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Riassunto della seconda lezione
• Grandezze derivate
• Definizione ed uso di alcune grandezze derivate: velocità accelerazione,
densità, frequenza.
• Angolo piano ed angolo solido
• Definizione ed uso dell’analisi dimensionale
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Data una colonna di liquido di densità r ed altezza h. La quantità
rgh
con g l’accelerazione di gravità,
può essere una forza?
Applicazione
La forza (F=ma) ha le dimensioni [F]=[M][LT-2]
Quali sono le dimensioni di
rgh?
r è una densità [r]=[ML-3]
g è un’accelerazione [g]=[LT-2]
h è un’altezza
[h]=[L]
Pertanto
[rgh ]= [ML-3] [LT-2] [L]=[ML-1T-2]
rgh non è una forza!!
Confrontando le dimensioni di rgh con quelle della forza, si vede che rgh
ha le dimensioni di una forza per una lunghezza alla meno 2 [F][L-2]
Ma anche la pressione ha le stesse dimensioni!
rgh potrebbe essere una pressione.
rgh rappresenta l’aumento di pressione in un liquido con la profondità.
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Il campione del kilogrammo ha la forma di un cilindro di altezza pari al
diametro. Si dimostri che a parità di volume e di forma, queste
dimensioni forniscono la minima area; ciò consente di minimizzare gli
effetti della contaminazione superficiale.
Applicazione
2
Vcilindro  Abaseh  r h
h
r
Scilindro  2Abase  Slaterale  2r  2rh  2r
 2r h
h
r

2
2
2V 2V
1  r
1
1 1 

Scilin dro 

 2V   2V
 1  2V   1



h
r
h r
r h 
r
3
r
r
V
2
2
3
Vcilindro  r h  r    r 





  1


3
3
Scilin dro  2V
  1  2V



1


 V 3 
V
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Applicazione
Scilindro  2V3
f   
  1



1



V 3 
 1




1

3 

valore di  al minimo
 0.5
r
 0.5  h  2r  d
h
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Richiami di trigonometria
q
r
y
senq 
r
x
cos q 
r
y senq
tan q  
x cos q
y
r
q
x
Gli argomenti delle funzioni seno, coseno e tangente sono
numeri senza dimensioni. Anche il valore della funzione è
un numero adimensionale.
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Relazioni trigonometriche
• Una delle più importanti è:
2
2
sen q  cos q  1
• Che può essere dimostrata applicando il
teorema di Pitagora al triangolo rettangolo
2
OAB:
 2  r2
OA
ma
OA
 r cos q e
2
2
AB
2
AB
 rsen q
2
r cos q  r sen q  r
• Per ricordare le
relazioni o
similari
sen
2
B
y
O
r
q
x A

 q  cos q
2


cos   q
 senq

2
utilizzare il cerchio trigonometrico.
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Relazioni trigonometriche 2
/2q
cos/2q
/2q
sen/2q
senq
q
q
cosq

sen
 q  cos q
2

cos

 q  senq
2

senq
q
cosq
cos  q   cos q
q
cosq
senq
q
q
sen  q  senq
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Somma di angoli
• Relazioni più difficili
da ricordare
sen     sen cos  cos  sen
cos     cos  cos  sen sen
• Si può far riferimento alla seguente identità
i
e  cos   i sen dove i = -1
e
i   
 e e  cos   isen  cos   isen  
i i
cos  cos   i sen cos   i cos  sen  i 2 sen sen
e
i   
 cos     isen    
cos  cos   sen sen  isen cos   cos  sen
cos    cos  cos   sen sen
cos2  cos2   sen 2 
sen    sen cos  cos  sen
sen2  2sen cos 
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Formule di bisezione
• Partendo dalle formule di duplicazione:

2 
 sen
cos2  cos   sen 
2
2



sen2  2sen cos 
sen  2sen cos
2
2
2
cos   cos2
cos   cos
2


 sen 2
2
2
cos
 cos   cos2

2


 1 cos2
2
2

1  cos 

2
2
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Formule di prostaferesi
• Ancora più complicate da ricordare
– Non so darvi alcun suggerimento
 

