TORINO
MAGGIO 2011
COMPENDIO
DI
TRIGONOMETRIA
di Bart VEGLIA
1
FUNZIONI GONIOMETRICHE
§ 1 Premessa
La trigonometria ha lo scopo, come dice il nome, (dal greco, trigonon = triangolo e
metron = misura) di risolvere per via algebrica i triangoli, ricavandone gli elementi
incogniti, conoscendo la misura di tre elementi, tra cui almeno un lato. ( Infatti due
triangoli possono avere i tre angoli uguali ma i lati molto diversi ).
Poiché angoli e lati di un triangolo non sono grandezze omogenee, cioè non possono
essere misurate con la stessa unità di misura, gli angoli vengono sostituiti con dei
segmenti orientati, le cui misure sono funzioni degli angoli.
Per questi segmenti si può quindi usare la stessa unità di misura impiegata per i lati.
Queste grandezze sono dette funzioni trigonometriche
Innanzitutto vengono definite queste funzioni e successivamente si determinano le formule
che legano le misure dei lati di un triangolo alle suddette funzioni e che permettono la
risoluzione del triangolo.
§ 2 Angoli
Un angolo è formato da due semirette,dette lati,
A
uscenti da un punto comune, detto vertice.
Il piano su cui giacciono le due semirette è quindi
O
B
diviso in due angoli che, sommati, costituiscono
l’angolo giro.
Dei due angoli, quello che non contiene i prolungamenti
dei lati è detto convesso, mentre quello che contiene i
prolungamenti dei lati è detto concavo.
Si chiama arco di circonferenza la parte di circonferenza compresa tra due lati che
formano il corrispondente angolo al centro. Pertanto una circonferenza è divisa dai lati di
un angolo in due archi: AB e BA.
Gli angoli, o gli archi corrispondenti, possono essere misurati in gradi,
normalmente sessagesimali. Un grado corrisponde alla 360ma parte dell’angolo giro, ed
è suddiviso in 60 primi, ognuno dei quali è, a sua volta, suddiviso in 60 secondi.
Un’altra unità di misura degli angoli è il radiante, che
A
r
è l’angolo al centro cui corrisponde (si dice: che
sottende) un arco di circonferenza, di lunghezza
B α
B
uguale al raggio della circonferenza stessa. In figura
l’angolo α è un radiante perché l’arco AB è uguale
al raggio r.
Poiché la lunghezza della circonferenza di raggio r è
2 π r, indicando con α la misura, in gradi sessagesimali, di 1 radiante, si può scrivere la
proporzione
360° : 2 π = α : r
dalla quale si ricava che 1 radiante vale 57° 17’ 44” , 8….
L’angolo giro misura 2 π radianti; l’angolo piatto (che è la metà dell’angolo giro) vale π
radianti; l’angolo retto misura π / 2 radianti; la metà dell’angolo retto, corrispondente a
45°, misura π / 4 radianti, e così via.
2
§ 3 Funzioni goniometriche
(fondamentali)
B
β
a
c
Con riferimento alla figura a lato,vengono definite, nei §
seguenti, le funzioni goniometriche.
A
α
b
C
§ 3 . 1 Seno
Si definisce seno dell’angolo α (sen α) il rapporto tra il cateto opposto all’angolo e
l’ipotenusa
sen α = BC / AB = a / c
(1)
§ 3 . 2 Coseno
Si definisce coseno dell’angolo α (cos α) il rapporto tra il cateto opposto all’angolo e
l’ipotenusa
cos α = AC / AB = b / c
(2)
§ 3 . 3 Tangente
Si definisce tangente dell’angolo α (tg α) il rapporto tra il cateto opposto ed il cateto
adiacente, che è uguale al rapporto tra seno e coseno
tg α = BC / AC = a / b = sen α / cos α
(3)
§ 3 . 4 Cotangente
Si definisce cotangente dell’angolo α (cotg α) il reciproco della tangente
cotg α = AC / BC = cos α / sen α = b / a
(4)
§ 3 . 5 Secante
Si definisce secante dell’angolo α (sec α) il reciproco del coseno
sec α = 1 / cos α
(5)
§ 3 . 6 Cosecante
Si definisce cosecante dell’angolo α (cosec α)
cosec α = 1 / sen α
il reciproco del seno
(6)
************************
Tutte le funzioni sopra definite sono, come si vede, dei numeri reali relativi che dipendono
esclusivamente dall’ampiezza dell’angolo considerato.
§ 4 Circonferenza goniometrica
F
Se si considera una circonferenza con raggio unitario
(r = 1), detta circonferenza goniometrica, i rapporti del
seno e coseno, prima definiti, si semplificano, essendo
l’ipotenusa del triangolo BOC = 1, e si ha quindi,
semplicemente
sen α = BC
cos α = OC
(7)
3
G
D
r=1
O
α
B
C
EH
Poiché nella figura OE, OB, GH sono = 1 e OH = FG, la tangente e la cotangente
diventano
tg α = BC / OC = DE / OE = DE
cotg α = OC / BC = OH / GH = FG
(8)
In tal modo tutte le quattro funzioni trigonometriche fondamentali si sono trasformate in
segmenti e pertanto possono essere misurate con la stessa unità di misura usata per i lati
del triangolo.
Ovviamente le suddette semplificazioni valgono soltanto nella circonferenza goniometrica
che ha il raggio unitario. Nei triangoli rettangoli con l’ipotenusa diversa dall’unità occorre
applicare le formule da (1) a (4) e non le (7) e le (8)..
