6. Esercizi proposti

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Esercizi proposti
1.
Usando la formula di Taylor, calcolare il limite per x → 0 delle seguenti funzioni:
3
1 - 3 x 2  log ( 1  2 x 2 ) - sen ( x 2 ) - 1
cos 2 2x - e - 4 x
2
NB: al denominatore c’è una piccola variazione rispetto al testo scritto a lezione.
x ( 1 - x ) - log ( 1  sen x )
1 - sen ( x 2 ) - cos x
2.
Scrivere il polinomio di Taylor di punto iniziale x0 = 0 ed n = 3 per la funzione
1 x .
Valutare l’errore massimo (in modulo) di questa approssimazione nell’intervallo [ 0 , 1 ].
1 - senx
.
cosx
3.
Studiare la funzione f ( x ) =
4.
Provare che l’equazione ex + x = 0 ha un’unica soluzione x = α; dopo aver trovato due interi
consecutivi nel cui intervallo cade α, scrivere la successione delle approssimazioni ottenute con il
metodo delle tangenti di Newton e calcolare la terza iterata (cioè x3).
5.
Risolvere
x2  x  x - 2 .
1a.
2.
 3 x4
 9/8
- 8 x4 / 3
1
1b.
 x2 / 2
 
- x4 / 6
x x 2 x3
15
x4

2
8 16 16 ( 1  c )7 / 2 24
Errore negativo; approssimazione per eccesso
E 
15
 0,039...  0,04
16 . 8
3.
4. Un’unica soluzione   ( - 1 , 0 ) . Nell’intervallo risulta f’ > 0 , f’’ > 0.
x0 = 0 , x n 1 
x1 = - 0,5
exn ( x n - 1 )
exn  1
x2 = - 0,5663…. x3 = - 0,5671….
5. x ≤ -1 oppure x ≥ 1
Con due cifre decimali esatte α = -0,56.
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