Esercizi su Analisi Complessa

Esercizi e complementi per il corso di
Metodi Matematici per la Fisica
Rodolfo Figari e Raffaele Carlone
23 aprile 2013
2
Capitolo 1
Funzioni di variabile complessa
1.1
Numeri complessi
Esercizio (1).
Semplificare le seguenti espressioni:
? ?
(a) p5`iq`ip3´iq; (b) pi` 2qp 2´iq;
(c)
1
5 ´ 2i
; (d)
.
1`i
p5 ` 2iqp1 ` 2iq
Esercizio (2).
Calcolare il modulo dei numeri complessi:
?
1
1
1 ´ 2i
; (c)
.
(a) p1 ` iq; (b) pi ` 2q
; (d)
p1 ´ iq
1 ` 2i
1`i
Esercizio (3).
Rappresentare in forma esponenziale e trigonometrica i seguenti numeri
complessi
1
1
a) p1 ` iq,
b) i 4 ,
c)
,
d) p1 ´ 2iqp1 ` iq
1`i
Esercizio (4). Calcolare le potenze z 2 , z 6 dei seguenti numeri complessi:
2
1`i
a) ?
´ i,
b)
`1
1´i
3´i
3
4
CAPITOLO 1. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA
Esercizio (5). Calcolare le radici dei seguenti numeri complessi e
rappresentarle nel piano complesso
ˆ
˙1{4
? 1{2
1
a) p1´i 2q ,
b) p1`iq1{3 ,
c)
,
d) pp1 ´ 2iqp1 ` iqq1{5
1`i
Esercizio (6). Risolvere le seguenti equazioni e rappresentare le soluzioni
nel piano complesso
d) z 6 ´ i z 4 ` z 2 ´ i
a) z 2 ` 3 i z ` 4,
b) z 4 ` i z 2 ,
c) z z ´ z ´ 41i ,
Esercizio (7). Se z1 “ 2 ` 4 ı e z2 “ ´3 ` 8 ı trovare, nella forma z “ x ` ı y:
z1
(a) z “ z1 ` z2 ; (b) z “ z1 z2 ; (c) z “ .
z2
Esercizio (8). Se z “ 2 ´ 3 ı trovare
1
z
Esercizio (8). Valutare le potenze di ı:
(a) ı8 ; (b) ı11 ; (c) ı42 ; (d) ı106 .
?
?
1
(e) i5 ; (f ) pi ` 2q2 ; (g) 7 ; (h) p2 i ` 5q2 ;
i
Esercizio (10). Scrivere i seguenti numeri complessi nella forma z “ x ` ı y:
(a) 2ı3 ´ 3ı2 ` 5ı; (b) ı11 ; (c) ı42 ; (d) ı106 .
1.1. NUMERI COMPLESSI
5
Esercizio (11). Verificare le seguenti uguaglianze e disuguaglianze
i) Re z “
z`z
,
2
Im z “
z´z
2ı
ii) pz1 ` z2 q “ z1 ` z2
iii) z1 z2 “ z1 z2
iv) ´|z| ď Re z ď |z|,
´|z| ď Im z ď |z|
v) |z1 `z2 |2 “ |z1 |2 `|z2 |2 `2 Repz1 z 2 q ď |z1 |2 `|z2 |2 `2|z1 ||z2 | “ p|z1 |`|z2 |q2
vi) |z1 ` z2 | ě ||z1 | ´ |z2 ||
Esercizio (12). Scrivere il numero complesso nella forma z “ x ` ıy:
(a) 2ı3 ´ 3ı2 ` 5ı
(b) 3ı5 ´ ı4 ` 7ı3 ´ 10ı2 ´ 9
(c) ıp5 ` 7ıq
(d)
5 2 20
` ´
ı
ı
ı
(e) p3 ` 6ıq ` p4 ´ ıqp3 ` 5ıq `
1
2´ı
Esercizio (13). Sia z “ x ` ıy. Esprimere le seguenti quantità in termini di
x ed y:
1
(a) Re ; (b) Re z 2 ; (c) Impz 2 ` z 2 q; (d) Repı zq.
z
6
CAPITOLO 1. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA
Esercizio (14). Verificare che le seguenti equazioni siano soddisfatte dalle
soluzioni indicate:
?
?
2
2
2
(a) z ` ı “ 0, z1 “ ´
`
ı (indicare l’altra soluzione)
2
2
(b) z 4 “ ´4,
z1 “ 1 ` ı,
z2 “ ´1 ` ı (trovare le altre soluzioni)
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
´1
ˇ se
Esercizio (15). Trovare un limite superiore per: f pzq “ ˇˇ 4
z ´ 5z ` 1 ˇ
|z| “ 2
?
