La probabilità

La probabilità
Concetti di base
Probabilità
Grado di incertezza connesso al
risultato scaturito da una prova
Esempio
Numero che appare sulla faccia superiore
del dado dopo averlo lanciato
Concetti primitivi di probabilità
La prova
La prova è un esperimento
Che ha due o più possibili
risultati
L’evento
Per evento si intende uno
dei possibili risultati della
prova
La probabilità
La probabilità è un numero
compreso tra 0 ed 1 che
misura il grado di incertezza
sul verificarsi di un evento
Prova, evento e probabilità
In una data prova, l’evento E
si verifica con probabilità P(E)
Esempio:
Nel lancio di un dado (ben bilanciato)
La faccia contrassegnata dal numero 5
(E=5) si presenta con probabilità
P(E=5)=1/6
Eventi e Algebra di Eventi
Postulato 1
Gli eventi formano una
algebra di Boole
Dato il postulato 1 sono definite le seguenti
operazioni:
1.
La negazione di un evento A, ossia A
2.
L’intersezione tra due eventi A e B, ossia A  B
3.
L’unione tra due eventi A e B, ossia A  B
6
Eventi
Definizione due eventi rilevanti:
Evento impossibile: è l’evento che non può mai verificarsi e può
essere definito come

Al lancio di un dado esce la faccia 0
Evento certo, ossia l’evento che si verifica sempre in quanto
comprende tutti i possibili risultati dell’esperimento. Può essere
definito
A A  B B  
Al lancio di una moneta esce T o C
Due eventi A e B, si dicono incompatibili (o
mutualmente esclusivi o disgiunti) se
A B  
A A  
A
A
A
B
A B
A
A B
B
A B  
A B
A A  
Proprietà assiomatiche della
probabilità
La probabilità è una funzione di insieme che
associa a ogni evento EiE un numero reale.
La probabilità sarà indicata con P(Ei)
Postulato 2
P(A)0
Postulato 3
P()=1
Postulato 4
[A  B = ø] 
[P(A U B)=P(A)+P(B)]
Esperimento casuale
E’ ogni processo la cui singola esecuzione (prova) dà luogo a un
risultato non prevedibile.
Esempio: Lancio di una moneta 3 volte
S= Spazio campionario=
Evento è un sottinsieme di S
 E1  TTT
 E  TTC
 2
 E3  TCT

 E4  CTT

 E5  TCC
 E6  CTC

 E7  CCT
 E  CCC
 8
Eventi
elementari
Spazio campionario
F
A
E1
E2
E4
E3
E8
E5
E6
E7
L’evento è un sottinsieme delle spazio campionario.
A  almeno 2T  E1 , E2 , E3 , E4 
F  esce T al 1 lancio  E1 , E2 , E3 , E5 
A  almeno 2T  E1 , E2 , E3 , E4 
F  esce T al 1 lancio  E1 , E2 , E3 , E5 
A  F  E1 , E2 , E3 
A  F  E1 , E2 , E3 , E4 , E5 
A F
E1
E3
E2
E4
E8
E5
E6
A F
E7
La probabilità dell’intersezione è
sommata due volte!
DEFINIZIONI DI PROBABILITA’
1. Classica: è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il
numero di casi possibili, supposto che questi siano
equiprobabili (di Laplace)
2. Frequentista: è la frequenza relativa con cui l’evento si
verifica in una lunga serie di prove ripetute sotto
condizioni simili (di Von Mises)
3. Soggettivista: è il grado di fiducia che un individuo
coerente attribuisce, secondo le sue informazioni e
opinioni al verificarsi dell’evento
Probabilità condizionate e
indipendenza
P(AB)=
ossia
n. dei casi favorevoli ad (A  B)
n. dei casi favorevoli a B
P(A  B)
P(AB)=
P(B)
Si definisce probabilità condizionata di A dato B
il rapporto tra la probabilità dell’evento (A  B) e la
probabilità dell’evento B
Probabilità condizionata
Si vuol calcolare la probabilità dell’evento e4 rispetto
allo spazio campionario S’
E è il nuovo spazio campionario S’
e1
e3
e2
e8
e5
e6
e4
e7
PCTT 
Pr obC al I lancio almeno 2T  
PTTC , PTCT , PCTT , PTTT 
16
Principio delle probabilità
composte
Dati 2 eventi A e B tali che P(A)>0 e P(B)>0 :
P (A  B) =P(A) P(B|A)= P(B)P(A|B)
Due eventi si dicono indipendenti se il
verificarsi di B non influenza la probabilità di A e
il verificarsi di A non influenza la probabilità di B
P (A|B) =P(A)
P(B|A) = P(B)
da cui si ricava
PA  B  PA   PB
Teorema di Bayes
Probabilità a posteriori:
P  Ai  B 
P  Ai | B  
,
P B 
Teorema di Bayes
P  Ai | B  
P  Ai   P B | Ai 
P  A1  P B | A1  ...  P  Ak   P B | Ak 
 P  Ai , probabilità a priori.
 P B | Ai  , probabilità condizionate o verosimiglianze
 P Ai | B  , probabilità a posteriori, in quanto si riferiscono
agli eventi Ai , dopo aver osservato l’evento B.
18
Esempio
P(A1) = 0,1
prob. di estrarre un individuo malato
P(A2) = 0,9
prob. di estrarre un individuo sano
P(B1|A2) = 0,2 prob. che il test dia un falso-positivo
P(B2|A1) = 0,1 prob. che il test dia un falso-negativo
Determinare:
P(A1|B1) = probabilità che un individuo positivo al test sia
effettivamente malato
P( A1 | B1 ) 
P( A1 )P( B1 | A1 )
P( A1 )P( B1 | A1 )  P( A2 )P( B1 | A2 )
poichè P(B1|A1) = 1 – P(B2|A1) = 0,9
P ( A1 | B1 ) 
0,1 0,9
 0,33
0,1 0,9  0,9  0,2
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Esempio (continua)
tivo
i
,2
s
=0
po
)
|A 2
2
B
(
P
o
san
)
P(A 2
,9
=0
P A2  B2   0,9  0,2  0,18
P(B
1 |A
2)
neg
ativ
o
=0
,8
P A2  B1   0,9  0,8  0,72
Popolazione
ma
lat
o
P(A
1)
=0
,1
po
o
sitiv
P
,
0,9
=
)
A
(B 2| 1
P A1  B2   0,1 0,9  0,09
P(B
neg
ativ
o
1 |A
1)
=0
,1
P A1  B1   0,1 0,1  0,01
20/100=0.2
Tipo A
60/100=0.6
adulto
Tipo non A
100
40/100=0.4
14/100=0.14
Tipo A
giovane
40/100=0.4
Tipo non A
26/100=0.26
P giovane  tipoA 0.14
PtipoA / giovane 