Sempre facendo riferimento alla circonferenza goniometrica, per il teorema di Pitagora
dalle (7) si ricava
__
2
BC + OC2 = 1 da cui sen2 α + cos2 α = 1
(9)
che è una relazione fondamentale da cui si ricavano
_________
_________
2
sen α = ± √ 1 – cos α
e
cos α = ± √ 1 – sen2 α
Dalla (3) si può ricavare la tg α in funzione del seno o del coseno
sen α
±√ 1 – cos2 α
tg α =
o
tg α =
2
±√ 1 – sen α
cos α
(10)
(11)
Se è nota la tg α si possono esprimere le funzioni seno e coseno con la tg α
Basta dividere la (9) per cos2 α
1
sen2 α
+ 1 =
cos2 α
cos2 α
da cui si ricava
1
cos α =
(12)
2
±√ 1 + tg α
e sostituendo la (12) nella (3) si ottiene
tg α
sen α =
±√ 1 + tg2 α
§ 5
(13)
Funzioni goniometriche inverse
Sono funzioni goniometriche inverse: l’arcoseno, l’ arcocoseno e l’ arcotangente
cioè gli archi (angoli) che hanno il valore della funzione goniometrica data
4
Se
sen α = a
cos β = b
tg γ = c
è
è
è
arcsen a = α
arccos b = β
arctg c = γ
Ovviamente si deduce che
sen δ = d
Invece, se è
sen arcsen a = a
si deduce che
e
e
cos δ = e
e
arccos e = δ
arcsen d = δ
da cui
Ad es. sen 30° = 1/2
“ “ cos 45° = √ 2 /2
“ “ tg 45° = 1
sen arccos e = sen δ = d
e
arcsen 1/2_ = 30°
arccos √2/2 = 45°
arctg 1 = 45°
cos arccos b = b
cos arcsen d = cos δ = e
§ 6 Alcuni valori notevoli di seno e coseno
Si può immediatamente verificare che
sen
0° = sen 0
sen 90° = sen π/2
sen 180° = sen π
sen 270° = sen 3 π/2
sen 360° = sen 2 π
= 0
= 1
= 0
= -1
= 0
cos
cos
cos
cos
cos
0°
90°
180°
270°
360°
=
=
=
=
=
cos 0
cos π/2
cos π
cos 3 π/2
cos 2 π
=
=
=
=
=
1
0
-1
0
1
Va notato che l’intervallo di variazione, sia per il seno che per il coseno, è (-1 ; +1)
§ 7 Diagrammi delle funzioni trigonometriche
Riportando i valori del precedente § su un piano cartesiano, si ottengono due diagrammi
periodici,. con periodo 2 π, detti sinusoide, quello del seno e cosinusoide quello del
coseno
1° Q
2° Q
3° Q
4° Q
1
cosinusoide
0
π /2
π
3π/2
2π
sinusoide
-1
Il piano cartesiano su cui giace la circonferenza
trigonometrica è suddiviso in quattro quadranti
che compaiono anche nel diagramma delle
sinusoidi..
Come si osserva nelle curve, il seno è > 0 nel
1° e 2° quadrante, < 0 negli altri due..
Il coseno è > 0 nel 1° e 4° quadrante, < 0
negli altri due.
(importantissimo)
5
2° Q
sen > 0
cos < 0
1° Q
sen > 0
cos > 0
3° Q
4° Q
sen < 0
cos < 0
sen < 0
cos > 0
Il diagramma della tangente, anch’esso periodico,
ma con periodo π, è rappresentato a fianco.
Da esso risulta che la curva che rappresenta la
tangente è sempre crescente.
La tangente è positiva nel 1° e nel 3° quadrante,
negativa negli altri due.
0
In corrispondenza di π/2 e di 3 π/2 la curva va
all’infinito. Non esiste quindi la tg π/2 e la tg 3 π/2
+∞
∞
1° Q
+∞
∞
3° Q
4° Q
2° Q
π/2
π
3 π/2
§ 8 Formulario per il triangolo rettangolo
(importante)
-∞
-∞
§ 8 . 1 Valori delle funzioni trigonometriche di archi speciali
Archi
α°
α
Sen α
Funzioni
Cos α
Tang α
Cotg α
0
Lim = ∞
4-√10+2√5
√5 - 1
√5 - 1
4-√10+2√5
2 - √3
2 + √3
(1/5) √25 - 10√5
√5 + 2√5
√3 / 2
√3 / 3
√3
(1/4)√10- 2√5
(1/4) (√5 + 1)
√5 - 2√5
(1/5)√25+10√5
π/4
√2 / 2
√2 / 2
1
1
54
(3/10)π
π
(1/4) (√5 + 1)
(1/4)√10- 2√5
(1/5)√25+10√5
√5 - 2√5
60
π/3
√3 / 2
1/2
√3
√3 / 3
72
(2/5)π
π
(1/4) (√5 – 1)
√5 + 2√5
(1/5) √25 - 10√5
75
(5/12)π
π
(1/4) (√6 + √2 )
(1/4) (√6 - √2 )
2 + √3
2 - √3
90
π/2
1
0
Lim =∞
0
0
0
9
π/20
√3+√5 - √5 - √5
4
15
π/12
(1/4) (√6 - √2 )
18
π/10
(1/4) (√5 – 1)
30
π/6
1/2
36
π/5
45
0
(1/4) √10+2√5
1
√3+√5 + √5 -√5
4
(1/4) (√6 + √2 )
(1/4) √10+2√5
6
2π
8 . 2 Funzioni goniometriche espresse mediante una funzione nota
Funzione nota
sen α
sen α
sen α
cos α
________
±√ 1 - sen2 α
cos α
________
±√ I – cos2 α
cos α
tg α
tg α
±√ 1 + tg2 α
1
±√ 1 + tg2 α
(14)
tg α_____
sen α
−
±√ 1 - sen2 α
_________
±√ 1 – cos2 α
cos α
tg α
§ 8 . 3 Funzioni goniometriche di angoli maggiori dell’angolo giro
Un angolo qualsiasi (β), maggiore dell’angolo giro (2π), può essere considerato come una
somma di k angoli giro + un angolo α, cioè
β° = α° + k 360° ovvero
β = α + 2kπ
Ad es. un angolo di 810° è uguale a 90° + 2 • 360° ossia π/2 + 2 (2 π)
Se ne deduce che
sen ( α + 2 k π ) = sen α
cos ( α + 2 k π ) = cos α
e così via.
