ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA B - prova scritta del 01/02/2013

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA B - prova scritta del 01/02/2013
1. Cos’è un sistema di riferimento cartesiano ortonormale (SRCO) nel piano Π? Come
si rappresenta un cambiamento di SRCO?
2. Fissato un SRCO nel piano Π, si consideri la conica C di equazione
3x2 + 4xy − 1 = 0
(a) Si scriva la forma matriciale della conica, si stabilisca a che classe appartiene
C e si trovi il centro di simmetria di C.
(b) Qual’è l’equazione canonica della conica?
(c) Si trovi il cambiamento di coordinate ortonormali che porta la conica in forma
canonica.
1
SOLUZIONE dell’esercizio 2
(a) La matrice associata alla conica è


3 2 0
A = 2 0 0  .
0 0 −1
La forma matriciale di C è
 
x
(x, y, 1)A y  = 0.
1
Poiché det A = 4 6= 0, la conica è non degenere. Consideriamo la matrice A0
associata alla parte in grado 2:
3 2
0
A =
.
2 0
Poiché det A0 = −4 < 0, la conica è un’iperbole non degenere.
IL centro di simmetria di C è dato dalla soluzione del sistema
3x + 2y = 0
2x = 0
dunque il centro è l’origine O del sistema di riferimento.
(b) Calcoliamo gli autovalori della matrice A0 : sono le radici del polinomio caratteristico
pA0 (λ) = λ2 − 3λ − 4, dunque 4 e −1. Dal teorema di classificazione sappiamo che
esiste un cambiamento di SRCO tale che la nuova equazione della conica diventa
4x02 − y 02 + d = 0.
Poiché con un cambiamento di coordinate associato ad un cambiamento di SRCO
il determinante della matrice associata non cambia, possiamo calcolare d: −4d =
det A = 4, dunque d = −1, e l’equazione canonica di C è
4x002 − y 002 = 1.
(c) Calcoliamo gli autospazi di A0 :
V4 = ker(A0 − 4I) = {(x, y)|x − 2y = 0},
2
V−1 = V4⊥ = {(x, y)|2x + y = 0}.
Dunque la matrice ortogonale
√ √
2/√5 −1/√ 5
N=
1/ 5 2/ 5
diagonalizza la matrice A0 , e con il cambiamento di coordinate associato ad N
0
x
x
=N
y0
y
otteniamo l’ equazione 4x02 − y 02 − 1 = 0 che è già la forma canonica di C. Dunque
per mettere C in forma canonica abbiamo√operato una rotazione
degli assi di angolo
√
−θ, dove θ ∈ [0, 2π) è l’angolo di seno 1/ 5 e coseno 2/ 5.
3