DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 ESERCIZI LE CONICHE Esercizio 1. Ad ogni equazione, indicata con la lettera maiuscola, associa la frase, indicata con la lettera minuscola, a cui l’equazione si riferisce A) B) C) D) E) F) G) H) I) L) M) a) b) c) d) xy = −4 x2 + y 2 + 6x − 2y + 5 = 0 x2 = −y 2 + 25 2x2 + y 2 − y − 2x + 74 = 0 y = x2 y = x2 + x + 1 y − 6 = x2 − 5x y = 2x − 3 y=5 xy − x = 0 4x2 + 4y 2 + 1 = 0 é é é é e) é f) g) h) i) l) m) é é é é é é un’iperbole con i rami nel I e III quadrante l’unione di due rette nel piano l’insieme vuoto un’iperbole con i rami µ nel II ¶ e IV quadrante 1 1 un’ellisse con centro , 2 2 una retta parallela all’asse delle ascisse una retta non parallela agli assi cartesiani una parabola che non interseca √ l’asse delle ascisse una circonferenza con raggio 5 una circonferenza con centro (0, 0) una parabola che interseca l’asse delle ascisse in (2, 0) e (3, 0) Infine rappresentare graficamente i luoghi geometrici definiti dalle equazioni Esercizio 2. Nel piano cartesiano l’equazione x2 − y 2 = 0 rappresenta (1) (2) (3) (4) un’ellisse una parabola un’iperbole nessuna delle precedenti risposte Esercizio 3. La parabola in figura 1 2 PRECORSO DI MATEMATICA ha equazione (1) y = (x − 2)2 (2) y = (x − 1)(x − 2) (3) y = (x + 2)2 (2 − x)2 (4) y = 4 Esercizio 4. x2 y 2 5 − =1 Determinare i valori di q per cui la retta di equazione y = x + q e l’iperbole 2 9 36 (1) si intersecano (2) sono tangenti (3) sono esterne Esercizio 5. Quale delle seguenti equazioni rappresenta una parabola simmetrica rispetto all’ asse delle y e con vertice nell’origine? (1) x = 3y 2 (2) y = x2 − 3 (3) y = 5x2 (4) x = 3y 2 + 4 Esercizio 6. L’equazione dell’ellisse centrata nell’origine passante per i punti (−2, 1) e (0, 3) é: (1) 2x2 − y 2 + 9 = 0 (2) x2 − 2y 2 + 9 = 0 (3) x2 + 2y 2 − 9 = 0 (4) 2x2 + y 2 − 9 = 0 Esercizio 5. Stabilire per quali valori del parametro k l’equazione x2 y2 + = 1 rappresenta k + 5 2 − 3k (1) una circonferenza (2) un’ellisse (3) un’iperbole con i fuochi sull’asse y Esercizio 7. x2 y 2 − = −1 tracciando anche gli asintoti. Dire: 9 4 a) per quali valori di m le rette del fascio y = mx intersecano l’iperbole; b) per quali valori di k le rette del fascio y = k intersecano l’iperbole in due punti distinti. Disegnare l’iperbole di equazione Esercizio 8. Determinare l’equazione della parabola y = ax2 + bx + c passante per A = (0, 3) e avente il vertice in V = (−2, −1). Trovare le coordinate degli eventuali punti di intersezione della parabola con gli assi e tracciarne il grafico.