(15)
§ 8 . 4 Formule goniometriche di due angoli complementari ( α e π/2 - α )
Tenendo presente la circonferenza goniometrica si ottengono le formule seguenti
sen ( π/2 - α ) = cos α
cos ( π/2 - α ) = sen α
tg ( π/2 - α ) = cotg α
(16)
§ 8 . 5 Formule goniometriche di due angoli supplementari ( α e π - α )
sen ( π - α ) = sen α
cos ( π - α ) = - cos α
tg ( π - α ) = - tg α
(17)
§ 8 . 6 Formule goniometriche di due angoli che differiscono di un angolo retto
( α e π/2 + α )
sen ( π/2 + α ) = cos α
cos ( π/2 + α ) = - sen α
tg ( π/2 + α ) = - tg α
(18)
§ 8 . 7 Formule goniometriche di due angoli che differiscono di un angolo piatto
( α e π + α)
sen ( π + α ) = - sen α
cos ( π + α ) = - cos α
7
tg ( π + α ) = tg α
(19)
§ 8 . 8 Formule goniometriche di due angoli opposti ( α e - α )
sen ( - α ) = - sen α
cos ( - α ) = cos α
tg ( - α ) = - tg α
(20)
§ 8 . 9 Formule per l’addizione degli angoli ( α + β )
sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β
cos ( α + β ) = cos α cos β - sen α sen β
(21)
tg
tg α + tg β
( α + β ) =
1 - tg α • tg β
§ 8 . 10 Formule per la sottrazione degli angoli ( α - β )
sen ( α - β ) = sen α cos β - cos α sen β
cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β
(22)
tg
tg α - tg β
( α - β ) =
1 + tg α • tg β
§ 8 . 11 Formule per la duplicazione degli angoli ( 2 α )
Ponendo α = β nelle (21) si ottiene
sen 2 α = 2 sen α cos α
cos 2 α = cos2 α - sen2 α = 2 cos2 α - 1 = 1 - 2 sen2 α
(23)
2 tg α
tg 2 α =
1 - tg2 α
Sostituendo ad α l’angolo α/2 le formule precedenti diventano
sen α = 2 sen α/2 cos α/2
cos α = cos2 α/2 - sen2 α/2 = 2 cos2 α/2 - 1 = 1 - 2 sen2 α/2
(24)
2 tg α/2
tg α =
1 - tg2 α/2
8
§ 8 . 12 Formule per la bisezione degli angoli
Dalle formule di cos α delle (24) si ricavano le formule seguenti
_________
/ 1 - cos α
sen α/2 = ± √
2
_________
/ 1 + cos α
cos α/2 = ± √
2
__________
/ 1 - cos α
tg α/2 = ± √ 1 + cos α
(25)
§ 8 . 13 Formule per esprimere seno e coseno di un angolo α mediante tg α/2
1 - tg2 α/2
cos α =
1 + tg2 α/2
2 tg α/2
sen α =
1 + tg2 α/2
(26)
§ 8 . 14 Formule, dette “di prostaferesi”, per la trasformazione di somme di
funzioni goniometriche in prodotti,
Sostituendo, nelle (21) e (22),
seguenti
p = α+β
e
q = α-β
si ricavano le formule
sen p + sen q = 2 sen ½ (p + q) cos ½ (p – q)
sen p - sen q = 2 cos ½ (p + q) sen ½ (p – q )
cos p + cos q = 2 cos ½ (p + q) cos ½ (p – q)
cos p - cos q = - 2 sen ½ (p + q) sen ½ (p - q)
sen ( p ± q )
tg p ± tg q =
cos p cos q
(27)
sen ( q ± p)
cot p ± cot q = ---------------sen p sen q
Dalle prime due delle (27) si ricava
sen p + sen q
tg ½ (p + q)
=
sen p - sen q
tg ½ (p –q)
(28)
9
§ 8 . 15 Formule di Werner
Sommando membro a membro le formule relative al seno delle (21) e (22) si ottiene
sen ( α + β ) + sen ( α - β ) = 2 sen α cos β
sen ( α + β ) - sen ( α - β ) = 2 cos α sen β
Analogamente dalle formule relative al coseno delle (21) e (22) si ottiene
cos ( α + β ) + cos ( α - β ) = 2 cos α cos β
cos ( α + β ) - cos ( α - β ) = -2 sen α sen β
Dalle suddette formule si ricavano le formule di Werner
sen α
cos α
sen α
cos α
cos β
sen β
sen β
cos β
=
=
=
=
½
½
½
½
[ sen ( α + β ) + sen ( α – β )]
[ sen ( α + β ) – sen ( α – β )]
[ cos ( α – β ) – cos ( α + β )]
[ cos ( α – β ) + cos ( α + β )]
10
(29)
TRIGONOMETRIA PIANA
§ 9 Premessa
La trigonometria piana studia le relazioni fra gli elementi di un triangolo, basandosi sulla
teoria delle funzioni goniometriche.
Si esaminano prima i triangoli rettangoli e in seguito i triangoli qualunque.
