Corso di Geometria I - A.A. 2015/16 Esercizi per la ventiduesima e

Corso di Geometria I - A.A. 2015/16
Esercizi per la ventiduesima e ventitreesima settimana
Esercizio 22-23.1 Siano R = (0, (i, j)) un sistema di riferimento cartesiano
e C una conica che, nelle coordinate (x, y) di R, è determinata dall’equazione
4x2 + 4xy + y 2 − 8x − 4y − 21 = 0 .
Determinare un nuovo sistema di coordinate (x0 , y 0 ) in cui C è in forma
canonica. Descrivere poi la conica C in termini geometrici.
Esercizio 22-23.2 Classificare la conica C di equazione
√
2x2 + 2 2xy + y 2 + 2y − 1 = 0
e determinarne le eventuali coordinate del vertice (o dei vertici) ed equazioni
per gli eventuali assi di simmetria.
Esercizio 22-23.3 Classificare e scrivere in forma canonica le seguenti
coniche senza determinare alcun cambio di coordinate:
i) x2 + 3y 2 − 4x + 6y + 1 = 0;
ii) x2 − 2y 2 − 4x − 4y = 0;
iii) x2 − 4y 2 − 6x + 8y + 6 = 0;
iv) 2x2 + y 2 − 8x − 3y + 5 = 0.
Esercizio 22-23.4 Classificare la seguente conica e determinare eventuali
assi di simmetria
2x2 − 8xy + 8y 2 + 5x − 10y + 8 = 0 .
Esercizio 22-23.5 Per ciascuna delle coniche dell’Esercizio 22-23.4, determinare un cambio di coordinate in modo che nelle nuove coordinate la
conica sia in forma canonica. Determinare poi il centro, i vertici e gli assi
di simmetria delle coniche (i) e (iii).
Si sottolinea anche che, sulla base del materiale discusso nelle lezioni
svolte nella settimana ventiduesima e nella prossima e ultima settimana,
sarà possibile affrontare tutte le domande degli Esercizi 6.58 – 6.69, 6.71 –
6.74 del libro
E. Abbena, E. Bargero e S. Garbiero, Esercizi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, Levrotto & Bella, Torino, 1990.
ad eccezione di quelle relative alla determinazione di eventuali fuochi e asintoti di ellissi e iperboli, domande che peraltro non verranno fatte né alla
prova scritta, né alla prova orale.
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Si ricorda infine che numerosi altri utili esercizi per far pratica in Geometria Analitica del Piano e dello Spazio e nella Classificazione delle
Coniche possono essere trovati sui libri di esercizi
D.V. Kletenik, A collection of Problems in Analytical Geometry, Part I &
II, Pergamon Press, Oxford, 1966.