DISTRIBUZIONE BINOMIALE (1)

DISTRIBUZIONE BINOMIALE (1)
Prova di Bernoulli: prova o esperimento i
cui possibili risultati sono costituiti da due
eventi mutuamente esclusivi (malato o
sano, vero o falso, maschio o femmina).
Processo di Bernoulli: sequenza di prove
bernoulliane che soddisfano le seguenti
condizioni:
1
DISTRIBUZIONE BINOMIALE (2)
Ciascuna prova può avere come risultato uno dei
possibili eventi (mutuamente esclusivi). Uno dei
possibili eventi è denotato (arbitrariamente)
come un successo e l’altro come un insuccesso;
La probabilità di un successo, indicata con p,
rimane costante di prova in prova. La probabilità
di insuccesso, 1-p, è indicata con q;
Le prove sono indipendenti, ovvero il risultato di
una prova non è influenzato dal risultato di
qualsiasi altra prova.
2
DISTRIBUZIONE BINOMIALE (3)
In un processo bernoulliano la probabilità
di ottenere x successi in n prove è :
 n  x n−x
P ( X = x) =   p q
x
dove
n
n!
  =
x ! ( n − x )!
x
Tale espressione è chiamata distribuzione
binomiale ed è interamente specificata da
3
due parametri, n e p.
DISTRIBUZIONE BINOMIALE (4)
La media e la varianza della distribuzione
binomiale sono rispettivamente :
µ = np
σ
2
= n p (1 − p
)
4
Esempio:
In una certa popolazione il 52% di tutti i nati
registrati è maschio.
Scegliendo a caso 5 record da questa
popolazione ci chiediamo qual’è la probabilità
che esattamente tre di questi corrispondano a
nati maschi.
Assegniamo:
1 al successo (record per nato maschio)
0 all’insuccesso (record per nato femmina)
5
p = 0.52
q = 0.48
x = numero successi= 3
n = numero prove = 5
5
3
2
P ( X = 3) =   ⋅ 0.52 ⋅ 0.48 =
3
5!
=
⋅ 0.523 ⋅ 0.482 =
2!3!
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
=
⋅ 0.523 ⋅ 0.482 ≅ 0,324
2 ⋅1 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
6