§ 10
Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo
B
c
β
Per studiare le relazioni tra gli elementi di un triangolo
rettangolo si fa riferimento alla figura a lato
a
α
A
Dalle (1), (2), (3)
C
b
si ricavano le formule seguenti
a = c sen α
b = c cos α
a = b tg α
(30)
Se β è l’angolo complementare di α (cioè β = 90 - α ) si ha
a = c cos β
b = c sen β
b = a tg β
(31)
§ 11 Risoluzione dei triangoli rettangoli
Nei § seguenti sono riportate le formule che servono per calcolare gli elementi incogniti di
un triangolo, quando sono noti alcuni elementi. Si fa riferimento alla figura del § 10
§ 11 . 1 Calcolare i due angoli α e β e l’ipotenusa c, dati i due cateti a e b
Dalla terza delle (30) si ricava
tg α = a / b
da cui si ottiene α.
E’ poi β = π/2 - α
______
L’ipotenusa si calcola mediante il teorema di Pitagora c = √ a2 + b2
§ 11. 2 Calcolare il cateto b e gli angoli α e β, dati l’ipotenusa c e il cateto a
Essendo per la prima delle (7) sen α = a / c si ricava immediatamente α
β = π/2 - α
______
Con il teorema di Pitagora si ricava b = √ c2 - a2
e quindi
§ 11 . 3 Calcolare l’ipotenusa c, un cateto b e l’angolo ad esso opposto β, dati
l’altro cateto a e l’angolo (acuto) α
Si ha subito β = π/2 - α
Dalla prima delle (30) a = c sen α si ricava l’ipotenusa c = a / sen α
Il cateto b si calcola dalla terza delle (30)
b = a tg α
11
§ 11. 4 Calcolare i due cateti a e b e un angolo α, dati l’ipotenusa c e l’altro
angolo (acuto) β
E’ α = π/2 - β
I due cateti si ricavano dalle (30)
Ad es, a = c sen α e b = c cos α
§ 12 Relazioni tra gli elementi di un triangolo qualsiasi
§ 12 . 1 Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo
Sia dato il triangolo ABC inscritto in una circonferenza
di raggio R, di cui BD è il diametro.
Gli angoli BAC e BDC, che sottendono lo stesso arco
BC, sono uguali (α).
B
Il triangolo BCD è rettangolo perché inscritto in una
semicirconferenza. Vale quindi la relazione
a = BD sen α = 2 R sen α
a
da cui
R =
(32)
2 sen α
c
A
α
R
b
O
α
a
α
D
( importantissimo)
§ 12 . 2 Teorema dei seni
Poiché il ragionamento del § precedente si può ripetere per tutti gli angoli del triangolo
ABC, si può scrivere
a
b
c
2 R = = =
(33)
sen α
sen β
sen γ
§ 12 . 3 Teorema di Nepero
Dalle (33) si ricava a : b = sen α : sen β
Per una nota proprietà delle proporzioni si può scrivere
a+b
sen α + sen β
= = per la
a–b
sen α - sen β
tg ½ ( α + β )
(28) =
tg ½ ( α - β )
§ 12 . 4 Teorema delle proiezioni
(34)
(importantissimo)
Considerando la figura a lato si può scrivere
C
b
c = b cos α + a cos β
a
(35)
α
che significa che:
ogni lato di un triangolo è la somma delle proiezioni
degli altri due lati su di esso
12
A
β
c
B
§ 12 . 5 Teorema di Carnot
(importantissimo)
A
α
In un triangolo ABC, di cui sono noti due lati b e c
e l’angolo compreso α, si può ricavare il terzo lato a
con la formula
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
(36)
c
β
b
γ
B
a
C
§ 12 . 6 Formule di Briggs
Dato un triangolo , come quello del § precedente, ricavando cos α dalla (36) e
sostituendolo nella prima delle (25) si ricava
(a+b–c)(a–b+c)
sen α/2 = √
4bc
(37)
Poiché a + b + c = 2 p è il perimetro del triangolo, risulta
a+b–c = 2(p–c)
e
a–b+c = 2(p–b)
(38)
Sostituendo le (38) nella (37) si ottiene
(p–b)(p–c)
bc
sen α/2 = √
In modo analogo si ricava
p(p–a)
cos α/2 = √
bc
e
(39)
(p–b)(p–c)
tg α/2 = √
p(p–a)
§ 12 . 7 Seno di un angolo di un triangolo in funzione dei tre lati
Dalla prima delle (24) e dalla prima e seconda delle (39) si ricava
____________________
sen α = 2 √ p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c )
bc
in cui α è l’angolo compreso tra b e c.
(40)
§ 12 . 8 Area di un triangolo e di un parallelogramma, dati due lati e l’angolo
(importante)
compreso
L’area del triangolo della figura è S = c h / 2.
Essendo h = b sen α si ha
S = ½ b c sen α
(41)
L’area di un triangolo è uguale al semiprodotto di
due lati per il seno dell’angolo compreso
Da quanto sopra si deduce
L’area di un parallelogramma è uguale al prodotto
dei due lati per il seno dell’angolo compreso.
