DISTRIBUZIONE BINOMIALE (1) Prova di Bernoulli: prova o esperimento i cui possibili risultati sono costituiti da due eventi mutuamente esclusivi (malato o sano, vero o falso, maschio o femmina). Processo di Bernoulli: sequenza di prove bernoulliane che soddisfano le seguenti condizioni: 1 DISTRIBUZIONE BINOMIALE (2) Ciascuna prova può avere come risultato uno dei possibili eventi (mutuamente esclusivi). Uno dei possibili eventi è denotato (arbitrariamente) come un successo e l’altro come un insuccesso; La probabilità di un successo, indicata con p, rimane costante di prova in prova. La probabilità di insuccesso, 1-p, è indicata con q; Le prove sono indipendenti, ovvero il risultato di una prova non è influenzato dal risultato di qualsiasi altra prova. 2 DISTRIBUZIONE BINOMIALE (3) In un processo bernoulliano la probabilità di ottenere x successi in n prove è : n x n−x P ( X = x) = p q x dove n n! = x ! ( n − x )! x Tale espressione è chiamata distribuzione binomiale ed è interamente specificata da 3 due parametri, n e p. DISTRIBUZIONE BINOMIALE (4) La media e la varianza della distribuzione binomiale sono rispettivamente : µ = np σ 2 = n p (1 − p ) 4 Esempio: In una certa popolazione il 52% di tutti i nati registrati è maschio. Scegliendo a caso 5 record da questa popolazione ci chiediamo qual’è la probabilità che esattamente tre di questi corrispondano a nati maschi. Assegniamo: 1 al successo (record per nato maschio) 0 all’insuccesso (record per nato femmina) 5 p = 0.52 q = 0.48 x = numero successi= 3 n = numero prove = 5 5 3 2 P ( X = 3) = ⋅ 0.52 ⋅ 0.48 = 3 5! = ⋅ 0.523 ⋅ 0.482 = 2!3! 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = ⋅ 0.523 ⋅ 0.482 ≅ 0,324 2 ⋅1 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 6