A.S. 2014-2015 CLASSE III SAA PROGRAMMA DI MATEMATICA Prof. Andrea Zavaglia COMPLEMENTI DI ALGEBRA Equazioni e disequazioni irrazionali nel campo ordinato dei numeri reali. Equazioni e disequazioni con valore assoluto nel campo ordinato dei numeri reali. FUNZIONI, TRASFORMAZIONI E GEOMETRIA ANALITICA Funzioni e trasformazioni: funzioni iniettive, suriettive, biiettive; funzione inversa; immagine di un elemento e di un insieme; immagine di una funzione; composizione di funzioni; trasformazioni di un insieme; proprietà delle trasformazioni; particolari trasformazioni del piano cartesiano: simmetrie centrali e assiali, traslazioni, omotetie. Parabola: la parabola come luogo geometrico e come sezione conica; equazione della parabola con l’asse parallelo a un asse cartesiano; determinazione dell’equazione di una parabola che soddisfa particolari condizioni; intersezioni fra rette e parabole; tangenti a una parabola; teorema di Archimede (generalizzato); proprietà ottiche della parabola. Circonferenza: richiami alle proprietà geometriche elementari; potenza di un punto rispetto a una circonferenza; equazione nel piano cartesiano; intersezioni fra rette e circonferenze; determinazione dell’equazione di una circonferenza che soddisfa particolari condizioni; fasci di circonferenze e asse radicale; intersezioni fra rette e circonferenze; tangenti a una circonferenza; lunghezza della circonferenza e area del cerchio. Ellisse: l’ellisse come luogo geometrico e come sezione conica; simmetrie e proprietà ottiche; equazione di un’ellisse con gli assi paralleli agli assi cartesiani; coordinate del centro di simmetria e dei fuochi; equazione degli assi di simmetria; eccentricità; determinazione dell’equazione di un’ellisse che soddisfa particolari condizioni; intersezioni fra rette ed ellissi; tangenti a un’ellisse; area racchiusa da un’ellisse. Iperbole: l’iperbole come luogo geometrico e come sezione conica; simmetrie e proprietà ottiche; equazione di un’iperbole con gli assi paralleli agli assi cartesiani; coordinate del centro di simmetria e dei fuochi; equazione degli assi di simmetria e degli asintoti; determinazione dell’equazione di un’iperbole che soddisfa particolari condizioni; i intersezioni fra rette e iperboli; tangenti a un’iperbole; iperboli equilatere riferite agli assi e agli asintoti. NUMERI NATURALI, SUCCESSIONI E PROGRESSIONI Divisibilità nell’insieme dei numeri naturali; teorema del quoziente e del resto; numeri primi e teorema sulla scomposizione in fattori primi; i numeri primi sono infiniti; MCD e mcm; numeri primi fra loro. Assiomi di Peano e dimostrazioni per induzione matematica. Successioni di numeri reali; proprietà del simbolo di somma ; somma dei primi n interi positivi, dei primi n interi positivi pari e dei primi n interi positivi dispari; dimostrazione per 1 n induzione della formula: k k 1 n( n 1) e di altre analoghe; progressioni aritmetiche e 2 geometriche: definizioni e principali proprietà. COMPLEMENTI DI GEOMETRIA Isometrie nel piano: proprietà delle isometrie; punti uniti; caratterizzazione delle isometrie con uno o più punti uniti. TRIGONOMETRIA, VETTORI E NUMERI COMPLESSI Richiami sulla rappresentazione dei vettori nel piano cartesiano: i versori i, j, k e le componenti fondamentali; operazioni sui vettori con le componenti fondamentali. Rotazioni nel piano cartesiano: rotazioni di centro O di un punto e di un vettore; proprietà fondamentali delle rotazioni; formule per le rotazioni (di centro O); formule della rotazione inversa. Funzioni goniometriche: proprietà fondamentali e grafici delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente; formule di addizione e sottrazione; formule per gli archi associati; formule di duplicazione e bisezione; formule parametriche; tangente dell’angolo formato da due rette nel piano cartesiano; proprietà fondamentali e grafici delle funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangente; coordinate polari nel piano; le funzioni del tipo a sin x b cos x e la forma A sin( x ) (con A 0). Trigonometria: teoremi sui triangoli rettangoli, del teorema dei seni e del teorema del coseno; problemi di trigonometria; area di un triangolo e angolo fra due vettori. Cenno alle equazioni e disequazioni trigonometriche: esempi di (dis)equazioni trigonometriche elementari, di secondo grado in una variabile trigonometrica, lineari in seno e coseno, omogenee di secondo grado in seno e coseno. Numeri complessi: cenni storici; numeri complessi in forma algebrica e trigonometrica; operazioni elementari con i numeri complessi; interpretazione geometrica dell’addizione e della moltiplicazione; potenza ad esponente intero di un numero complesso (formula di de Moivre) e radici n-esime di un numero complesso; cenno al teorema fondamentale dell’algebra e al problema della risoluzione per radicali delle equazioni polinomiali. Testo: Bergamini, Trifone, Barozzi, Manuale Blu 2.0 di Matematica – Conf. 3 2