13
b
α
h
c
b
α
c
§ 12 . 9 Formula di Erone per calcolare l’area di un triangolo di cui sono noti i lati
Dalla (40) e dalla (41) si ottiene
S = √p(p–a)(p–b)(p–c)
(42)
che è la formula di Erone
Un’altra formula per il calcolo dell’area di un triangolo di cui sono noti i lati è la seguente
a+b
S = √
2
2
c
2
2
c
2
2
a–b
2
2
§ 12 . 10 Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo di cui sono noti i
lati
Dalla (37) e dalla (42) si ricava
sen α = 2 S / b c
Dividendo ambo i membri per a si ha
sen α / a = 2 S / a b c
abc
Dalla (32) si ricava
R =
4S
(43)
Il raggio del cerchio circoscritto ad un triangolo di cui sono noti i lati si ottiene dividendo il
prodotto dei lati per quattro volte l’area del triangolo stesso (da ricavare con
la (38) )
R si può anche calcolare con la (32)
§ 12 . 11 Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo, di cui sono noti i lati
I triangoli AOB, BOC, e COA hanno per base i lati del triangolo e per altezza il raggio
A
R della circonferenza inscritta nel triangolo stesso.
L’area S del triangolo è quindi
(a+b+c)R
S = = p R
c
2
b
O
da cui
R = S/p
(44)
R
B
a
C
§ 13 Risoluzione di un triangolo qualunque
Nei paragrafi che seguono si fa riferimento alla figura del § 11 . 5
§ 13 . 1 Calcolare i tre angoli di un triangolo,dati i tre lati
Si applicano le formule (39)
14
§ 13 . 2 Calcolare un lato c e gli angoli adiacenti α e β di un triangolo, dati gli
altri due lati a e b e l’angolo compreso γ
sen γ
Il lato c si può calcolare con le (33)
c = a
sen α
Per calcolare I due angoli si devono fare alcune considerazioni
Poiché α + β + γ = π e quindi α + β = π - γ, dividendo entrambi i membri della
uguaglianza per 2, si ottiene ½ ( α + β ) = π/2 - γ/2
Poiché, in base alla terza delle (13) è tg (π/2 - γ/2 ) = cotg γ/2, si ha
tg ½ ( α + β ) = cotg γ/2
a-b
Dalle (34) si ricava tg ½ ( α -β ) = cotg γ/2
a+b
da cui si ottiene il valore di ( α - β ) = m
Si tratta quindi di risolvere il sistema
α+β = π-γ
α-β = m
per ricavare α e β
§ 13 . 3 Calcolare due lati b e c di un triangolo e l’angolo compreso α, dati il
terzo lato a e gli altri due angoli β e γ
L’angolo è α = π - ( β + γ )
I due lati si ricavano dalle (33)
a sen β
b =
sen α
e
a sen γ
c =
sen α
§ 13 . 4 Calcolare un lato c di un triangolo e due angoli β e γ ( di cui uno
opposto a c ), dati gli altri due lati a e b e l’angolo α ( opposto ad a )
Il problema si risolve con le formule
b sen α
sen β = ( ricavata dalle (33) ) da cui si ottiene β
a
γ = π - (α+β)
a sen γ
c = ricavata dalle (33)
sen α
§ 14 Altezze, bisettrici e mediane di un triangolo in funzione dei lati
§ 14 . 1 Altezze
Se h è l’altezza, relativa al lato c, di un triangolo la cui area è quindi S = ½ c h, dalla
(42) si ricava
___________________
h = 2 S / c = (2/c) √ p (p – a) (p – b) (p – c)
(45)
dove a, b, c sono i lati e p il semiperimetro.
A
15
§ 14 . 2 Bisettrici
A
La bisettrice dell’angolo α divide il triangolo ABC in
due triangoli BAP e PAC le cui aree per la (41) sono
uguali a
½ c d sen (α/2)
e
c
½ b d sen (α/2)
α/2 α/2
d
B
P
b
a
C
L’area del triangolo ABC è quindi uguale a ½ d (c + b) sen α
Dalla (42) e dalle (39) si ricava la bisettrice
2
d =
√bcp(p–a)
b+c
in cui a, b, c e p hanno il significato detto al § precedente
§ 14 . 3 Mediane
La mediana m relativa al lato a, divide il triangolo ABC.
In due triangoli BAM e MAC.
Applicando il teorema di Carnot ( formula 36 ) ai lati
b e c dei due triangoli e sommando membro a membro
c
A
le due espressioni risultanti, si ricava
π-δ
B
b2 + c2 = 2 m2 + 1/2 a2
da cui
m = 1/2 √ 2 (b2 + c2 ) - a2
16
m
b
δ
M
a
C
APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA
§ 15 Calcolo di distanze ed altezze
Nei § seguenti si considerano alcuni problemi pratici che si presentano in topografia,
astronomia, navigazione, artiglieria, ecc che possono essere risolti mediante le formule
della trigonometria, misurando direttamente alcuni dati, come le distanze (segmenti) con il
metro, o gli angoli su un piano orizzontale o su uno verticale, con il teodolite.
§ 15 . 1 Distanza tra due punti accessibili, ma non visibili l’uno dall’altro
I punti A e B non sono visibili e non sono accessibili
tra di loro ( a causa di un ostacolo, come una collina o
un edificio ), ma sono visibili e accessibili dal punto C
Per risolvere il problema della misurazione della
distanza AB = c, si misurano le distanze
a e b e l’angolo γ compreso tra a e b
A questo punto si applica il teorema di Carnot
A
( v § 12 . 5)
C
γ
b
a
c
B
§ 15 . 2 Distanza tra due punti visibili tra di loro ma non accessibili
A e B sono due punti visibili tra di loro, ma non
accessibili (ad es.per la presenza di un fiume o di
una trincea nemica)
Per misurare la distanza AB = c si deve scegliere
un punto C accessibile da A , misurare la distanza
AC = b e gli angoli α e γ formati dalla retta AC
con le rette AB e BC
Il problema è simile a quello del § 13 . 3
B
c
a
α
γ
A
b
C
§ 15 .3 Distanza tra due punti entrambi inaccessibili, ma visibili da altri due punti
visibili tra loro
c
A e B sono due punti non accessibili, ( per la presenza
ad es. di un corso d’acqua) ma visibili da altri due punti
C e D.
