STATISTICA A – K (60 ore) Marco Riani [email protected] http://www.riani.it Esempi • Lancio di una moneta 3 volte • Spazio degli eventi? • Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} • Probabilità degli eventi: – A=“Croce nel primo lancio” – B=“Almeno due volte testa” – C=“Croce nel primo lancio o almeno due volte testa” Probabilità dell’evento A=“Croce nel primo lancio” • Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} • P(A) = 4/8=0,5 Probabilità dell’evento B=“Almeno due volte testa” • Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} • P(B) = 4/8=0,5 Probabilità dell’evento C=“A Croce nel primo lancio o B almeno due volte testa” • Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} • P(C) =P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) • P(A)=0.5 P(B)=0.5 • P(A ∩ B)=1/8 • P(C)=7/8 Esempio • Titolari di patente classificati per sesso e per l’obbligo di portare le lenti Sesso\lenti S N Tot. M 0,2 0,4 0,6 F 0,1 0,3 0,4 Tot 0,3 0,7 1 • Prob. degli eventi • P(M ∩ N)? P(M U N) Esempio • Titolari di patente classificati per sesso e per l’obbligo di portare le lenti Sesso\lenti S N Tot. M 0,2 0,4 0,6 F 0,1 0,3 0,4 Tot 0,3 0,7 1 • P(M ∩ N)=0,4 Esempio • Titolari di patente classificati per sesso e per l’obbligo di portare le lenti Sesso\lenti S N Tot. M 0,2 0,4 0,6 F 0,1 0,3 0,4 Tot 0,3 0,7 1 P(M U N)= P(M)+P(N)-P(M ∩ N)= 0,6+0,7-0,4=0,9 Esempio • Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? • A=“Il primo boero contiene il buono” • B=“Il secondo boero contiene il buono” • P(A ∩ B)=“entrambi i boeri contengono il buono” Esempio • Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? • A=“Il primo boero contiene il buono” • B|A=“Il secondo boero contiene il buono dato che il primo buono è già stato estratto” • P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)= (2/30) (1/29)=0,0023 Esempio totocalcio • Gioco la schedina mettendo a caso i segni 1 X 2 • Qual è la prob. di fare 14? Esempio • Gioco la schedina mettendo a caso i segni (1 X 2). Qual è la prob. di fare 14? • Ei= indovino il segno della partita i=1, 2, …, 14 • P(Ei)= 1/3 • Prob. di fare 14=P(E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ … ∩ E14)= P(E1) ∩ P(E2) ∩ P(E3) ∩ … ∩ P(E14)=(1/3)14= 2,09075E-07 =1/4.782.969 Esempio: superenalotto • Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} • Prob di fare 6? Esempio: superenalotto • Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} • Prob di fare 6? • Ei= indovino il numero i-esimo della combinazione • P(E1)=6/90 P(E2)=5/89 P(E3)=4/88 … • (6 5 4 3 2 1 ) (1/90 1/89 1/88 1/87 1/86 1/85) • = 1 / 622.614.630 Richiami di matematica: coefficiente binomiale Combinazioni Il numero di combinazioni di n oggetti di classe s, cioè il numero di modi in cui si possono selezionare s oggetti da un campione di n, è dato da: dove n n! n(n 1)(n s 1)! Cn ,s s! s s! (n s)! n! n( n 1)(n 2)... 2 1 è detto n fattoriale e 0! = 1. 15 Esempio: superenalotto • Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} • Prob di fare 6? • Casi favorevoli =1 • Casi possibili = Combinazioni di 90 elementi di classe 6 = C90,6 • C90,6=90*89*88*87*86*85/(6*5*4*3*2*1)= • C90,6=90!/(6! 84!)= 622.614.630 Esercizi • • • • • • • • Dati i tre insiemi A={x: 0≤x ≤4} B={x: 3≤x ≤10} C={x: -1≤x ≤3} Si determinino gli eventi AUBUC A∩B∩C A ∩ B ∩ Cc Soluzione Esercizio • Dati due eventi incompatibili A e B tali che P(A) =0,35 e P(B)=0,40 si trovino le seguenti probabilità • P(Ac) • P(A ∩ B ) • P(A U B) • P(Ac U Bc) • P(Ac ∩ Bc) Soluzione Esercizio • Per i due eventi A e B sono note le probabilità P(A)=0,48 P(B)=0,39 P(A ∩ B )=0,18 si determinino le probabilità nella tabella che segue A Ac B Bc • E si calcolino P(A ∩ Bc ) e P(Ac ∩ Bc ) Esercizio • Un’urna contiene 15 palline bianche e 8 nere. Calcolare • Probabilità di estrarre una pallina bianca alla prima estrazione (evento A)? • Probabilità in due estrazioni senza ripetizione di estrarre una pallina bianca nella seconda estrazione (evento B) dato che nella prima estrazione è stata estratta una pallina bianca (evento A)? • Probabilità di estrarre in entrambe le estrazioni una pallina bianca Soluzione Esercizio • Si calcoli la probabilità di ottenere un 2 almeno una volta in tre lanci consecutivi di un dado. Soluzione Esercizio • Un docente di statistica ha distribuito un elenco di 20 domande da cui sceglierà a caso quattro domande per l’esame finale. Avendo poco tempo lo studente x prepara solo 4 domande. Qual è la probabilità che proprio queste costituiscano la prova di esame Soluzione Esercizio • Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Estraendo 5 carte a caso, qual è la probabilità di avere due carte di quadri, due di cuori e una di fiori? Soluzione Esercizio • Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure una carta rossa? Soluzione Esercizio • Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure un re? Soluzione Esercizio • Delle 80 confezioni di yogurt esposte nel bancone di un supermercato, 10 scadono fra una settimana, 50 fra due settimane e le restanti 20 fra tre settimane. Si calcoli la probabilità che su 5 confezioni scelte a caso due scadano tra una settimana, due scadano fra due settimane e una fra tre settimane Soluzione Esercizio • Da un mazzo di 52 carte da poker se ne estraggono a sorte 5. Si determini la probabilità che delle 5 carte 3 siano assi Soluzione Esercizio • Si calcoli la probabilità che estraendo a sorte due carte da un mazzo di 40 appaiano 2 assi. – Nel caso che la prima sia reinserita nel mazzo prima dell’estrazione della seconda – Nel caso che la prima non sia reinserita nel mazzo prima dell’estrazione della seconda Soluzione Esercizio • Un dado viene lanciato 2 volte. Si calcoli – La probabilità che l’esito del primo lancio sia 5, se la somma dei punteggi è 7 – La probabilità che l’esito del secondo lancio sia un numero doppio dell’esito del primo lancio Soluzione Esercizio • Si dimostri che se due eventi A e B sono indipendenti, allora A e l’evento complementare di B (Bc) sono indipendenti Soluzione