Matteo Moda Geometria e algebra lineare Coniche Coniche Equazioni coniche legate a matrici simmetriche: ܽ ݔଶ + ܾ ݕଶ + ܿ ݕݔ+ ݀ ݔ+ ݁ ݕ+ ݂ = 0 ݔ ܽ ܿ/2 ݔ Con le matrici: ሾݕ ݔሿ ൨ ቂݕቃ + ቂݕቃ ሾ݀ ݁ሿ + ݂ = 0 (@) ܿ/2 ܾ ܿ ܿ ܿ ܿ ݔ ݔ+ ܾݕቃ ቂݕቃ = ܽ ݔଶ + ݕݔ+ ݕݔ+ ܾ ݕଶ ቂܽ ݔ+ ݕ 2 2 2 2 ܽ ܿ/2 ݀/2 ܽ ܿ/2 ܾ ݁/2 ൩ con la matrice A = Matrici compatta delle coniche: ܿ/2 ൨ matrice ܿ/2 ܾ ݀/2 ݁/2 ݂ simmetrica e X = ሾݕ ݔሿ e B = ሾ݀ ݁ሿ ݁ ݂ = ܥ. Allora l’equazione (@) si può riscrivere nella forma: ܺ ் ܺܣ+ ܺ ்ܤ+ = ܥ0 Conica: è l’insieme C dei punti di R2 le cui coordinate x1, x2 soddisfano un’equazione di secondo grado con coefficienti reali, del tipo: ݂ሺݔଵ , ݔଶ ሻ = ܽଵଵ ݔଵଶ + ܽଶଶ ݔଶଶ + 2ܽଵଶ ݔଵ ݔଶ + 2ܽଵଷ ݔଵ + 2ܽଶଷ ݔଶ + ܽଷଷ = 0 Oppure nella forma: ݔ1 ݔ1 ݂ሺݔଵ , ݔଶ ሻ = ܺ ் ܺܣ+ 2 ܺ ்ܤ+ = ܥ0 con ܺ = ቂ ቃ nel piano; ܺ = ݔ2൩ ݈݈݊݁݅ݖܽݏ ݔ2 1 ܿ ݁݊݅݀ݎ ݅݀ ܣ ݊2 ݁ ܽܿ݅ݎݐ݁݉݉݅ݏà ݀݅ ݁݊݅݀ݎ3 ܽܿ݅ݎݐ݁݉݉݅ݏ Invarianti ortogonali: ♠ L’invariante cubico è il determinante della matrice à di ordine 3 ሺܫଷ = det à ሻ ♠ L’invariante quadratico è il determinante della matrice A di ordine 2 (ܫଶ = det ܣሻ ♠ L’invariante lineare è uguale alla traccia di A ሺܫଵ = ܣ ݎݐሻ Traccia di A: Data una matrice quadrata = ܣሾܽ ሿ si definisce traccia di A la somma dei coefficienti della diagonale della matrice, cioè: ܽ = ܣ ݎݐଵଵ + ܽଶଶ + ⋯ + ܽ Esempio ௫మ ௬మ Considero la generica equazione dell’iperbole: మ − మ − 1 = 0 1/ܽଶ 0 0 ଶ Considero la matrice à = 0 −1/ܾ 0 associata all’equazione dell’iperbole. 0 0 −1 Voglio calcolare i tre invarianti. Avremo: ܫଷ = 1/ሺܽଶ ܾ ଶ ሻ ܫଶ = −1/ሺܽଶ ܾଶ ሻ 1 ܫଵ = − ଶ + 1/ܽଶ ܾ 1 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Coniche Classificazione delle coniche Tipi di sezioni coniche: i piani, intersecando il cono, descrivono descrivon una circonferenza (in giallo), un'ellisse (in rosso), una parabola (in blu) e un'iperbole (in verde) In base a quanto detto sugli invarianti, è possibile classificare le coniche, e quindi stabilire se una curva sia un'ellisse, una parabola o un'iperbole, tramite la seguente distinzione: se la conica è degenere e in particolare: se se se se , si riduce a due rette reali distinte , si riduce a ♠ coppia di rette reali distinte parallele oppure complesse coniugate senza punti comuni (rango matrice completa =2) ♠ coppia di rette reali coincidenti (rango matrice completa =1) , si riduce a due rette immaginarie coniugate. la conica non è degenere ed in particolare: è un'iperbole equilatera se e è un'iperbole non equilatera se è una parabola se , ma , 2 , Matteo Moda Geometria e algebra lineare è un'ellisse reale se è un'ellisse immaginaria se e Coniche , ma . Ad esempio, la conica di equazione: , avendo e degenere in due rette reali distinte: e (testo tratto da Wikipedia). In particolare se ܫଷ = 0 % ,-+* à 0, %%&+ A+ò @ +-- *$*$-* , è una conica Coordinate omogenee nello spazio Dato un punto proprio (x,y,z), moltiplicando tali coordinate per un valore u diverso da 0 avrò: (ux,uy,uz) Dato un punto improprio (direzione) (a,b,c) -> (a,b,c,0) ->> (a,b,c) diverso da 0 Applico le considerazioni fatte precedentemente alle seguenti equazioni: ♠ ) 0 &$ 0, 0, )0! ♠ ) @ 0 &$ &, &, )&, 1! Se u=0 -> ) 0 (+&&--& '%+! → (-& (+&(+*& Date (a,b,c) coordinate di un vettore su un piano, se a=b=c=0 -> du=0 ->u=0 >u=0 => luogo di tutte le direzioni (piano improprio) (a,b,c) (x,y,z) 3