Per misurare la distanza AB = c si misura la distanza
CD = d e gli angoli γ , δ, γ’ δ’
Utilizzando d, δ e γ’ si ricavano AD = a e AC
( v § 13 . 3)
Analogamente utilizzando d, δ’ e γ si ricavano BC = b
e BD. Applicando il teorema di Carnot ad es.al triangolo
ACB, di cui si conoscono i lati AC e BC e l’angolo γ - γ ‘,
si ricava la distanza AB cercata
17
B
A
a
b
δ
’
δ’
γ’
D
γ -γ’
γ
d
C
§ 15 . 4 Altezza di una torre, visibile ed accessibile
L’altezza AB di una torre accessibile e visibile si misura scegliendo un punto C, allo
stesso livello di A, e misurando la distanza AC = b e l’angolo ACB = α
E’ semplicemente AB = c = b tg α
Se C è situato più in alto o più in basso di A bisogna scomporre il problema in due e
risolverli separatamente
Nel primo caso (Fig 15. 4. 1) è c = c1 + c2 Nel secondo caso (Fig.15. 4. 2) è
c = c2 - c1
B
B
c
C
B
c1
c
α1
α2
Fig. 15 . 4 . 2
c
c2
α
c2
Fig 15 . 4 . 1
b
A
α
A
A
c1
β
C
§ 15 . 5 Altezza di una torre, visibile ma non accessibile
Per misurare l’altezza AB = c si scelgono due punti
C e D al livello di A, e si misura la distanza CD = d
Poi si misurano gli angoli α e β da cui si ricava l’angolo
γ = β - α. Conoscendo d, α e γ, per il teorema dei
seni ( v § 12 . 2 ) si ha
d sen α
BD =
sen γ
B
γ
c
α
β
C
Inoltre per la prima delle (30) è
D
A
d
c = AB = BD sen β
Se il segmento CD è situato più in alto o più in basso del punto A il problema si
scompone in due e va risolto in modo analogo a quello descritto al § precedente.
18
EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
§ 16 Premessa
Si definisce equazione trigonometrica una uguaglianza tra due espressioni, contenenti delle
funzioni trigonometriche, soddisfatta da certi valori dell’argomento x ( se esistono ), detti
soluzioni dell’equazione.
Per risolvere una equazione trigonometrica, contenente più funzioni trigonometriche di x, di
tipo diverso, occorre trasformare l’equazione data in una equivalente, contenente un solo tipo
di funzione.
Per esempio l’equazione
a sen x + b cos x + c tg x + d = 0
_________
si trasforma, con le formule (14), in a sen x + b √ 1 – sen2 x +
c sen x
+ d = 0
√ 1 – sen x
In questo modo l’equazione data assume la forma di una equazione nella variabile ausiliaria
t = sen x, e la si risolve come una qualsiasi equazione.
2
§ 17 Equazioni trigonometriche di 2° grado, om ogenee, in sen x e cos x, con
termine noto uguale a zero
Tali equazioni sono del tipo a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x = 0
Supponendo a ≠ 0 e cos x ≠ 0 e dividendo per cos2 x, si ottiene
a tg2 x + b tg x + c = 0
che si risolve come una equazione algebrica nell’incognita z = tg x
§ 18 Equazioni trigonometriche di 2° grado in sen x e cos x, con termine noto
diverso da zero
Sono del tipo a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x = d
Esse si riducono alla forma del § precedente moltiplicando il termine noto per
sen2 x + cos2 x = 1 ottenendo così l’equazione
( a – d ) sen2 x + b sen x cos x + ( c – d ) cos2 x = 0
§ 19 Equazioni di 1° grado in sen x e cos x
Sono del tipo
a sen x + b cos x = c
Equazioni di tale tipo si potrebbero risolvere, come detto precedentemente, sostituendo ad
es. a cos x l’espressione √ 1 - sen2 x , ma questo metodo comporta una elevazione al
quadrato per eliminare la radice e si potrebbero in tal modo introdurre delle soluzioni
estranee che non soddisfano l’equazione data; da cui la necessità di una verifica.
Per evitare tale inconveniente si costruisce un sistema formato dall’equazione data e
Questo sistema si risolve senza ricorrere alla
dall’identità
sen2 x + cos2 x = 1
elevazione al quadrato. ( v § 20 )
19
Perché l’equazione data abbia soluzione occorre però che sia verificata la disuguaglianza
c2 ≤ a 2 + b 2
§ 20 Metodo grafico per la risoluzione di equazioni del tipo di § 17
Le equazioni del tipo di § 16 si possono risolvere graficamente ponendo
cos x = X
sen x = Y
bX + aY -c = 0
Il sistema del § precedente diventa così
X2 + Y2 = 1
La prima equazione rappresenta una retta; la seconda una circonferenza di raggio unitario
Le intersezioni, se esistono, tra i due luoghi geometrici, rappresentati su un piano cartesiano,
sono le soluzioni dell’equazione data.
§ 21 Sistemi di equazioni trigonometriche
§ 21 . 1 Sistemi normali
Sono sistemi in cui almeno una delle equazioni è trigonometrica, comprendente funzioni di
argomento x ed y.
Essi sono risolvibili con le regole dell’algebra (sostituzione, confronto, ecc.) e / o con la
sostituzione di alcune funzioni in modo da ottenere un’unica equazione trigonometrica con
un unico tipo di funzione, avente argomento x o y.
