Esercizio 1 Di una variabile casuale binomiale si

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Esercizio 1
Di una variabile casuale binomiale si conoscono il numero di prove effettuate n=10 e la varianza
VAR(X)=0,9.
Calcolare p(2<X<6) e la distribuzione di probabilità.
La varianza di una variabile binomiale è data da:
𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 𝑛𝑝(1 βˆ’ 𝑝)
Dove n è il numero di prove effettuate e p è la probabilità di ottenere un successo. Si ricava:
𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 𝑛𝑝 βˆ’ 𝑛𝑝2
𝑛𝑝2 βˆ’ 𝑛𝑝 + 𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 0
β†’
Sostituiamo i valori numerici e troviamo la probabilità p:
10𝑝2 βˆ’ 10𝑝 + 0.9 = 0
5 ± √25 βˆ’ 9 5 ± √16 5 ± 4
=
=
10
10
10
Si hanno due valori, entrambi accettabili:
𝑝1βˆ’2 =
𝑝1 = 0.9
𝑝2 = 0.1
Dobbiamo studiare i due casi.
Caso 1:
𝑝(π‘†π‘’π‘π‘π‘’π‘ π‘ π‘œ) = 0.9
𝑝(πΌπ‘›π‘ π‘’π‘π‘π‘’π‘ π‘ π‘œ) = 0.1
Ricordando che la distribuzione di probabilità di una variabile binomiale è data da:
𝑛
𝑝(𝑋 = π‘˜) = ( ) π‘π‘˜ (1 βˆ’ 𝑝)π‘›βˆ’π‘˜
π‘˜
Si trova:
𝑝(𝑋 = 0) = (
10 0
10!
(1 βˆ’ 𝑝)10 = 10βˆ’10
) 𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)10 =
0
0! 10!
10
10!
𝑝(𝑋 = 1) = ( ) 𝑝1 (1 βˆ’ 𝑝)9 =
𝑝(1 βˆ’ 𝑝)9 = 9 βˆ™ 10βˆ’9
1
1! 9!
10
10! 2
𝑝(𝑋 = 2) = ( ) 𝑝2 (1 βˆ’ 𝑝)8 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)8 = 3.6 βˆ™ 10βˆ’7
2
2! 8!
10
10! 3
𝑝(𝑋 = 3) = ( ) 𝑝3 (1 βˆ’ 𝑝)7 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)7 = 8.7 βˆ™ 10βˆ’6
3
3! 7!
10
10! 4
𝑝(𝑋 = 4) = ( ) 𝑝4 (1 βˆ’ 𝑝)6 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)6 = 1.4 βˆ™ 10βˆ’4
4
4! 6!
10
10! 5
𝑝(𝑋 = 5) = ( ) 𝑝5 (1 βˆ’ 𝑝)5 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)5 = 1.5 βˆ™ 10βˆ’3
5
5! 5!
10
10! 6
𝑝(𝑋 = 6) = ( ) 𝑝6 (1 βˆ’ 𝑝)4 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)4 = 1.1 βˆ™ 10βˆ’2
6
6! 4!
1
10
10! 7
𝑝(𝑋 = 7) = ( ) 𝑝7 (1 βˆ’ 𝑝)3 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)3 = 5.7 βˆ™ 10βˆ’2
7
7! 3!
𝑝(𝑋 = 8) = (
10 8
10! 8
) 𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)2 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)2 = 0.19
8
2! 8!
𝑝(𝑋 = 9) = (
10 9
10! 9
) 𝑝 (1 βˆ’ 𝑝) =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝) = 0.39
9
9! 1!
10 10
10! 10
) 𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)0 =
𝑝 = 0.35
10
10! 0!
La probabilità di ottenere da 2 a 6 successi in 10 prove vale:
𝑝(𝑋 = 10) = (
𝑝(2 < 𝑋 < 6) = 𝑝(𝑋 = 3) + 𝑝(𝑋 = 4) + 𝑝(𝑋 = 5) = 1.6 βˆ™ 10βˆ’3
Caso 2:
𝑝(π‘†π‘’π‘π‘π‘’π‘ π‘ π‘œ) = 0.1
𝑝(πΌπ‘›π‘ π‘’π‘π‘π‘’π‘ π‘ π‘œ) = 0.9
Si trova:
𝑝(𝑋 = 0) = (
10 0
10!
(1 βˆ’ 𝑝)10 = 0.35
) 𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)10 =
0
0! 10!
𝑝(𝑋 = 1) = (
𝑝(𝑋 = 2) = (
10 1
10!
) 𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)9 =
𝑝(1 βˆ’ 𝑝)9 = 0.39
1
1! 9!
10 2
10! 2
) 𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)8 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)8 = 0.19
2
2! 8!
10
10! 3
𝑝(𝑋 = 3) = ( ) 𝑝3 (1 βˆ’ 𝑝)7 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)7 = 5.7 βˆ™ 10βˆ’2
3
3! 7!
10
10! 4
𝑝(𝑋 = 4) = ( ) 𝑝4 (1 βˆ’ 𝑝)6 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)6 = 1.1 βˆ™ 10βˆ’2
4
4! 6!
10
10! 5
𝑝(𝑋 = 5) = ( ) 𝑝5 (1 βˆ’ 𝑝)5 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)5 = 1.5 βˆ™ 10βˆ’3
5
5! 5!
10
10! 6
𝑝(𝑋 = 6) = ( ) 𝑝6 (1 βˆ’ 𝑝)4 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)4 = 1.4 βˆ™ 10βˆ’4
6
6! 4!
10
10! 7
𝑝(𝑋 = 7) = ( ) 𝑝7 (1 βˆ’ 𝑝)3 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)3 = 8.7 βˆ™ 10βˆ’6
7
7! 3!
10
10! 8
𝑝(𝑋 = 8) = ( ) 𝑝8 (1 βˆ’ 𝑝)2 =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝)2 = 3.6 βˆ™ 10βˆ’7
8
2! 8!
10
10! 9
𝑝(𝑋 = 9) = ( ) 𝑝9 (1 βˆ’ 𝑝) =
𝑝 (1 βˆ’ 𝑝) = 9 βˆ™ 10βˆ’9
9
9! 1!
10
10! 9
𝑝(𝑋 = 10) = ( ) 𝑝10 (1 βˆ’ 𝑝)0 =
𝑝 = 10βˆ’10
10
10! 0!
2
La probabilità di ottenere da 2 a 6 successi in 10 prove vale:
𝑝(2 < 𝑋 < 6) = 𝑝(𝑋 = 3) + 𝑝(𝑋 = 4) + 𝑝(𝑋 = 5) = 6.9 βˆ™ 10βˆ’2
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Matilde Consales
3
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