Programma di esame del corso di Probabilità e Statistica
Anno accademico 2007/ 2008
Corso di laurea triennale in Matematica, 3 anno, Facoltà di Scienze matematiche,
fisiche e naturali, Università degli Studi di Trieste
Docente: Dott. Claudio Asci
Probabilità
Concetto di probabilità. Probabilità classica e frequentista. Spazi campionari,
-algebre, eventi, misure. Probabilità assiomatica: assiomi di Kolmogorov.
Funzioni misurabili. Variabili aleatorie discrete e continue. Legge di una
variabile aleatoria. Densità di una variabile aleatoria discreta. Densità e
funzione di ripartizione di una variabile aleatoria continua. Moda.
Convoluzione di leggi e di densità. Variabili aleatorie identicamente
distribuite. Vettori aleatori.
Probabilità condizionata. Leggi, densità, funzioni di ripartizione congiunte e
condizionate. Leggi marginali. Formule di Bayes.
Concetto di indipendenza di variabili aleatorie, eventi, -algebre. Criteri di
indipendenza. Proprietà dell’indipendenza.
Esempi di variabili aleatorie discrete: variabile aleatoria uniforme discreta, di
Bernoulli, binomiale, geometrica, di Pascal, di Poisson, ipergeometrica.
Esempi di variabili aleatorie continue: variabile aleatoria uniforme continua,
gamma, beta, esponenziale, normale, chi-quadrato, t di Student, F di Fisher.
Funzioni integrabili e semintegrabili. La misura di Lebesgue. Il teorema di
Fubini. Diffeomorfismi e cambiamenti di variabili. Il teorema di RadonNicodym.
Media di una variabile aleatoria: definizione e proprietà. Momenti. Media
della composizione di funzioni misurabili. Disuguaglianze di Jensen e di
Cauchy-Schwarz. Mediana. Quantili. Media condizionata.
Varianza e scarto quadratico medio: definizione e proprietà. Disuguaglianze
di Markov e di Tchebycheff. Covarianza e coefficiente di correlazione.
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Matrice di covarianza. Variabili aleatorie non correlate. Varianza
condizionata.
Funzione generatrice dei momenti. Trasformata di Laplace. Variabili
aleatorie complesse. Trasformata di Fourier. Vettori aleatori normali.
Convergenza quasi certa, in media, in probabilità, in legge. Teorema di
Scheffé. Teorema di Paul Lévy. Legge debole e legge forte dei grandi
numeri. Teorema limite centrale ed approssimazione normale.
Statistica
Popolazioni e campioni. Statistiche. Media, mediana, moda, varianza,
quantili, campo di variazione, midrange, covarianza, coefficiente di
correlazione, momenti campionari. Statistiche d’ordine. Funzione di
ripartizione campionaria.
Concetto di inferenza statistica. Verosimiglianza. Stimatori puntuali. Metodi
di ricerca degli stimatori puntuali: dei momenti, di massima verosimiglianza,
dei minimi quadrati. Proprietà degli stimatori puntuali: correttezza,
consistenza, efficienza. Distorsione. Errore quadratico medio.
Intervalli di confidenza e stima per intervalli. Quantità pivotale.
Campionamento dalla distribuzione normale: intervallo di confidenza per la
media, per la varianza, per la differenza delle medie. Verifica di ipotesi.
Errori di 1 e di 2 tipo.
Concetto di regressione lineare semplice. Stime puntuali e per intervalli dei
parametri che definiscono il modello di regressione.
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