__
3 sen x = √ 3 sen y
Es.
tg x tg y = 1
__
sen y = √ 3 sen x
________
__________
cos y = √ 1 – sen2 y = √ 1 – 3 sen2 x
__
sen x sen y
sen x
√ 3 sen x
= 1
⇒ • = 1
cos x cos y
√ 1 – sen2 x
√ 1 – 3 sen2 x
__
__________________
2
√ 3 sen x = √ 1 – 4 sen2 x + 3 sen4 x
da cui si ricava
sen2 x = ¼
⇒
⇒
sen x = ± ½
⇒
__
sen y = √ 3 ( ± ½ )
x = ± π/6 = π/6 + kπ
y = ± π/3 = π/3 + kπ
§ 21 . 2 Sistemi simmetrici di 2° grado
Sono sistemi in cui una equazione è la somma (s) delle due incognite e l’altra è il
loro prodotto (p)
Le soluzioni sono le radici dell’equazione, nell’incognita ausiliaria z :
z2 – s z + p = 0
20
Sia dato ad es. il sistema
sen2 x + sen2 y = 0,34
sen x sen y = 0,15
Elevando al quadrato la seconda equazione si ottiene
sen2 x + sen2 y = 0,34
sen2 x
•
sen2 y = 0,0225
Si ha così un sistema in cui le incognite sono
con u e v il sistema diventa
sen2 x e sen2 y . Indicandole rispettivamente
u + v = 0,34
u v = 0,0225
Quindi
2
z – 0,34 z + 0,0225 = 0
Che ha come soluzioni
Si ha pertanto
u = 0,09
sen2 x = 0,09
sen2 y = 0,25
⇒
⇒
e
v = 0,25
sen x = ± 0,3
sen y = ± 0,5
21
⇒
⇒
x = 17,4576° + k 180°
y = 30° + k 180°
DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
Osservazione importante
Definiti gli estremi tra cui è compreso l'angolo α, ( che è l’incognita della disequazione
trigonometrica da risolvere), occorre determinare gli archi della circonferenza trigonometrica
delimitati da tali estremi, tenendo presente che tali archi devono essere presi in senso orario,
partendo dall’angolo 0 (= 2 kπ ), oppure da quello più prossimo allo 0
§ 22
Metodo analitico/grafico
Alcuni esempi
Es. 1
Risolvere la disequazione:
2 sen2 α + 5 cos α > 4
(1)
Essendo sen2 α = 1 – cos2 α la (1) diventa
2 cos2 α - 5 cos α + 2 < 0
che è una disequazione di 2° grado in cos α avente come soluzione algebrica
½ < cos α < 2
(2)
Ma essendo cos α al massimo uguale a 1 la (2) si deve scrivere
½ < cos α ≤ 1
½
da cui
0 + 2kπ ≤ α < π / 3 + 2kπ
5 π / 3 < α ≤ 2π +2kπ
o
π/3 +2kπ
(prima l’arco rosso poi l’arco blu, secondo quanto
detto nella Osservazione)
0
5π/3+2kπ
Es.2 Risolvere la disequazione
2 sen2 (α/2) < 1 – sen α
(3)
Per le (25) la (3) diventa
1 - cos α < 1 – sen α
e. elevando al quadrato,
-√2/2
√2/2
π/4
3π/4
cioè
sen α < cos α
0
1 – cos2 α < cos2 α
5π/4
22
7π/4
2 cos2 α > 1
cioè
⇒
cos2 α > 1/2
L’ultima disequazione ha le soluzioni
_
_
cos α < -√2 /2
v
cos α > √2 /2
3 π/4 + 2kπ < α < 5 π/4 + 2kπ
v
Es. 3
da cui
v
0 + 2kπ < α < π/4 + 2kπ
e
7 π/4 < α < 2 π + 2kπ
Risolvere la disequazione:
_
_
_
2
2
(4 - √6) sen α - √6 cos α + 2 √3 sen α > 2 √2 sen α
Si trasforma il cos in sen, si riducono i termini simili e si ottiene
4 sen2 α + 2(√3 - √2)sen α - √6 ≥ 0
Le soluzioni della disequazione di 2° grado in sen α
sono
3 π/4 + 2kπ
π/4 + 2kπ
4 π/3 + 2kπ
5 π/3 + 2kπ
Y = √2/2
sen α < - √3/2
v
sen α > √2/2
Si ha perciò
π/4 + 2kπ < α < 3 π/4 + 2kπ
§ 23
o
Y = - √3/2
4 π/3 + 2kπ < α < 5 π/2 + 2kπ
Metodo grafico
E’ adatto per disequazioni trigonometriche di 1° grado contenenti sen α e cos α.
Effettuando la sostituzione
cos α = X
e sen α = Y ed uguagliando a zero la
disequazione data, essa si trasforma nell’equazione di una retta.
Si traccia la circonferenza X2 + Y2 = 1 e la retta di cui sopra e si determinano i due punti di
intersezione; quindi si trovano gli angoli corrispondenti a tali punti.
