STATISTICA A STATISTICA A – K (60 ore)

Esempi
STATISTICA A – K
(60 ore)
Marco Riani
[email protected]
http://www.riani.it
Probabilità dell’evento
A=“Croce
A=
“Croce nel primo lancio”
• Ω={TTT,
Ω {TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC, CCC}
• P(A) = 4/8=0,5
Probabilità dell’evento
C=“A
C=
“A Croce nel primo lancio o
B almeno due volte testa”
• Ω={TTT,
Ω {TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC, CCC}
• P(C) =P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• P(A)=0.5
P(B)=0.5
• P(A ∩ B)=1/8
• P(C)=7/8
• Lancio di una moneta 3 volte
• Spazio degli eventi?
• Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC CCC}
TCC,
• Probabilità degli eventi:
– A=“Croce nel primo lancio”
– B=“Almeno due volte testa”
– C=“Croce nel primo lancio o almeno due volte
testa”
Probabilità dell’evento
B=“Almeno
B=
“Almeno due volte testa”
• Ω={TTT,
Ω {TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC, CCC}
• P(B) = 4/8=0,5
Esempio
• Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due
dei quali contengono un buono per un
nuovo boero. Probabilità di mangiare 3
boeri comprandone uno solo?
• A=“Il primo boero contiene il buono”
• B=“Il secondo boero contiene il buono”
• P(A ∩ B)=“entrambi i boeri contengono il
buono”
1
Esempio
Esempio totocalcio
• Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due
dei quali contengono un buono per un
nuovo boero. Probabilità di mangiare 3
boeri comprandone uno solo?
• Gioco la schedina mettendo a caso i segni
1
X
2
• Qual è la prob. di fare 14?
• A=“Il primo boero contiene il buono”
• B|A=“Il secondo boero contiene il buono dato
che il primo buono è già stato estratto”
• P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)= (2/30) (1/29)=0,0023
Esempio
• Gioco la schedina mettendo a caso i segni (1
X 2). Qual è la prob. di fare 14?
• Ei= indovino il segno della partita i=1, 2, …,
14
• P(Ei)= 1/3
• Prob. di fare 14=P(E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ … ∩ E14)=
P(E1) ∩ P(E2) ∩ P(E3) ∩ … ∩ P(E14)=(1/3)14=
2,09075E-07 =1/4.782.969
Esempio: superenalotto
• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,
40, 90}
• Prob di fare 6?
Esempio: superenalotto
Esempio: superenalotto
• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,
40, 90}
• Prob di fare 6?
• Ei= indovino
i d i il numero ii-esimo
i
d
della
ll
combinazione
• P(E1)=6/90 P(E2)=5/89 P(E3)=4/89 …
• (6 5 4 3 2 1 ) (1/90 1/89 1/88 1/87 1/86/ 85)
• = 1 / 622.614.630
• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,
40, 90}
• Prob di fare 6?
• Casi
C i ffavorevolili =1
1
• Casi possibili = Combinazioni di 90
elementi di classe 6 = C90,6
• C90,6=90*89*88*87*86*85/(6*5*4*3*2*1)=
• C90,6=90!/(6! 84!)= 622.614.630
2
Es.: X= numero di uscite “testa”
Esempio
Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC}
• 3 lanci di una moneta
• X= v.a. numero di uscite “testa” (prima
dell’esperimento)
• Quali
Q li valori
l i assume?
?
• 0123
• Qual è la distribuzione di probabilità della
v.a. X?
Distribuzione di probabilità della v.a. X
xi
pi
pi
0
1/8
0,125
1
3/8
0,375
2
3/8
0,375
3
1/8
0,125
1
1
Es. v.c. associata al lancio di un dado
Es. v.c. associata al lancio di un dado
Valori Probabilità
xi
pi
1
1/6
Valori Probabilità
xi
pi
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
6
• Calcolare
• F(3,14)? F(-0,37)?
F(3,57)? F(6,5)?
• E(X)?
• VAR(X)?
2
1/6
3
1/6
4
1/6
1/6
5
1/6
1/6
6
1/6
1
Es. v.c. associata al lancio di un dado
Valo
ri xi
1
2
3
4
5
6
Probabi
lità pi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1
• E(X)= 1×1/6 +
2×1/6+…6×1/6=21/6=
3,5
1
Es. v.c. continua
• Verificare che
– f(x)=2x se x ϵ [0 1]
– f(x)=0 altrimenti
è una funzione di densità
• Calcolare la funzione di ripartizione F(x)
• Disegnare la funzione di densità e la
funzione di ripartizione
• F(0,4)? Pr(X>0.5)? Pr(0,1 < X < 0,4)?
• Pr(X ≤ 0,7 U X>0,3)
3
Per verificare che è una densità
Calcolo della funz
funz.. di
ripartizione (F(x))
• 2x nell’intervallo [0 1] è sicuramente >=0
Rappresentazione grafica
f(x) e F(x)
Calcolo delle prob
prob.. Richieste
F(x)=x2
• F(0,4)?
• F(0,4)=0,16
• Pr(X>0.5)?
• Pr(X>0.5)=1-0,52=0,75
• Pr(0,1<X<0,4) = F(0,4)-F(0,1)=0,42-0,12=0,15
• Pr(X ≤ 0,7 U X>0,3)=
Pr(X ≤0,7)+Pr(X >0,3)-Pr((X ≤ 0,7) ∩ (X > 0,3))
= 0,72+(1-0,32)-Pr(0,3 ≤ X ≤0,7)
= 0.49 + 1 -0,09 -(0,49 -0,09) = 1.
Esercizio
• Esperimento aleatorio: lancio di due dadi.
• v.a. X= somma dei numeri che appaiono
nelle due facce
• Costruire
C t i
– lo spazio degli eventi
– la distribuzione di probabilità della v.a. X e
rappresentarla graficamente
– la funzione di ripartizione
– E(X)? Moda? VAR(X)?
Esempio 1
Lancio di due dadi.
X è la somma dei numeri che appaiono nelle due
facce
X
P(X)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2
1/36
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3
2/36
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4
3/36
5
4/36
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
6
5/36
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
7
6/36
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Ω
8
9
10
11
12
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
24
4
Esempio 1
X = somma dei risultati nel lancio di 2 dadi
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(X)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
E(X)? VAR(X)? Moda?
F(X)
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
1
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
25
p(X)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
F(X)
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
1
•E(X)= 2×1/36 +
3×3/36+…+12×1/36=7
VAR(X)= E(X2)-[E(X)]2
•VAR(X)= 54,83-7= 5,83
•Moda(X)=7
Rappresentazione grafica f(x)
5