Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità
Progetto lauree scientifiche
Università dell’Insubria
Facoltà di Matematica
Como
Natalina Drappo
Paola Bertoncello
Introduzione
alla probabilità
Analisi degli esiti di
esperimenti aleatori
Variabile aleatoria
Grandezza i cui valori
siano i possibili esiti
di un esperimento
definizioni
Probabilità discreta
in cui l’insieme dei valori assumibili
dai risultati sia finito o numerabile
Evento elementare
Esito di un esperimento aleatorio
testa testa TT
Spazio campionario
Insieme degli eventi elementari
{TT, TC, CT, CC }
Evento
Risultato del lancio
di due monete
Sottoinsieme dello spazio
Mano di poker
campionario
{TT, TC, CT}
Probabilità classica
_____________
favorevoli
P(E)= Casi
Casi possibili
Proprietà
di un evento E
E = esce almeno una testa IEI = 3
Ω = spazio campionario
IΩI=4
del lancio di due
P(E) = ¾
monete
0≤P(E) ≤1
P(Ec)=1-P(E)
Ec= non esce alcuna
testa
IEcI = 1 P(Ec) = 1/4
E ‫ כֿ‬F → P(E) > P(F)
Ω
E
CC
F TC
TT
CT
F= esce una testa = {TC, CT}
IFI=2
P(F)=1/2
Strumenti matematici
per lo studio della probabilità
Disposizione semplice
Selezione ordinata di k elementi di un insieme finito di
dimensione n
Elenco degli studenti seduti nella prima fila
Primi tre classificati di una gara
Problema: quante disposizioni si
presentano nell’estrazione di due
palline da un sacchetto che ne
contiene 4 diverse?
Soluzione: 4 possibilità per la prima pallina
per ogni scelta della prima ci sono 3 possibilità per la seconda
per ogni scelta delle precedenti ci sono 2 possibilità per la terza
Numero di disposizioni semplici: 4 ·3 · 2 = 24
Altri esempi e relative soluzioni:
• Il numero di modi in cui disporre 4 alunni in prima fila in
una classe di 25 studenti è 25 · 24 · 23 · 22 = 303600
• le possibili disposizioni dei numeri della prima cinquina
della tombola sono
90 · 89 · 88 ·87 · 86 > 5 1010
Regola:
Il numero di k-disposizioni semplici di n elementi è
n · (n-1) ·… · (n-k+1)
Usando il fattoriale di n, definito come
n!=n · (n-1) · (n-2) · ….. · 1
ottengo:
n!
_____
D k,n =
(n-k)!
Disposizione con ripetizione
Elenco di k elementi ordinati di un insieme di dimensione n
per cui è prevista la ripetizione
Pin del telefono
Lancio di tre dadi
Problema: quanti prefissi
telefonici si possono
scrivere con tre cifre?
Soluzione:
9 possibilità per la prima cifra
Per ogni scelta della prima cifra ho 9 possibilità per la seconda
Per ogni scelta delle prime due cifre ho 9 possibilità per la terza
Disposizioni con ripetizione: 9 · 9 · 9 = 93
Altri esempi e relative soluzioni:
• Il numero di colonne possibili del totocalcio è 313 = 1594323
• il numero di password di 8 cifre che si possono scrivere
con cifre alfanumeriche maiuscole e minuscole senza
caratteri speciali è (10+26x2)8
Regola:
Il numero di k-disposizioni con ripetizione di n
elementi è
D k,n = nk
… nota
• il numero di targhe che si può ottenere con 4 numeri e 2
cifre finali è
104 · 262 = 6760000
Permutazione (semplice)
Possibile ordinamento di un insieme finito di elementi
È una n-disposizione semplice di n elementi
Ordine di arrivo ad una gara
Posizione dei libri in una libreria
Problema: in quanti modi posso distribuire i
25 studenti di una classe?
Soluzione: partendo dal primo banco, per il quale ho
25 possibilità, ad ogni scelta successiva ho uno
studente in meno a disposizione, per cui ho
25 · 24 · 23 · …..2 · 1 = 25!
Regola
Le permutazioni di n elementi sono Pn = n!
Combinazioni
Raggruppamenti di k elementi di un insieme di
dimensione n
= possibili sottoinsiemi
Studenti interrogati
Estrazioni del lotto
Problema: quante scelte ha un
professore se interroga 4 persone
in una classe di 25?
Soluzione:
Il numero di 4-disposizioni di 25 elementi è 25!/21!
Le disposizioni con gli stessi elementi in cui cambia solo
l’ordine corrispondono alla stessa composizione
Il loro numero corrisponde al
numero di permutazioni: sono 4!
Le combinazioni
sono ____
25!
21!4!
Altri esempi e relative soluzioni:
• Il numero di combinazioni vincenti del SuperEnalotto è
90!
______
84!6!
Regola:
Il numero di sottoinsiemi di k elementi di un
______
insieme di dimensione n è C
n!
=
k,n
(n-k)!k!
Definisco coefficiente binomiale
n!
il valore
n ______
k = (n-k)!k!
()
Probabilità composta
definizioni
Dico due variabili o due eventi indipendenti se il verificarsi
del primo non influenza il verificarsi del secondo.
A, B eventi indipendenti  P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
A ={TT, TC} B = {TC, CC}
X, Y variabili indipendenti
A
Ωx
J
∩
I
∩
A