Non è necessario fare calcoli, eccetto quelli per determinare gli angoli che delimitano, sulla
circonferenza, gli archi cui corrispondono i valori degli angoli stessi che soddisfano la
disequazione
Considerando il segno di cos α, cioè di X, per la scelta degli archi suddetti occorre tenere
presente quanto segue
Se X e la disequazione sono entrambi > 0 o entrambi < 0, gli archi che soddisfano
la disequazione sono quelli situati a destra della retta in X e Y
Se invece X e la disequazione sono l’uno > 0 e l’altro < 0, si devono prendere come
soluzione gli archi posti a sinistra della retta in X e Y
Gli archi vanno sempre presi in senso orario partendo (non è tassativo ma opportuno)
dall’angolo 0 + 2kπ, se questo angolo fa’ parte di uno degli archi da prendere, oppure
dall’angolo più prossimo allo 0 (ovviamente in senso orario)
23
Alcuni esempi chiariranno quanto detto sopra
Es. 1 Risolvere la seguente disequazione
_
3 sen α - √3 cos α ≤ 0
Procedendo come detto precedentemente si ha
X2 + Y2 = 1
_
3 Y - √3 X ≤ 0
da cui la retta
nella quale
1
B
(circonferenza)
π/6+2kπ
O
_
A
0
√3/2
_
3 Y - √3 X = 0
√3
7 /6+2k
per X = 0 è Y = 0
_
per X = √3 è Y = 1
Per determinare l’angolo α formato dalla retta con l’asse x, basta considerare il triangolo
___
OAB dove il cos α = OA / OB
Poiché AB = 1 e OA = √3, per il teorema di Pitagora è OB = √1+3 = 2 da cui risulta cos
α = √3/2, cui corrisponde α = π/6
Essendo uguali i segni della X e della disequazione, si prendono gli archi a destra della retta.
La soluzione della disequazione data è pertanto la seguente
0 + 2kπ ≤ α ≤ π/6 + 2kπ
Es. 2
v
7 π/6 + 2kπ ≤ α ≤ 2π + 2kπ
Risolvere la seguente disequazione
_
sen α + √3 cos α - 1 < 0
π/2+2kπ
Procedendo come nell’Es. 1 si può scrivere
_
Y + √3 X – 1 < 0
_
O
_
√3/2
0+2kπ
X2 + Y2 = 1
-α
_
11π/6+2kπ
La retta è quindi √3 X + Y – 1 = 0
Essa si può tracciare osservando che
per X = 0 è Y = 1 e per X = 3 è Y = -2
-1
Facendo sul triangolo OAB considerazioni analoghe
a quelle dell’Es. 1 si trova che cos α = - √3/2 e quindi
α = - π/6. In questo caso però la retta individua anche
un altro angolo, diverso da -π/6, che, come si vede nella figura, è π/2
Essendo i segni di X e della disequazione, discordi, si
prende l’arco, compreso tra i due angoli trovati, posto a sinistra della retta.
La soluzione della disequazione data è quindi la seguente
π/2+2kπ < α < 11π/6 + 2kπ
24
√3
A
B
-1
-2
Es. 3
Risolvere la seguente disequazione
_
sen α + cos α > √3/2
_
Y + X > √3/2
X2 + Y2 = 1
L’equazione della retta è quindi
_
X + Y – √3/2 > 0
5 π/12+2kπ
Si traccia la retta osservando che
per X = √3/2 è Y = 0 e
π/12+2kπ
per Y = √3/2 è X = 0
Tale retta interseca la circonferenza in due punti
le cui coordinate si ricavano risolvendo il sistema
Si trova che cos α = (√6 ± √2) /4
I due valori del coseno corrispondono ai due angoli
π/12 e 5 π/12
Essendo i segni di X e della disequazione, uguali, si prende l’arco a destra della retta
La soluzione della disequazione è quindi
π/12 + 2kπ < α < 5 π/12 + 2kπ
25
INDICE
FUNZIONI GONIOMETRICHE
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
Pag 2
1
2
3
4
5
6
7
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
8,14
Premessa
2
Angoli
2
Funzioni trigonometriche
3
Circonferenza goniometrica
3
Funzioni goniometriche inverse
4
Alcuni valori notevoli di seno e coseno
5
Diagrammi delle funzioni trigonometriche
6
Formulario per il triangolo rettangolo
6
Valori delle funzioni trigonometriche di archi speciali
6
Formule goniometriche espresse mediante una funzione nota
7
7
“
“
di angoli maggiori dell’angolo giro (α > 2π)
“
“
“ due angolI complementari (α e π/2 -α)
7
“
“
“ “
“ supplementari (α e π - α)
7
“
“
“ “
“ che differiscono dell’angolo retto (α e π/2 + α)
7
“
“
“ “
“
“
“
di un angolo piatto (α e π + α)
7
8
“
“
“ “
“ opposti (α e -α)
“
per l’addizione degli angoli (α + β)
8
8
“
“ la sottrazione degli angoli (α - β)
“
“ “ duplicazione degli angoli (2α)
8
“
“ “ bisezione degli angoli (α/2)
9
“
“ esprimere seno e coseno di un angolo α mediante la tg (α/2)
9
“
dette di prostaferesi, per la trasformazione della somma di funzioni goniometriche in
prodotti
9
§ 8.15
“
di Werner
10
TRIGONOMETRIA PIANA
Pag 11
§ 9
Premessa
§ 10
Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo
§ 11
Risoluzione di triangoli rettangoli
§ 12
Relazione tra gli elementi di un triangolo qualsiasi
§ 12.1 Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo
§ 12.2 Teorema dei seni
§ 12.3
“
di Nepero
§ 12.4
“
delle proiezioni
§ 12.5
“
di Carnot
§ 12.6 Formule di Briggs
§ 12.7 Seno dell’angolo di un triangolo in funzione dei tre lati
§ 12.8 Area di un triangolo e di un parallelogramma, dati due lati e l’angolo compreso
§ 12.9 Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo di cui sono noti i lati
§ 12.10 Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo di cui sono noti i lati
§ 12.11 Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo di cui sono i lati
§ 13 Risoluzione di un triangolo qualunque
§ 14 Altezze, bisettrici e mediane di un triangolo, in funzione dei lati
APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA
§ 15
11
11
11
12
12
12
12
12
13
13
13
13
14
14
14
15
15
Pag 17
Calcolo di distanze ed altezze
17
EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
Pag 19
§ 16 Premessa
§ 21 Sistemi di equazioni trigonometriche
19
20
DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
Pag 22
26