Esercizio (16). Esprimere il numero complesso z “ ´ 3 ´ ı in forma polare
?
Esercizio (17). Calcolare z 3 per z “ ´ 3 ´ ı in forma polare
Esercizio (18). Utilizzando la formula di de Moivre trovare l’espressione di
cos p3 θq e di sin p3 θq in funzione di cos θ e di sin θ
Esercizio (19). Trovare le radici cubiche di z “ ı
Esercizio (20). Rappresentare nel piano complesso i seguenti aperti:
(a) Im z ă 0; (b) ´1 ă Re z ă 1; (c) |z| ą 1; (d) 1 ă |z| ă 2; (e) 0 ď
π
arg z ď .
6
1.1. NUMERI COMPLESSI
7
Esercizio (21). Verificare le seguenti affermazioni (giustificandole) e dove
richiesto fornire una soluzione:
(a) Repz1 z2 q “ Rez1 Rez2
(b) |x ` ıy| ď |x| ` |y|
(c) se z “ ´z allora z è immaginario puro
(d) se |z ´ 2| ă 2, allora | arg z| ă
π
2
(e) Im eıθ “ sin θ
4ı
allora |z| “ ...
´3 ´ 4ı
?
(g) il vettore z “ p2 ` 2ıqp 3 ` ıq si trova nel ... quadrante
(f ) se z “
Esercizio (22). Si studino le curve z “ zptq indicate in cui a, b ą 0:
(a) z “ ea`ı b t con b “ 2π n, n P Z e t P r0, 1s
(b) z “ p1 ` ı tq´1 con t P r0, 1s
1
(c) z “ aeı t 2π ` e´ı t 2π con t P r0, 1s
a
8
CAPITOLO 1. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA
1.2
Funzioni di variabile complessa
Esercizio (1). Verificare se e dove le funzioni indicare sono analitiche
utilizzando le condizioni di Cauchy-Riemann:
(a) f pzq “
piz ` zq
z3 ` i z3
` 3 |z|
4 |z|
4
(b) f pzq “
p1 ` ıqImz 2
se z ‰ 0 ed f p0q “ 0
|z|2
(c) f pzq=z Rez
Soluzione. Consideriamo la soluzione per la funzione al punto a).
Ricordiamo innanzitutto l’enunciato del teorema:
Teorema. Supponiamo che le condizioni di Cauchy-Riemann valgano in un
intorno U di un punto z0 per una funzione f pzq “ upx, yq ` ivpx, yq, e suppoBu Bu Bv Bv
niamo che le derivate parziali
,
,
,
siano continue in U. Allora
Bx By Bx By
f pzq è analitica nel punto z “ z0 .
Innanzitutto riscriviamo la funzione nella forma
f pzq “
x3 ´ y 3
x3 ` y 3
`
i
“ upx, yq ` i vpx, yq.
x2 ` y 2
x2 ` y 2
Consideriamo la seguente retta y “ c x con c un numero reale. Calcoliamo il
limite della f pzq per z Ñ 0 lungo la direzione y “ cx.
p1 ` iq ´ c3 p1 ´ iq
f pzq ´ f p0q
“
zÑ0
z
p1 ` c2 qp1 ` icq
lim
La funzione non è analitica intorno all’origine poiché la derivata dipende
dalla particolare direzione.
Valutiamo ora la stessa situazione con le condizioni di Cauchy-Riemann.
Nell’origine si ha che
Bu
Bv
Bu
Bv
“
“
“´
“1
Bx
By
By
By
1.2. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA
9
In un intorno dell’origine le condizioni di C.R. si riducono a :
"
" 2
Bx u ´ By v “ 0
x ` 2xy ´ y 2 “ 0
ÝÑ
By u ` Bx v “ 0
x2 ´ 2xy ´ y 2 “ 0
e sono soddisfatte solo per px, yq “ p0, 0q. Vediamo cosa accade, in un
intorno dell’origine alle derivate parziali. Si consideri, derivata parziale della
u:
x4 ` 3x2 y 2 ` 2xy 3
Bx u “
px2 ` y 2 q2
2
3
`2c
si ha che lungo la direzione y “ c x vale Bx u “ 1`3c
e dipendendo dal
p1`c2 q2
particolare valore di c viene a dipendere dalla direzione della semiretta lungo
cui ci muoviamo partendo dall’origine. La derivata esiste nell’origine ma non
è ivi continua.