Ωy si ha
TT
TC CC CT
P(I ∩ J) = P(I) · P(J)
Ossia se tutti i possibili eventi della prima sono
indipendenti dai possibili eventi della seconda
X = esito lancio del primo dado
Y = esito lancio del secondo dado
Regole
Dati due eventi E e F
CCT
∩
P(E F) = P(E) + P(F) - P(E∩F)
E CTT TTC
TCT
E = esattamente due teste
F = la prima è testa
CTC
F
CCC
con E ∩ F = Φ ho
∩
TTT
TCC
TTC
F
E
CTC TCT
CCT
CTT
Ω
CCC
Ω
TCC
TTT
P(E F) = P(E) + P(F)
E = esattamente due teste
F = esattamente una testa
Nota: nel caso di tre eventi
∩ ∩
P(E F
G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(E∩F) - P(E∩G) - P(F∩G) +
+ P(E∩F∩G)
Si consideri un evento costituito da eventi elementari
che siano fasi successive di un esperimento
Diagramma ad albero
struttura di oggetti (foglie) e collegamenti (rami) orientati
Ogni foglia può discendere da un solo predecessore
(padre)
Ad ogni foglia possono seguire diversi oggetti (figli)
Lancio di tre dadi
T
V
V
T
C
V V
T C T C
T
C
V V
I possibili esiti si
trovano percorrendo
tutti i rami dalla radice
alla cima
C
T CT C
Principio di moltiplicazione
Sia E l’evento che si ottiene percorrendo un ramo
dell’albero dalla radice alla cima ed ei gli eventi
elementari corrispondenti alle foglie del percorso di E
P(E) = p P(ei)
Probabilità di un
codice alfanumerico
del tipo aabc con
a:±1 b:cifra c:lettera
1
1
P(-1,1,9,y)=
½ · ½ · 1/10 · 1/26
1
__
=
1040
-1 ½
-1 -1
1 ½
0123…
a b
9
…
1/10
w y z 1/26
Probabilità condizionata
e inversa
P(F|E) = Probabilità che l’evento F si realizzi nell’ipotesi
che l’evento E si sia già realizzato
E = il primo esito è testa
P(F)=3/8
P(F|E)=2/4
CCT
F
Ω
TCC
CTT TTC
TTT
TCT
CTC
F = due esiti su tre sono testa
CCC
E
F
TTC
TCT
TCC
TTT
E = Ω
Regola
P(F∩E)
_______
P(F|E)=
P(E)
Riferendosi all’esercizio precedente
P(F∩E)=2
P(E)= 4
P(F|E)= 2/4
Nota:
F è indipendente da E se (def.) P(F|E) = P(F)
e se sostituisco trovo P(E) · P(F) = P(E∩F)
Problema della probabilità inversa
Problema:
L’urna I contiene 3 palline rosse e 2 blu, l’urna II contiene 1
pallina rossa e 1 blu. Pesco ad occhi chiusi una pallina rossa:
Quale è la probabilità che provenga dall’urna 1?
Soluzione
Uso il diagramma ad albero:
r 3/5
I
½
II
b2/5
r
½
½
b
P(e1)
P(e2)
Evento elem.
½
3/10
P(b)=9/20
1/5
1/4
P(r)=11/20
1/4
P(Ei)
i=1…4
Costruisco il diagramma inverso:
x = 4/9
I
1/5
P(I|b) = 4/9
II
1/4
P(II|b) = 5/9
6/11
I
3/10
P(I|r) = 6/11
5/11
II
1/4
P(II|r) = 5/11
9/20
b
5/9
11/20
r
Come trovare x : la probabilità dei rami equivalenti dei due
alberi è uguale, quindi:
9/20 · x = P(E2) = 1/5
P(b)
P(I|b)
P(b∩I)
Il problema corrisponde alla ricerca della probabilità
dell’urna I condizionata all’aver pescato b
Formula di Bayes
Problema:
Si consideri un esperimento in due fasi e si voglia
calcolare la probabilità di un evento elementare Hi al
primo stadio nota la probabilità dell’evento E al secondo
stadio
Regola
P(E|Hi) · P(Hi)
P(E|Hi) · P(Hi)
________________
P(Hi|E) =
= __________
 P(E|Hk) · P(Hk)
Σ
P(E)
m
k 1
Probabilità discreta
e continua
definizioni
Dato uno spazio campionario discreto Ω
*
def. probabilità su Ω una qualsiasi funzione
P:Ω
[0,1]
che soddisfi
1) P(Ω) = 1

