Logaritmi (APPUNTI FACILITATI)

Logaritmi (appunti facilitati)
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Logaritmi (APPUNTI FACILITATI)
Definizione
Dati due numeri reali positivi a e b, (con a diverso da 1).
Si chiama logaritmo in base a di b il numero x tale che ax = b.
Il logaritmo in base a di b si denota con il seguente simbolo:
logab
dove a viene chiamato base del logaritmo e b viene chiamato argomento del logaritmo.
In breve:
logab = x significa che ax = b.
Esempi facili di logaritmi:
log39 = 2 perché 32 = 9.
log10100 = 2 perché 102 = 100.
log101000 = 3 perché 103 = 1000.
log216 = 4 perché 24 = 16.
log327 = 3 perché 33 = 27.
log21 = 0 perché 20 = 1.
log101 = 0 perché 100 = 1.
ed in generale:
log10b = 0 perché b0 = 1. Questo vale per ogni b numero reale positivo.
log1010 = 1 perché 101 = 10.
log55 = 1 perché 51 = 5.
ed in generale:
logaa = 1 perché a1 = a. Ciò vale per ogni a numero reale positivo diverso da
1 (ricordiamo infatti che il logaritmo in base 1 non ha senso).
NOTA 1
Il logaritmo in base 1 non ha senso perché, se supponiamo b diverso da 1, il calcolo del logaritmo
log1b
è impossibile.
Ad esempio:
log15 non si può calcolare, perché non esiste nessun numero x tale che 1x = 5.
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NOTA 2
Ricordare che non può esistere il logaritmo di un numero negativo.
Ad esempio:
log5(-9) NON HA SENSO perché non esiste nessun numero x tale che 5xsia uguale ad un numero
negativo.
NOTA 3
Ricordare anche che non può esistere il logaritmo di zero.
Ad esempio:
log5(0) NON HA SENSO perché non esiste nessun numero x tale che 5x sia uguale ad zero.
Altri esempi di logaritmi, ma un po' meno facili:
Per poter comprendere i seguenti esempi è necessario ricordare dagli studi scolastici il significato di potenza con
esponente negativo. Inoltre sarebbe opportuno ripassare il paragrafo sulle potenze ad esponente razionale.
1
= 0.1
10
log100.1 = -1; perché 10-1 =
1
1
log4 2 = ; perché 4 2 =
2
4 =2
1
log10 100 =
log2
1
; perché 100 2 = 100 = 10
2
1
1
1
= -6; perché 2-6 = 6 =
64
64
2
2
4
3
4
log 3   = 2; perché   =
9
9
2
2 
 3
9
log 3   = -2; perché  
4
2
2 
2
=
9
4
NOTA 4
I logaritmi più comunemente usati sono quelli in base 10 e quelli in base e = 2.71728182...
I logaritmi in base e vengono detti anche logaritmi neperiani o ancora logaritmi naturali.
Il numero e si chiama numero di Nepero. Il matematico Napier (1550-1617) fu l'inventore dei logaritmi. Il numero e dà
ai logaritmi particolari proprietà molto comode in analisi matematica.
Nelle macchine calcolatrici scientifiche il logaritmo in base 10 viene denotato dal simbolo "log"
(omettendo il 10), mentre il logaritmo in base e viene denotato con il simbolo "ln"
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In figura: la calcolatrice di Windows
Logaritmo
naturale
Logaritmo
in base 10
ATTENZIONE: differentemente che nelle macchine calcolatrici, in molti linguaggi di
programmazione il simbolo "log" denota i logaritmi naturali, mentre quelli in base 10 non sono
proprio contemplati (questo perché si possono facilmente ricavare dai logaritmi in base e mediante la formula del
cambiamento di base del logaritmo, che vedremo più avanti) .
Noi, quando useremo solo il simbolo "log" (omettendo la base), intenderemo i logaritmi in base 10.
Proprietà dei logaritmi
I logaritmi godono di svariate proprietà, tutte molto utili e molto utilizzate nelle equazioni
esponenziali, ma, per i nostri scopi molto elementari, ne riportiamo solo due:
1) Logaritmo di una potenza:
Quando si fa il logaritmo di una potenza, l'esponente dell'argomento si può portare fuori dal
logaritmo.
loga bc = c loga b
Esempi:
log2 8100 = 100 log2 8 = 100 3 = 300
log10 10055 = 55 log10 100 = 55 2 = 110
2) Il cambiamento di base del logaritmo
Nelle calcolatrici scientifiche è possibile calcolare direttamente solo due tipi di logaritmi: quelli in
base 10 e quelli in base e. Per calcolare tutti gli altri logaritmi abbiamo bisogno della formula del
cambiamento di base del logaritmo.
Supponiamo che noi non sappiamo calcolare i logaritmi in base b, ma sappiamo calcolare i
logaritmi in base a. Se usiamo la seguente formula noi possiamo calcolare i logaritmi in base b
mediante i logaritmi in base a.
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log b N 
log a N
log a b
Esempio
Vogliamo conoscere il valore di log2100.
Ci conviene di passare, mediante la formula, dalla base 2 alla base 10.
log 2 100 
log 10 100
log 10 2
Ora:
log10100 = 2
e contemporaneamente, con una calcolatrice scientifica troviamo che
log10 2 = 0.301...
Quindi
2
log2 100 =
= 6.644
0.301