Esercizio (2). Provare che se f è continua in Ω P C aperto, allora le funzioni
Re f , Im f , |f |, f n con n “ 2, 3, ... sono continue in Ω.
Esercizio (3). Provare che se f e g sono continue in Ω P C aperto, allora le
funzioni f ` g, f g sono continue.
Esercizio (4). Provare che se la funzione f non è costante nel suo dominio
di definizione Ω e assume solo valori reali o solo valori immaginari allora
non è olomorfa.
Esercizio (5). Provare che se la funzione olomorfa f è tale che |f |, o Re f ,
o Im f sono costanti nel dominio di olomorfia allora la funzione f è costante.
10
CAPITOLO 1. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA
Nota. Alcuni autori usano notazioni differenti per la determinazione principale della funzione logaritmo (log) e per la funzione, a molti valori, inversa
della funzione ez (Log). Le due definizioni sono le seguenti
•
log z ” log |z| ` i arg z
0 ă arg z ă 2π
definita nel piano complesso privato dell’asse reale positivo.
•
Log z ” log z ` 2kπi
per k P Z intero positivo, negativo o nullo.
Ogni valore di k definisce una diversa determinazione del logaritmo nel piano complesso privato dell’asse reale positivo. Le determinazione prinicipale
è spesso definita nel piano complesso privato dell’asse reale negativo
log z ” log |z| ` i arg z
´ π ă arg z ă π
e potrebbe alternativamente essere definita nel piano complesso privato di
qualunque semiretta che congiunga l’origine con il punto all’infinito.
Esercizio (6). Date le due definizioni calcolare
• logp1 ` iq
• logp´1 ` iq
• log rp1 ` iqp´1 ` iqs
Verificare in quale senso va inteso che
Logpz wq “ Log z ` Log w
controllare che, in tale senso,
Logp´zq ` Logp´zq “ Log z ` Log z
ma
2Logp´zq ‰ 2Log z
1.3. CALCOLO DI INTEGRALI E DI SOMME DI SERIE
1.3
11
Calcolo di integrali e di somme di serie
Esercizio (1).
Calcolare il seguente integrale reale utilizzando il teorema dei residui
ż8
cospπxq
dx
2
2
0 px ` 1q
(1.1)
Soluzione. Innanzitutto si osservi che la funzione integranda è una funzione
pari per cui
ż8
ż
żR
cospπxq
cospπxq
1 8 cospπxq
1
dx “
dx “ lim
dx
2
2
2
2
2
2
RÑ8
2 ´8 px ` 1q
2
0 px ` 1q
´R px ` 1q
Consideriamo la funzione
f pzq “
eiπ z
pz 2 ` 1q2
ed il cammino di integrazione CR del tipo in figura
Utilizzando il teorema dei residui si ha che
„ż R

ż
ÿ
eiπ x
eiπ z
lim
dx
`
dz
“
2π
i
Respf pzq, zk q
2
2
2
2
RÑ8
´R px ` 1q
CR pz ` 1q
k
Nel membro di destra si devono naturalmente considerare solo i poli della
funzione f pzq contenuti nel semipiano superiore. Utilizzando il lemma di
Jordan, è evidente che il secondo integrale nel membro di sinistra dà contributo nullo nel limite R Ñ 8 e quindi il calcolo dell’integrale si riduce
a
˜
¸
ż8
ÿ
cospπxq
dx “ Re 2π i Respf pzq, zk q
2
2
0 px ` 1q
k
12
CAPITOLO 1. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA
L’unico polo della funzione f pzq nel semipiano superiore è un polo doppio in
z “ i.
Calcoliamo
d eiπz
π i eiπz pz ` iq ´ 2eiπz
´π π ` 1
“
lim
“
e
zÑi dz pz ` iq2
zÑi
pz ` iq3
4i
Respf pzq, iq “ lim
Il risultato dell’integrale è quindi
ż8
cospπxq
π
dx “ pπ ` 1qe´π
2
2
4
0 px ` 1q
Con questo tipo
possono calcolare gli integraş8di procedimento şsi
8
li della forma ´8 f pxq cospαxqdx, ´8 f pxq sinpαxqdx con una scelta
opportuna del cammino di integrazione, operata in modo tale da
sfruttare il lemma di Jordan.
Esercizio (2).
Calcolare il seguente integrale reale utilizzando il metodo dei residui
ż8
1
?
dx
xpx ` 1q
0
Soluzione. Dall’analisi della funzione integranda si ha che essa ha un comportamento del tipo x´1{2 in un intorno dell’origine e va come x´3{2 all’infinito.
Questo garantisce la convergenza dell’integrale.