2) P(U Ak) =
k 1


P(Ak)
k 1
* Finito o numerabile
Probabilità classica
Ω finito o numerabile con Ω = { wi }
IΩI = dimensione (o la cardinalità) di Ω
IEI
P(E) = ___
IΩI
‫ כּ‬A
E
Ω
definizione equivalente alla probabilità classica:
Sia m(x) una funzione
m:Ω
[0,1]
con
detta funzione di distribuzione di Ω
Sia E un sottoinsieme di Ω
definisco
P(E) :=

m(x)
xE
P:Ω
[0,1]
con
P(Ω) = 1
 m(x) =1
x
Le proprietà sono quelle già viste
.
le trasmettiamo dagli insiemi agli elementi
per il caso numerabile le somme diventano serie
studio della convergenza
(esistenza di una somma finita)
Caso continuo
X = lunghezza della corda di una circonferenza unitaria
Ω = ( 0,2]
Si voglia P(E)
con E = ( 3 ,2]
Scelgo un sistema di coordinate per il punto medio:
rettangolari del con origine nel centro della circonferenza
M: (x,y)
(x,y) [-1,1] x [-1,1]
con x2 +y2 ≤ 1
L’Hp corrisponde a X ≥ lato del triangolo
equilatero .
M è interno alla circonferenza di raggio ½
Nota:
Se ho uno spazio campionario sottoinsieme di IR2
e ipotizzo che tutti i suoi punti siano equiprobabili
posso associare ad una superficie una probabilità
equivalente alla sua area
P(E) =
2
π(½)
______
π(1)2
=1/4
Paradosso di Bertrand:
1/4
P(E) =
1/2
M:(x;y)
M:(ρ;θ)
1/3 A:(1;α) B:(1;β)
Nota: Area e integrale
definizione
F(x) funzione di distribuzione cumulativa di X se
FX ( x) : P( X  x) : P((, x))
FX ( x) : IR  IR 
Proprietà
FX (x) è monotona non decrescente
lim
lim
FX ( x)  0
FX ( x)  1
x  
x
FX (x) è continua da destra:
lim
xt

FX ( x)  FX (t )
definizione
f(x) funzione di densità di X se
f: IR
+
IR e vale
b

P(a ≤ x ≤ b) = f ( x)dx
a, b  IR
a
Proprietà
Scelta la variabile X non è detto che esista f(x)

P(X E) = f ( x)dx purché l’integrale esista
E
f(x) non è una probabilità.
Teorema
Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità f(x)
x
F ( x) 

f (t )dt

Rappresenta la funzione
di distribuzione cumulativa di X,
d
F ( x)  f ( x)
dx
e si ha
Da ciò potremmo introdurre un diversa
definizione di funzione densità:

x


f: IR
f (t )dt  F ( x)
IR+
t.c.
 f ( x)dx  1

Esempi significativi di distribuzioni e densità
Distribuzione uniforme
discreta
Sia X una variabile aleatoria con spazio campionario Ω
di dimensione n
La distribuzione è rappresentata dalla funzione
m(x) = 1/n = costante
Attenzione!
Sia Ω numerabile e m(x) = costante
 m( x)dx
diverge
E 
Distribuzione uniforme
continua
Funzione di densità gaussiana
( x )2
1
fx = ______
2p
e
2 2
 0
 2 1
FINE