cos
2
2


sen  sen   2sen
cos
2
2
sen  sen   2sen
• Le richiameremo quando ci serviranno.
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Supponiamo che siate distesi su una spiaggia ad osservare il sole che
tramonta su un mare calmo e che facciate partire un cronometro nell’istante
esatto in cui scompare il lembo superiore del sole. Quindi vi alzate in
piedi, portando così gli occhi ad una altezza h=1.70 m, e arrestate il
cronometro quando il lembo superiore del sole scompare nuovamente.
Se il tempo misurato dal cronometro è t=11.1 s qual è il raggio r della terra.
(Funziona meglio se siete all’equatore)
teorema di pitagora
Applicazione
B
d h A
r 2  d 2  (r  h)2  r 2  2rh  h 2
q
2
2
d  2rh  h  2rh
tan q 
d
r
2
2
r
2h
2
tan q
r q r
 d  r tan q
r tan q  2rh
360 : 24h  q :11.1s
q
11.1s 360
 0.4625
86400s
r
2 1.70m
6
 5.22 10 m
2
tan 0.04625
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Di cosa siamo fatti
• Gli oggetti che ci circondano si presentano come se fossero
costituiti da mattoni elementari (atomi o molecole)
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La struttura dell’atomo
• Modello di Thomson: gli atomi sono sfere permeabili
complessivamente neutre, in cui le particelle di carica negativa
(elettroni) erano immerse in una massa gelatinosa di carica positiva
(modello dell’uva passa nel panettone).
• Esperimento di
Rutherford:
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I risultati dell’esperimento di Rutherford
• Conseguenze
dell’esperimento
di Rutherford
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Evoluzione del modello atomico
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Considerazioni sulla struttura atomica
• L’atomo è fatto essenzialmente di vuoto.
– Ci sono 4-5 ordini di grandezza tra le dimensioni dell’atomo (il
raggio del volume occupato dagli elettroni) e le dimensioni del
nucleo atomico.
– L’elettrone è estremamente piccolo (forse elementare)
• La massa dell’atomo è tutta concentrata nel nucleo
– Gli elettroni hanno una massa circa 2000 volte più piccola di
quella dei protoni ( o dei neutroni)
• Il nucleo atomico è costituito da protoni (carichi
positivamente) e da neutroni (particelle neutre).
– In ogni atomo ci sono tanti elettroni quanti protoni in maniera tale
che l’atomo sia complessivamente neutro.
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Alcune definizioni
• 92 diverse specie di atomi (altri sono stati costruiti artificialmente)
• Sostanza elementare è costituita di unità elementari formate solo da atomi
della stessa specie (Fe, H2)
• Composto se le unità elementari sono formate da atomi di due o più specie
diverse (H2O)
• Cosa distingue i vari atomi?
• NUMERO ATOMICO Z: il numero di protoni presenti nel nucelo(o di
elettroni presenti nell’atomo neutro)
• NUMERO DI MASSA A: è dato dalla somma del numero di protoni Z e del
numero di neutroni N del nucleo.
• ISOTOPI: atomi chimicamente identici (stesso Z) ma con diverso numero N di
neutroni (A diverso).
• MASSA ATOMICA: è la massa atomica assoluta in unità di massa atomica
u.m.a. (per convenzione, 1 u.m.a.= 1/12 della massa atomica di 12C cioè del
carbonio con A=12).
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Alcune proprietà degli atomi
• Carica dell’elettrone (o del protone):1,6 x 10-19C
(Coulomb). Quantizzata.
• Ione: si possono strappare cariche elettriche negative (elettroni) agli
atomi; ciò comporta una notevole spesa di energia E.
• Energia di prima ionizzazione: l’energia occorrente per
strappare il primo elettrone all’atomo.
• Energia di seconda ionizzazione: l’energia occorrente
per strappare il secondo elettrone all’atomo.
• Affinità elettronica: l’energia rilasciata dall’atomo neutro
quando acquisisce un elettrone in più.
• Elettonegatività: capacità di un atomo in una molecola di attirare
elettroni di un altro atomo, impegnato in un legame comune. Se la
differenza di elettronegatività è molto alta, gli atomi sono praticamente
in forma ionica (NaF).
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La tavola periodica
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Energia di prima ionizzazione
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Periodicità
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I numeri quantici
• Il numero quantico principale n
(enne) riguarda la quantizzazione della energia
n=1,2,…
• Il numero quantico secondario o
azimutale l (elle) è relativo al momento
totale Etot.
angolare (grandezza vettoriale).
l=0,1,2,...,(n-1)
• Il numero quantico magnetico m
(emme) è relativo alla quantizzazione "spaziale"
del momento angolare
m= - l, - l +1, ...-1, 0, 1, ... l -1, l
• Il numero quantico di spin ms.
ms= ± 1/2
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Orbitali tipo s
1s
Più è grande l’energia maggiore è la distanza
dell’elettrone dal nucleo
4s
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Orbitali tipo p e d
2px
3px
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Costruzione della configurazione
elettronica degli atomi.
• il Principio di minima energia: ogni elettrone occupa
l'orbitale disponibile a energia più bassa.
• il Principio di Pauli: in un atomo non possono esistere 2
elettroni con i 4 numeri quantici eguali; perciò, nello stesso
orbitale, possono esserci 2 soli elettroni purché con ms,
momento di spin, diverso;
• Regola di Hund o della massima molteplicità: se due o più
elettroni occupano orbitali degeneri (cioè a eguale energia),
gli elettroni occupano il maggior numero possibile di
questi orbitali, e a spin paralleli .
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• Le proprietà dell’atomo
dipendono dal numero
di elettroni sull’ultima
shell.
• Lo strato più esterno al
massimo può avere 8
elettroni.
• Gas nobili hanno
l’ottetto compelto.
Sono poco reattivi, non
si combinano con altri
atomi.
• Le altre specie tendono,
con i loro legami, a
portarsi, cedendo od
acquisendo o mettendo
in comune, l’ottetto
completo.
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