affine, e non ce ne sono altri, perché
abbiamo esaminato le possibili posizioni
della retta impropria rispetto alla conica.
23
Il centro O
La polare di un punto improprio prende il
nome di diametro della conica. Il polo della
retta impropria si chiama centro della conica.
Per la reciprocità, tutti i diametri passano per il
centro.
24
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Se la conica è un’iperbole, le rette che
Se la conica è una parabola, è tangente alla
congiungono il centro O con i due punti
retta impropria, quindi il suo centro è il punto
impropri (che sono le intersezioni della sua
di tangenza, ossia è il punto improprio della
polare con la conica) sono le tangenti
parabola. Ne segue che tutti i diametri sono
all’iperbole condotte da O, e prendono il
paralleli tra loro.
nome di asintoti.
Teorema 10. Tutte le iperboli sono affini tra
loro, tutte le parabole lo sono e così pure le
Anche l’ellisse immaginaria ha il centro in un
ellissi e le ellissi immaginarie.
punto proprio. Ellisse, ellisse immaginaria ed
Questo teorema conferma quanto affermato in
iperbole sono dette coniche a centro.
precedenza: ci sono in tutto 11 classi di affinità di
coniche affini.
25
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
Esercizio. Si classifichi la conica affine
x " y #1 = 0 .
Svolgimento:
moltiplichiamo
per
2
i
coefficienti, per comodità. La matrice della
!
conica è allora
#"2 0 0&
%
(
% 0 0 1(
% 0 1 0( ,
$
'
di determinante 2,
quindi la conica non è degenere.
! a zero la forma quadratica ed
Uguagliamo
otteniamo i due punti impropri
[0,1, 0]
e
[0, 0,1] .
Pertanto, abbiamo un’iperbole. Il suo centro
ha coordinate affini
"A
!
!A %
$$ 01 , 02 '' = 0, 0 .
# A 00 A 00 &
( )
I suoi asintoti sono le
rette
che
!
congiun-
gono il centro con i
punti impropri, ossia
x = 0 e y = 0.
!
!
27
26