Calcolo delle Probabilità 2016/17 – Foglio di esercizi 5†
Variabili aleatorie: valore medio e varianza
Esercizi “teorici”
Esercizio 1. Sia X una variabile aleatoria definita su (Ω, A, P) a valori in [0, +∞].
(a) Si mostri che la funzione ϕ : [0, ∞] × Ω → R definita da ϕ(t, ω) := 1{X(ω)≥t} è
misurabile (rispetto alla σ-algebra prodotto B([0, ∞]) ⊗ A).
(b) Applicando opportunamente il teorema di Fubini-Tonelli alla funzione ϕ, si mostri che
Z ∞
E(X) =
P(X ≥ t) dt .
0
(c) Nel caso in cui X assuma valori in N0 = {0, 1, . . .} ∪ {+∞}, si deduca che
∞
∞
X
X
P(X ≥ n) =
P(X > m) .
E(X) =
n=1
m=0
Esercizio 2 (Caratterizzazione variazionale di valore medio e varianza). Date due variabili
poniamo dL2 (X, Y ) :=
p aleatorie reali X, Y definite sullo stesso spazio di probabilità,
2
2
E[|X − Y | ]. Si mostri che, per ogni variabile aleatoria X ∈ L , si ha
Var[X] = min{dL2 (X, c)2 : c ∈ R} ,
e il minimo è assunto se e solo se c = E[X].
Esercizi “pratici”
Esercizio 3 (Media e varianza di variabili aleatorie notevoli).
(a) Sia X ∼ Bin(n, p). Si mostri che E[X] = np e Var[X] = np(1 − p).
[Sugg.: Si sfruttino le proprietà di valore medio e varianza.]
(b) Sia X ∼ Pois(λ). Si mostri che E[X] = Var[X] = λ.
[Sugg.: Si calcolino E[X] e E[X(X − 1)].]
(c) Sia X ∼ Geo(p). Si mostri che E[X] =
1
p
e Var[X] =
bp+1 −ap+1
a+b
(p+1)(b−a) da cui E[X] = 2
E[X] = αλ e Var[X] = λα2 .
(d) Sia X ∼ U (a, b). Si mostri che E[X p ] =
(e) Sia X ∼ Gamma(α, λ). Si mostri che
1−p
.
p2
e Var[X] =
(b−a)2
12 .
Esercizio 4 (Continuazione dell’esercizio 2 del foglio 4 bis). Siano X, Z, W variabili aleatorie
indipendenti con X ∼ Be(p), Z ∼ Pois(λ), W ∼ Pois(λ) e definiamo
Y := XZ + W .
In un esercizio precedente è stato mostrato che Y ha densità discreta
(2λ)n
λn
pY (n) = P(Y = n) = pe−2λ
+ (1 − p)e−λ
,
∀n ∈ N0 .
n!
n!
(a) Calcolare E(Y ) e Var(Y ) utilizzando la densità pY .
†
Ultima modifica: 14 novembre 2016.
2
(b) Calcolare E(Y ) e Var(Y ) senza utilizzare pY .
(c) Calcolare Cov[X, Y ] e dire se X e Y sono indipendenti.
Esercizio 5 (Continuazione dell’esercizio 8 del foglio 4). Due variabili aleatorie X, N a
valori in N0 = {0, 1, 2, . . .} hanno densità discreta congiunta
n
n pk (1 − p)n−k e−λ λ
se 0 ≤ k ≤ n
k
n!
pX,N (k, n) =
.
0
altrimenti
Si supponga noto (si può dedurre da pX,N ) che N ∼ Pois(λ) e X ∼ Pois(pλ).
(a) Si calcoli Cov(X, N ).
Esercizio 6 (Continuazione dell’esercizio 4 del foglio 4 bis; tema d’esame 2013/14). Due
variabili aleatorie reali Y, T sono legate dalla relazione
1
Y := .
T
È noto che Y ha distribuzione Gamma(2, 1), ossia
fY (y) = y e−y 1(0,∞) (y) ,
ed è stato mostrato che T ha distribuzione assolutamente continua, con densità
1
fT (t) = 3 e−1/t 1(0,∞) (t) .
t
(a) Si dica se T ∈ L1 e/o T ∈ L2 . Si mostri che Cov(T, Y ) è ben definita, e la si calcoli.
Esercizio 7. Sia X il numero di punti fissi di una permutazione aleatoria di n elementi
scelta uniformemente. Si calcolino E[X] e Var[X].
[Sugg.: Non è necessario determinare la distribuzione di X. Si rifletta sugli eventi Ai := “i è
un punto fisso della permutazione” per i ∈ {1, . . . , n}.]
Esercizio 8 (Esercizio 3 del terzo appello 2014/15). Siano X, Y variabili aleatorie reali con
densità congiunta
e−y
fX,Y (x, y) := c
1
1
,
(1 + x)3 {x>0} {0<y<x}
dove c ∈ (0, ∞) è un’opportuna costante (che non è richiesto di determinare).
(a) Si determinino le densità marginali di X e Y .
(b) Le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti?
(c) Si dica se X e Y sono in L1 e/o in L2 . È ben definita Cov(X, Y )?
(d) Si determini la distribuzione di M := max{X, Y }.
Esercizio 9 (Esercizio 3 del terzo appello 2015/16). Siano Z ∼ N (0, 1) e Y ∼ Be(p) due
variabili aleatorie indipendenti, dove p ∈ (0, 1) è un parametro fissato. Definiamo due nuove
variabili aleatorie
W := 2Y − 1 ,
T := W Z .
(a) Calcolare E[W ], Var[W ] e determinare la legge di W .
3
(b) Calcolare E[T ], Var[T ], Cov[W, T ].
(c) Determinare la funzione di ripartizione FT di T e riconoscerla come notevole.
(d) T e W sono indipendenti?
Esercizio 10. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio a valori in R2 , con densità
(
c e−x se 0 < x < y < x + 1
fX,Y (x, y) :=
,
0
altrimenti
dove c ∈ R è una opportuna costante.
(a) Si calcoli il valore della costante c e si mostri che X è una variabile aleatoria con
distribuzione Exp(1).
(b) Si mostri che Z := log(X) è una variabile aleatoria assolutamente continua e se ne
determini la densità. Per quali valori di p si ha Z ∈ Lp ?
(c) Si determini la densità di Y . Si calcoli E(eX−Y ).
(d) Le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti?
Esercizio 11. Una variabile aleatoria reale X è detta di Cauchy se è assolutamente continua
con densità
1
1
fX (x) :=
,
x ∈ R.
π 1 + x2
(a) Si mostri che fX è effettivamente una densità e si calcolino P(X > 1) e P(X < −1).
(b) Si mostri che X non ammette valor medio.
(c) Si dimostri che la variabile aleatoria Y := 1/X è di Cauchy.
Esercizio 12. Siano T, (Xi )i∈N variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni T ∼ Geo(p)
e Xi ∼ Exp(λ). Definiamo la variabile aleatoria Z ponendo
Z(ω) := min{X1 (ω), . . . , XT (ω) (ω)} .
(a) Si determini la distribuzione di Z, mostrando che è assolutamente continua.
(b) Si mostri che Z ∈ Lq per ogni q > 0 e si calcoli E[Z].
