A.S. 2014-2015
CLASSE III SAA
PROGRAMMA DI MATEMATICA
Prof. Andrea Zavaglia
COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Equazioni e disequazioni irrazionali nel campo ordinato dei numeri reali.
Equazioni e disequazioni con valore assoluto nel campo ordinato dei numeri reali.
FUNZIONI, TRASFORMAZIONI E GEOMETRIA ANALITICA
Funzioni e trasformazioni: funzioni iniettive, suriettive, biiettive; funzione inversa;
immagine di un elemento e di un insieme; immagine di una funzione; composizione di
funzioni; trasformazioni di un insieme; proprietà delle trasformazioni; particolari
trasformazioni del piano cartesiano: simmetrie centrali e assiali, traslazioni, omotetie.
Parabola: la parabola come luogo geometrico e come sezione conica; equazione della
parabola con l’asse parallelo a un asse cartesiano; determinazione dell’equazione di una
parabola che soddisfa particolari condizioni; intersezioni fra rette e parabole; tangenti a
una parabola; teorema di Archimede (generalizzato); proprietà ottiche della parabola.
Circonferenza: richiami alle proprietà geometriche elementari; potenza di un punto
rispetto a una circonferenza; equazione nel piano cartesiano; intersezioni fra rette e
circonferenze; determinazione dell’equazione di una circonferenza che soddisfa particolari
condizioni; fasci di circonferenze e asse radicale; intersezioni fra rette e circonferenze;
tangenti a una circonferenza; lunghezza della circonferenza e area del cerchio.
Ellisse: l’ellisse come luogo geometrico e come sezione conica; simmetrie e proprietà
ottiche; equazione di un’ellisse con gli assi paralleli agli assi cartesiani; coordinate del
centro di simmetria e dei fuochi; equazione degli assi di simmetria; eccentricità;
determinazione dell’equazione di un’ellisse che soddisfa particolari condizioni; intersezioni
fra rette ed ellissi; tangenti a un’ellisse; area racchiusa da un’ellisse.
Iperbole: l’iperbole come luogo geometrico e come sezione conica; simmetrie e proprietà
ottiche; equazione di un’iperbole con gli assi paralleli agli assi cartesiani; coordinate del
centro di simmetria e dei fuochi; equazione degli assi di simmetria e degli asintoti;
determinazione dell’equazione di un’iperbole che soddisfa particolari condizioni; i
intersezioni fra rette e iperboli; tangenti a un’iperbole; iperboli equilatere riferite agli assi
e agli asintoti.
NUMERI NATURALI, SUCCESSIONI E PROGRESSIONI
Divisibilità nell’insieme
dei numeri naturali; teorema del quoziente e del resto; numeri
primi e teorema sulla scomposizione in fattori primi; i numeri primi sono infiniti; MCD e
mcm; numeri primi fra loro. Assiomi di Peano e dimostrazioni per induzione matematica.
Successioni di numeri reali; proprietà del simbolo di somma ; somma dei primi n interi
positivi, dei primi n interi positivi pari e dei primi n interi positivi dispari; dimostrazione per
1
n
induzione della formula:
k
k 1
n( n 1)
e di altre analoghe; progressioni aritmetiche e
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geometriche: definizioni e principali proprietà.
COMPLEMENTI DI GEOMETRIA
Isometrie nel piano: proprietà delle isometrie; punti uniti; caratterizzazione delle isometrie
con uno o più punti uniti.
TRIGONOMETRIA, VETTORI E NUMERI COMPLESSI
Richiami sulla rappresentazione dei vettori nel piano cartesiano: i versori i, j, k e le
componenti fondamentali; operazioni sui vettori con le componenti fondamentali.
Rotazioni nel piano cartesiano: rotazioni di centro O di un punto e di un vettore; proprietà
fondamentali delle rotazioni; formule per le rotazioni (di centro O); formule della
rotazione inversa.
Funzioni goniometriche: proprietà fondamentali e grafici delle funzioni seno, coseno,
tangente e cotangente; formule di addizione e sottrazione; formule per gli archi associati;
formule di duplicazione e bisezione; formule parametriche; tangente dell’angolo formato
da due rette nel piano cartesiano; proprietà fondamentali e grafici delle funzioni arcoseno,
arcocoseno e arcotangente; coordinate polari nel piano; le funzioni del tipo
a sin x b cos x e la forma A sin( x ) (con A 0).
Trigonometria: teoremi sui triangoli rettangoli, del teorema dei seni e del teorema del
coseno; problemi di trigonometria; area di un triangolo e angolo fra due vettori.
Cenno alle equazioni e disequazioni trigonometriche: esempi di (dis)equazioni
trigonometriche elementari, di secondo grado in una variabile trigonometrica, lineari in
seno e coseno, omogenee di secondo grado in seno e coseno.
Numeri complessi: cenni storici; numeri complessi in forma algebrica e trigonometrica;
operazioni elementari con i numeri complessi; interpretazione geometrica dell’addizione e
della moltiplicazione; potenza ad esponente intero di un numero complesso (formula di
de Moivre) e radici n-esime di un numero complesso; cenno al teorema fondamentale
dell’algebra e al problema della risoluzione per radicali delle equazioni polinomiali.
Testo: Bergamini, Trifone, Barozzi, Manuale Blu 2.0 di Matematica – Conf. 3
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