Per il calcolo estendiamo la funzione integranda al piano complesso
1
f pzq “ ?
zpz ` 1q
Per rendere monodroma la funzione radice “tagliamo” l’asse reale in modo
che non si possa ruotare attorno all’origine. L’asse reale positivo risulterà
sdoppiato in un semiasse superiore corrispondente a θ “ 0 ed uno inferiore
θ “ 2π.
Consideriamo il seguente cammino di integrazione:
1.3. CALCOLO DI INTEGRALI E DI SOMME DI SERIE
13
cammino
La funzione integranda all’interno del cammino di integrazione considerato è
analitica sia all’interno che sul cammino di integrazione, eccetto che per un
polo semplice nel punto z “ ´1 “ eπ i .
Si avrà che:
ż
ż
ż
ż
¿
ÿ
1
?
“ 2πı Respf pzq, zk q “
`
`
`
dz “
zpz ` 1q
AB
Cr
ED
CR
k
(1.2) 1
C
“ 2πıRespf pzq, ´1q
Il cammino è dato dalla somma di quattro contributi che occorrerà valutare.
Il contributo lungo i due segmenti AB ed ED corrisponde al calcolo di due
integrali di variabile reale ma il tratto AB coincide con la parte superiore
del semiasse reale positivo (θ “ 0), mentre il cammino ED corrisponde alla
parte inferiore del semiasse reale positivo θ “ 2π.
Su AB, z “ xei0 , e su ED si ha z “ xep0`2πqi “ xe2π i .
żr
ż
“
ED
R
pxe2πi q´1{2 2πi
e dx “
xe2π i ` 1
żR
r
x´1{2
dx
x`1
e
żR
ż
“
AB
r
x´1{2
dx
x`1
I contributi dei due integrali su Cr e su CR sono facilmente valutabili facendo
riferimento ai lemmi del cerchio grande e del cerchio piccolo. Poiché infatti si
ha che lim z f pzq “ lim z f pzq “ 0 i due contributi risultano entrambi nulli.
zÑ0
zÑ8
14
CAPITOLO 1. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA
Riassumendo, nel limite r Ñ 0 e R Ñ 8 la (1.2) si riduce a
ż8
2
0
1
?
dx “ 2πıRespf pzq, ´1q “ 2π
xpx ` 1q
Esercizio (3).
Calcolare,
ˆ dei residui
˙ i seguenti integrali:
ż `8 con il metodo
cos αx
π ´α?2{2
(a)
dx, ? e
x4 ` 1
2
´8
ż8
´
¯
2
π
sin x
dx,
(b)
2
x
2
0
Esercizio (4).
Calcolare il seguente integrale reale utilizzando il teorema dei residui:
ż8
ln x
dx
I“
2
2
0 x `a
con a parametro reale.
1
è una funzione pari (f p´xq “
x 2 ` a2
f pxq). La funzione logaritmo sappiamo essere una funzione polidroma. Per
questo motivo consideriamo il taglio r0, 8q del piano complesso (come in
figura) per poter considerare l’estensione della funzione integranda all’intero
piano complesso:
1
gpzq “ ln z 2
z ` a2
1
con arg x P r0, 2πs in modo che gpxq “ ln x 2
.
x ` a2
Consideriamo quindi il prolungamento al semipiano complesso Imz ą 0 ed il
seguente cammino di integrazione1 :
Soluzione. Nella funzione integranda
1.3. CALCOLO DI INTEGRALI E DI SOMME DI SERIE
¿
ż
gpzq “
ż
gpzqdz`
I
γ
15
Γ “ I Y II Y γpεq Y γpRq
ż
ż
ÿ
Resz“zk rgpzqs
gpzqdz` gpzqdz`
gpzqdz “ 2πı
γpRq
II
con Imzk ą 0
γpεq
k
żR
ż
ln x
dx
2
2
I
ε x `a
ż
ż ´ε
żR
ln |x| ` ı π
ln x ` ı π
gpzqdz “
dx “
dx
2
2
x 2 ` a2
II
´R x ` a
ε
Per quanto riguarda l’integrale sul cerchio
diˇ raggio R osserviamo che cerˇ
ˇ 1 ˇ
ˇ ď 1 ed in tale insieme la
tamente esiste un R0 : |z| ą R0 Ñ ˇˇ 2
2
z `a ˇ
|z|2
1
funzione z2 `a2 è limitata.
