Foglio di esercizi n. 4 - Variabili aleatorie - e-Learning

Calcolo delle Probabilità 2016/17 – Foglio di esercizi 4†
Variabili aleatorie: distribuzioni marginali e congiunta, indipendenza.
Si consiglia di svolgere in particolare gli esercizi n. 7, 4, 8, 10, 1.
Esercizi “teorici”
Esercizio 1. (*) Sia X una variabile aleatoria reale estesa (a valori in R = R ∪ {−∞, +∞})
tale che µX (B) = P(X ∈ B) ∈ {0, 1} per ogni B ∈ B(R). Si mostri che X è q.c. costante,
ossia esiste c ∈ R tale che P(X = c) = 1.
(Riformulazione equivalente: data una probabilità µ su R tale che µ(B) ∈ {0, 1} per ogni
B ∈ B(R), si mostri che esiste c ∈ R tale che µ = δc .)
[Sugg. Dopo aver trattato il caso P(X = ±∞) = 1, ci si riduca al caso P(X ∈ R) = 1 e si studi la
funzione di ripartizione FX . In alternativa, si ricordi la dimostrazione del teorema di Heine-Borel.]
Esercizio 2. Siano (An )n∈N eventi di uno stesso spazio di probabilità. Si dimostri che le
seguenti affermazioni sono equivalenti:
(a) gli eventi (An )n∈N sono indipendenti;
(b) le variabili aleatorie (Xn := 1An )n∈N sono indipendenti.
Esercizi “pratici”
Esercizio 3. Sia Z := (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale con distribuzione uniforme
continua nel sottoinsieme C := ([0, 12 ] × [0, 12 ]) ∪ ([ 12 , 1] × [ 12 , 1]). Si determinino le distribuzioni
delle variabili aleatorie reali X e Y . Esse sono indipendenti?
Esercizio 4. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale con densità f data da
f (x, y) = c y e−xy 1[0,∞)×[0,2] (x, y) .
(a) Si determini il valore di c ∈ R affinché f sia effettivamente una densità.
(b) Si determinino le densità marginali di X e Y e si riconosca la legge di Y .
(c) X e Y sono indipendenti?
(d) Si determini una densità g : R2 → [0, +∞] diversa da f ma con le stesse marginali.
(e) Si mostri che V := max(X, Y ) è una variabile aleatoria reale assolutamente continua e
se ne determini la densità.
(f) (*) Posto U := X + Y , si dica se U e V sono indipendenti.
[Sugg.: non è necessario calcolare la densità congiunta di (U, V ).]
Esercizio 5. Siano X, Y variabili aleatorie reali, con densità congiunta
f (x, y) := e−(x+y) 1[0,∞)×[0,∞) (x, y) .
(a) Dopo aver verificato che f (x, y) è effettivamente una densità su R2 , si determinino le
leggi delle variabili aleatorie X e Y e si dica se sono indipendenti.
(b) Si calcoli la funzione di ripartizione di S := X + Y . La v.a. S è assolutamente continua?
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Ultima modifica: 27 ottobre 2016.
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Esercizio 6. Sia Z := (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale, con distribuzione uniforme
nel quadrato unitario Q1 := {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
(a) Si determinino le leggi delle variabili aleatorie X e Y e si dica se sono indipendenti.
(b) (*) Si determini la funzione di ripartizione della variabile aleatoria S := X + Y ,
Esercizio 7. Un’urna contiene n palline, numerate da 1 a n. Estraggo due palline dall’urna
e ne indico i numeri con X1 e X2 . Si considerino separatamente i casi di estrazioni con
reimmissione (a) o senza reimmissione (b). In ciascun caso, si determinino le distribuzioni
congiunta e marginali di X1 e X2 , e si dica se le variabili aleatorie sono indipendenti.
Esercizio 8. Un insetto depone un numero aleatorio N ∼ Pois(λ) di uova, ossia
λn
P(N = n) = e−λ
,
∀n ∈ N0 = {0, 1, 2, . . .} .
n!
Ciascun uovo deposto si schiude con probabilità p ∈ (0, 1), indipendentemente dal numero di
uova deposte e dal fatto che le altre si schiudano. Sia X il numero di uova che si schiudono.
(a) Qual è il valore di P(X = k|N = n), per n ∈ N0 e k ∈ R?
(b) Si deduca che la densità discreta congiunta di X e N è data da


n

 n pk (1 − p)n−k e−λ λ
se 0 ≤ k ≤ n
n!
k
pX,N (k, n) =
.


0
altrimenti
(c) Si determini la legge di X, riconoscendola come notevole.
Esercizio 9. Siano X ∼ Pois(λ), Y ∼ Pois(µ) variabili aleatorie indipendenti, ossia
λk
µk
,
P(Y = k) = e−µ
,
k!
k!
(a) Si mostri che X + Y ∼ Pois(λ + µ).
P(X = k) = e−λ
k ∈ N0 = {0, 1, 2, . . .} .
[Sugg. Si esprima l’evento {X + Y = k} in termini degli eventi {X = `} e {Y = m}.]
(b) Per n ≥ 0 fissato, si determini la distribuzione della variabile aleatoria X rispetto alla
probabilità condizionale Q(·) := P( · |X + Y = n) e la si riconosca come notevole.
Esercizio 10. (*) Sia X1 , X2 , . . . una successione di variabili aleatorie reali indipendenti con
distribuzione uniforme nell’intervallo (0, 1), definite su uno spazio di probabilità (Ω, A, P).
Introduciamo la variabile aleatoria T : Ω → N ∪ {+∞} e l’evento Ak definiti da
1
1
T (ω) := inf k ≥ 1 : Xk (ω) ≤
,
Ak = Xk ≤
.
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e definiamo
(
XT (ω) (ω) se T (ω) < ∞
Y := XT 1{T <∞} ,
ossia
Y (ω) :=
.
0
se T (ω) = ∞
(a) Per ogni fissato n ∈ N, si esprima l’evento {T = n} in termini degli eventi {Ak }k∈N .
(b) Si determini la legge di T .
(c) Si determini la legge di Y . (Sugg.: si calcoli innanzitutto P(Y ≤ x, T = n) per n ∈ N.)