Foglio di esercizi n. 4 bis - Variabili aleatorie - e-Learning

Calcolo delle Probabilità 2016/17 – Foglio di esercizi 4 bis†
Variabili aleatorie: distribuzioni marginali e congiunta, indipendenza
Si consiglia di svolgere in particolare gli esercizi n. 4, 1, 2, 3.
Esercizio 1. Siano X1 , X2 , . . . , Xn variabili aleatorie indipendenti con leggi U (0, 1).
(a) Si determini la legge di L := min{X1 , X2 } e M := max{X1 , X2 }, mostrando che si
tratta di variabili assolutamente continue.
(b) Si determini la legge di Ln := min{X1 , X2 , . . . , Xn }.
(c) Posto Zn := nLn , si mostri che per ogni r ≥ 0 fissato si ha
lim FZn (r) = 1 − e−r .
n→∞
Esercizio 2. Siano X, Z, W variabili aleatorie indipendenti con
X ∼ Be(p) ,
Z ∼ Pois(λ) ,
W ∼ Pois(λ) .
Si determini la distribuzione della variabile aleatoria Y := XZ + W .
[Sugg. Determinare la distribuzione congiunta di X e Y .]
Esercizio 3 (Es. 3 del IV appello 2014/15). Siano X, Y variabili aleatorie reali la cui legge
congiunta è assolutamente continua con la densità seguente:
1

per x, y ∈ (0, 1) con y < x
1
fX,Y (x, y) := 1{0<y<x<1} = x
.

x
0 altrimenti
(a) Si mostri che fX,Y (x, y) è effettivamente una densità.
(b) Si calcolino le densità marginali e si dica se X e Y sono indipendenti.
(c) Qual è la legge di Z :=
Y
X?
Se ne calcoli la funzione di ripartizione FZ (z) = P(Z ≤ z).
Esercizio 4 (Es. 3 primo appello 2013/14). Due particelle puntiformi, che indichiamo con le
lettere α e β, si muovono lungo una retta, entrambe di moto (rettilineo) uniforme. All’istante
iniziale t = 0 la particella α si trova nell’origine x = 0, mentre la particella β si trova nel
punto x = 1. Le due particelle si muovono l’una in direzione dell’altra, con velocità rispettive
U e −V , dove U e V sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione Exp(1).
α
U
x=0
−V
β
x=1
Definiamo T come l’istante in cui le due particelle si incontrano, e poniamo
1
Y := .
T
†
Ultima modifica: 3 novembre 2016.
2
(a) Si mostri che Y ha distribuzione Gamma(2, 1), ossia
fY (y) = y e−y 1(0,∞) (y) .
(b) Si deduca che T ha distribuzione assolutamente continua, con densità
1
fT (t) = 3 e−1/t 1(0,∞) (t) .
t
(c) Si mostri che il vettore aleatorio (T, Y ) non è assolutamente continuo.
Esercizio 5 (Es. 2 del V appello 2013/14). Una moneta equilibrata ha scritto +1 su una
faccia e −1 sull’altra. Lanciamo due volte la moneta e indichiamo rispettivamente con X e
Y i numeri ottenuti. Poniamo quindi
S := X + Y ,
D := X − Y ,
T := XY .
(a) Si determinino le distribuzioni marginali di S, D e T .
(b) Le variabili aleatorie S e T sono indipendenti? Le variabili aleatorie X e T sono
indipendenti?
(c) Sia ora Z una variabile aleatoria reale, indipendente da X, e definiamo
W := min{X, Z} .
Si esprima la funzione di ripartizione FW di W in termini di quella di Z. Se Z è una
variabile aleatoria assolutamente continua, anche W lo è?
Esercizio 6. Un segnale viene trasmesso in un istante aleatorio X. Il ricevitore viene acceso
in un istante aleatorio Y e resta acceso per un intervallo di tempo aleatorio Z. Supponendo
che X, Y, Z siano variabili aleatorie indipendenti con X ∼ U (0, 2) e Y, Z ∼ U (0, 1), qual è
la probabilità che il segnale venga ricevuto?
Esercizio 7 (Es. 2 del II appello 2015/16). Due particelle X e Y si muovono su una retta.
All’istante iniziale t = 0 si trovano nell’origine, mentre le loro posizioni all’istante di tempo
t > 0 sono date da
1
Xt = t ,
Yt = at2 ,
2
ossia la particella X segue un moto rettilineo uniforme, con velocità unitaria, mentre
la particella Y segue un moto uniformemente accelerato, con velocità iniziale nulla e
accelerazione a > 0.
(a) Se l’accelerazione a = A è una variabile aleatoria uniforme continua nell’intervallo
(0, 1), qual è la legge dell’istante τ > 0 in cui X e Y si incontrano?
D’ora in avanti fissiamo l’accelerazione deterministica a =
√1 .
2
(b) Sia T ∼ Geo( 12 ). All’istante aleatorio t = T è più probabile che X preceda o segua Y?
(c) Sia invece T ∼ Exp(1). Si mostri che la distribuzione congiunta di XT e YT non è
assolutamente continua.