Probabilita` e Statistica - DMI - Università degli studi di Trieste

Programma di esame del corso di Probabilità e Statistica
Anno accademico 2007/ 2008
Corso di laurea triennale in Matematica, 3 anno, Facoltà di Scienze matematiche,
fisiche e naturali, Università degli Studi di Trieste
Docente: Dott. Claudio Asci
Probabilità

Concetto di probabilità. Probabilità classica e frequentista. Spazi campionari,
-algebre, eventi, misure. Probabilità assiomatica: assiomi di Kolmogorov.

Funzioni misurabili. Variabili aleatorie discrete e continue. Legge di una
variabile aleatoria. Densità di una variabile aleatoria discreta. Densità e
funzione di ripartizione di una variabile aleatoria continua. Moda.
Convoluzione di leggi e di densità. Variabili aleatorie identicamente
distribuite. Vettori aleatori.

Probabilità condizionata. Leggi, densità, funzioni di ripartizione congiunte e
condizionate. Leggi marginali. Formule di Bayes.

Concetto di indipendenza di variabili aleatorie, eventi, -algebre. Criteri di
indipendenza. Proprietà dell’indipendenza.

Esempi di variabili aleatorie discrete: variabile aleatoria uniforme discreta, di
Bernoulli, binomiale, geometrica, di Pascal, di Poisson, ipergeometrica.

Esempi di variabili aleatorie continue: variabile aleatoria uniforme continua,
gamma, beta, esponenziale, normale, chi-quadrato, t di Student, F di Fisher.

Funzioni integrabili e semintegrabili. La misura di Lebesgue. Il teorema di
Fubini. Diffeomorfismi e cambiamenti di variabili. Il teorema di RadonNicodym.

Media di una variabile aleatoria: definizione e proprietà. Momenti. Media
della composizione di funzioni misurabili. Disuguaglianze di Jensen e di
Cauchy-Schwarz. Mediana. Quantili. Media condizionata.

Varianza e scarto quadratico medio: definizione e proprietà. Disuguaglianze
di Markov e di Tchebycheff. Covarianza e coefficiente di correlazione.
1
Matrice di covarianza. Variabili aleatorie non correlate. Varianza
condizionata.

Funzione generatrice dei momenti. Trasformata di Laplace. Variabili
aleatorie complesse. Trasformata di Fourier. Vettori aleatori normali.

Convergenza quasi certa, in media, in probabilità, in legge. Teorema di
Scheffé. Teorema di Paul Lévy. Legge debole e legge forte dei grandi
numeri. Teorema limite centrale ed approssimazione normale.
Statistica

Popolazioni e campioni. Statistiche. Media, mediana, moda, varianza,
quantili, campo di variazione, midrange, covarianza, coefficiente di
correlazione, momenti campionari. Statistiche d’ordine. Funzione di
ripartizione campionaria.

Concetto di inferenza statistica. Verosimiglianza. Stimatori puntuali. Metodi
di ricerca degli stimatori puntuali: dei momenti, di massima verosimiglianza,
dei minimi quadrati. Proprietà degli stimatori puntuali: correttezza,
consistenza, efficienza. Distorsione. Errore quadratico medio.

Intervalli di confidenza e stima per intervalli. Quantità pivotale.
Campionamento dalla distribuzione normale: intervallo di confidenza per la
media, per la varianza, per la differenza delle medie. Verifica di ipotesi.
Errori di 1 e di 2 tipo.

Concetto di regressione lineare semplice. Stime puntuali e per intervalli dei
parametri che definiscono il modello di regressione.
2