Quindi
ˇż
ˇ ż
ż
ż
ˇ
ˇ
1 π
ˇ
ˇ
gpzqdz ď ˇ
gpzqdz ˇ ď
|gpzq||dz| ď 2
| ln R ` eı θ |R dθ
R
γpRq
γpRq
γpRq
0
ln R
2ı
“
π`
R
R
gpzqdz “
1
in questo caso non vi è alcun problema di polidromia poichè per il cammino scelto
l’argomento di z non supera 2π
16
CAPITOLO 1. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA
Quindi per R Ñ 8 il contributo dell’integrale sul cerchio di raggio R è
nullo. In modo del tutto analogo, osservando che la funzione integranda non
presenta singolarità nell’origine è semplice (ed analogo) dimostrare che anche
l’integrale sul cerchio di raggio ε ha contributo nullo per ε Ñ 0.
Quindi nel limite R Ñ 8 e ε Ñ 0 si ha che
ż8
0
ln x
iπ
dx “ πı Resz“ıa rgpzqs ´
2
2
x `a
2
ż8
0
x2
1
` a2
L’ultimo integrale del membro di destra può essere calcolato con i residui.
ż8
0
x2
1
π
“
2
`a
2 |a|
Esercizio (5).
Sommare la seguente serie
ÿ 1
ppkq
k
dove ppkq è un polinomio tale che sia :
• a coefficienti reali
• di grado N ě 2
• con gli zeri non coincidenti con numeri interi sull’asse reale.
Dimostrazione. Si consideri la funzione di variabile complessa:
f pzq “
π cotpπ zq
ppzq
dove ppzq è l’estensione al piano complesso della funzione ppkq e consideriamo
l’integrale della funzione f pzq lungo il cammino indicato in figura:
1.3. CALCOLO DI INTEGRALI E DI SOMME DI SERIE
17
somma
Gli spigoli del quadrato sono scelti in modo tale che i lati del quadrato non
intersechino l’asse reale in alcun valore intero ed n è sufficientemente grande
da includere nel quadrato tutti gli zeri al finito della funzione ppzq.
Le singolarità della funzione f pzq all’interno del cammino saranno dovute
agli zeri della funzione sinpπzq coincidenti con k “ 0, ˘1, ˘2, .... e agli zeri
della funzione ppzq.
¿
C
π cotpπzq
dz “ 2π i
ppzq
«
n
ÿ
k“´n
ˆ
Res
˙ff
˙ ÿ
ˆ
r
π cotpπzq
π cotpπzq
,k `
Res
, zpj
ppzq
ppzq
j“1
(1.3)
La funzione f pzq è stata scelta in modo tale da restituire
˙
ˆ
n
n
ÿ
ÿ
1
π cotpπzq
,k “
Res
ppzq
ppkq
k“´n
k“´n
Per quanto concerne l’integrale sul bordo abbiamo che
ˇ
ˇ
ˇ¿
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ π cotpπzq ˇ
ˇ 1 ˇ
ˇ
ˇC
dz ˇˇ ď K sup ˇˇ
ˇ
ˇ
ppzq
zPC ppzq
ˇ
ˇ
C
ove K è il perimetro del rettangolo e C è una costante tale che | cotpπzq| ă C
su ogni rettangolo ed è indipendente dalle dimensioni del rettangolo stesso.
Per n Ñ 8 si ha che il contributo lungo il bordo è nullo.
18
CAPITOLO 1. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA
Per completare la dimostrazione occorre far vedere che | cotpπzq| è limitato
su ogni rettangolo da una costante indipendente dallo spigolo L del quadrato
Per calcolare la somma della serie
8
ÿ
p´1qk
ppkq
k“´8
si considera un procedimento del tutto analogo ma considerando una funzione
π cscpπzq
f pzq “
.
ppzq
Nota (Criteri di sommabilità). Analizziamo condizioni sufficienti affinché
una funzione generalmente continua in un intervallo, con un numero finito
di discontinuità, sia integrabile.
Vale il ben noto criterio del confronto: siano f e g funzioni non negative
continue nell’intervallo ra, br, e si abbia che f pxq ď gpxq, @x P ra, br allora
se la funzione g è sommarie in tale intervallo anche f sarà sommabile; se f
non è sommabile tale sarà anche la g.
Analizziamo quindi il caso di una funzione maggiorante notevole.
Consideriamo il caso di in un intervallo ra, br.
1
è sommabile se
Si verifica che, per qualunque α ą 0 la funzione
pb ´ xqα
α ă 1, non è sommabile se α ě 1
Consideriamo il caso di in un intervallo ra, 8r.
1
Si verifica che, per qualunque α ą 0 la funzione α è sommabile se α ą 1,
x
non è sommabile se α ě 1 .