INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
In alcuni casi è utile introdurre sotto il segno di integrale una variabile ausiliaria al fine di ottenere
un integrale più semplice da calcolare. Supponiamo di dover calcolare
 f ( x)dx
,
scelta allora una qualsiasi funzione derivabile con derivata continua x = g(t), con il
vincolo di conoscerne anche l’inversa t = g-1(x), si considera il nuovo problema del calcolo
dell’integrale
 { f [ g (t )]g '(t )}dt
diverso dal precedente e possibilmente più semplice. Se G(t) è una primitiva per quest’ultimo
integrale, cioè qualunque sia t risulta: G’(t) = {f[g(t)]g’(t)}, allora la funzione composta G[g-1(x)] è
una primitiva di f(x).
ESEMPI
1) Calcolare

2 x  4dx
Poniamo 2x - 4 = t da cui x = t + 4
2

1
1
t dt  
2
2
2 x  4dx  

1) Calcolare
tg
1
1
1 3
1
t dt   t 2 dt 
t C 
(2 x  4) 3  C
2
3
3
dx
3senx  4 cos x
Operando la sostituzione:
e posto
dx= 1 dt
2
x
2 ,
senx 
x
1  tg 2
2
2tg
x
t
2
dx 
ha: x  arctgt , da cui x=2arctgt e
2
si
x
2
cos x 
x
1  tg 2
2
1  tg 2
2
dt
1 t2
Pertanto si ottiene:

1
2
1
1
dt  
dt    2
dt.
2
2
2t
1 t 1 t
3t  2  2t
2t  3t  2
3
4
1 t2
1 t2
2
Poiché le radici dell’equazione 2t2 – 3t – 2=0 sono 2 e –1/2, in base al procedimento già esposto per
le funzioni razionali fratte, si ha:


1
1 A
B 
 

,
2t 2  3t  2 2  t  2 t  1  da cui

2
1  ( A  B)t 
A
 2B
2
e quindi:

2

A  B  0 A 


5
A

 2  2 B  1  B   2
5




1
1 2
1
2
1
1
1
1
dt


dt

dt
   ln t  2  ln t    C


2


2t  3t  2
2 5 t  2
5 t1 
5
2
5

2 
1
5
  ln
t 2
2t  1
 C  ln 5
C
1
2
t

4
t
2
Quindi:

x
2tg  1
dx
2
 ln 5
 C.
x
3senx  4 cos x
2tg  4
2