 0.35
P giovane
0.4
Esercizio Excel
Campioni
E1: sano
E2: malato
Test +
250
120
370
P(Ei)
P(H/Ei) P(Ei)P(H/Ei)
20 0.6757
0.080
0.05
25 0.3243
0.208
0.07
45
0.12
Definiamo H l'evento Test +
P(E1)
P(E2)
P(H)
P(H/E1)
P(H/E2)
P(H)
0.68
0.32
0.12
0.08
0.208333333
=P(E1)*P(H/E1)+P(E2)*P(H/E2)=
P(E1/H)=P(E1)*P(H/E1)/P(H)=
P(E2/H)=P(E2)*P(H/E2)/P(H)=
0.12
0.444444
0.555556
Possiamo affermare che, se la probabilità a priori di essere malato è pari al
32%, dopo che si verifica un test positivo tale probabilità aumenta al 56%
La distribuzione di probabilità
S=
e1  TTT
e  TTC
 2
e3  TCT

e4  CTT

e5  TCC
e6  CTC

e7  CCT
e  CCC
 8
X è la variabile casuale “numero di T in tre
lanci di una moneta”
Valori di x
0
1
2
3
Totale
Probabilità
1/8
3/8
3/8
1/8
1
Variabili casuali discrete: Distribuzioni di
probabilità
Distribuzione di probabilità della v.c. N°
teste in tre lanci di una moneta
0.4
pi
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
Variabili casuali continue: Funzione di densità
Immaginiamo di avere un carattere statistico continuo
e di rappresentarlo tramite istogramma con 8 classi di
ampiezza finita
Variabili casuali continue: Funzione di densità
Man mano che
aumentiamo il numero
delle classi, si riduce
l’ampiezza della classe. Al
limite, l’ampiezza della
classe diviene infinitesima
e il poligono di frequenza
si approssima con una
linea continua. Tale linea
si chiama funzione di
densità di frequenza in
quanto l’ordinata non è
altro che l’altezza dei
rettangoli che compongo
l’istogramma
Alcune distribuzioni
teoriche
La
distribuzione binomiale
(discreta)
La curva di Gauss o Normale
(continua)
Distribuzione binomiale

Esperimento bernulliano: esperimento casuale che ammette due
soli esiti possibili, successo e insuccesso.
Esempio: lancio di una moneta, condizione di malattia
p è la probabilità di successo. q=1-p è la probabilità di insuccesso
Hanno distribuzione binomiale:
 La variabile casuale X definita come “numero di successi su n prove” ha
distribuzione binomiale
 La variabile casuale F definita come “frequenza relativa di successo su n
prove”
Esempio: La probabilità che un paziente guarisca da una
determinata malattia è p=0.60.
Determinare la probabilità che su 5 pazienti ne
guariscano esattamente 3
G=guarito
NG= non guarito
Si tratta di un esperimento bernulliano con p=0.60 e
q=0.40
Considerando gruppi di 5 pazienti, possiamo avere
le seguenti combinazioni
1. (G,G,G,NG,NG)
2. (G,NG,NG,G,G)
3. …
Ogni combinazione è il prodotto di eventi
indipendenti.
In tutto le combinazioni sono:
 n   5
5!
5 * 4 * 3!
     

 10
3!*2
 x   3  3!2!
La prima combinazione ha probabilità:
La seconda combinazione ha probabilità:
0.6 * 0.6 * 0.6 * 0.4 * 0.4
0.6 * 0.4 * 0.4 * 0.6 * 0.6
Tutte e 10 le combinazioni possibili hanno probabilità
 0.63 * 0.4 2  p x * 1  p 
Quindi, la probabilità di x successi su n prove è:
 n x
n x
Px     * p * 1  p 
 x
Tornando all’esempio:
 5
Px  3    * 0.63 * 0.4 2
 3
n x
Statistiche della distribuzione binomiale
E F   p
E  X   np
var  X   np(1  p)
p(1  p)
var F  
n
Simmetria della distribuzione binomiale
0.4
0.4
0.35
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
p<0.50 Asimmetrica a destra o positiva
8
9
1
2
3
4
5
6
7
p>0.50 Asimmetrica a sinistra o negativa
All’aumentare di n e a prescindere da p, la distribuzione binomiale
tende ad essere simmetrica e si può approssimare con la curva
Normale N(np,np(1-p)) per X e N(p, p(1-p)/n) per F
8
9
Esempio: con p=0.15
Prob(almeno 2 successi su 5 prove)= Prob(x≥2)=
P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
Prob(meno di 2 successi su 7 prove)=
Prob(x<2)=P(X=0)+P(X=1)
Prob(fra 3 e 5 successi su 7 prove)=
Prob(3≤x ≤ 5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)