Esercizio 1 Di una variabile casuale binomiale si conoscono il numero di prove effettuate n=10 e la varianza VAR(X)=0,9. Calcolare p(2<X<6) e la distribuzione di probabilità. La varianza di una variabile binomiale è data da: ππ΄π (π) = ππ(1 − π) Dove n è il numero di prove effettuate e p è la probabilità di ottenere un successo. Si ricava: ππ΄π (π) = ππ − ππ2 ππ2 − ππ + ππ΄π (π) = 0 → Sostituiamo i valori numerici e troviamo la probabilità p: 10π2 − 10π + 0.9 = 0 5 ± √25 − 9 5 ± √16 5 ± 4 = = 10 10 10 Si hanno due valori, entrambi accettabili: π1−2 = π1 = 0.9 π2 = 0.1 Dobbiamo studiare i due casi. Caso 1: π(ππ’ππππ π π) = 0.9 π(πΌππ π’ππππ π π) = 0.1 Ricordando che la distribuzione di probabilità di una variabile binomiale è data da: π π(π = π) = ( ) ππ (1 − π)π−π π Si trova: π(π = 0) = ( 10 0 10! (1 − π)10 = 10−10 ) π (1 − π)10 = 0 0! 10! 10 10! π(π = 1) = ( ) π1 (1 − π)9 = π(1 − π)9 = 9 β 10−9 1 1! 9! 10 10! 2 π(π = 2) = ( ) π2 (1 − π)8 = π (1 − π)8 = 3.6 β 10−7 2 2! 8! 10 10! 3 π(π = 3) = ( ) π3 (1 − π)7 = π (1 − π)7 = 8.7 β 10−6 3 3! 7! 10 10! 4 π(π = 4) = ( ) π4 (1 − π)6 = π (1 − π)6 = 1.4 β 10−4 4 4! 6! 10 10! 5 π(π = 5) = ( ) π5 (1 − π)5 = π (1 − π)5 = 1.5 β 10−3 5 5! 5! 10 10! 6 π(π = 6) = ( ) π6 (1 − π)4 = π (1 − π)4 = 1.1 β 10−2 6 6! 4! 1 10 10! 7 π(π = 7) = ( ) π7 (1 − π)3 = π (1 − π)3 = 5.7 β 10−2 7 7! 3! π(π = 8) = ( 10 8 10! 8 ) π (1 − π)2 = π (1 − π)2 = 0.19 8 2! 8! π(π = 9) = ( 10 9 10! 9 ) π (1 − π) = π (1 − π) = 0.39 9 9! 1! 10 10 10! 10 ) π (1 − π)0 = π = 0.35 10 10! 0! La probabilità di ottenere da 2 a 6 successi in 10 prove vale: π(π = 10) = ( π(2 < π < 6) = π(π = 3) + π(π = 4) + π(π = 5) = 1.6 β 10−3 Caso 2: π(ππ’ππππ π π) = 0.1 π(πΌππ π’ππππ π π) = 0.9 Si trova: π(π = 0) = ( 10 0 10! (1 − π)10 = 0.35 ) π (1 − π)10 = 0 0! 10! π(π = 1) = ( π(π = 2) = ( 10 1 10! ) π (1 − π)9 = π(1 − π)9 = 0.39 1 1! 9! 10 2 10! 2 ) π (1 − π)8 = π (1 − π)8 = 0.19 2 2! 8! 10 10! 3 π(π = 3) = ( ) π3 (1 − π)7 = π (1 − π)7 = 5.7 β 10−2 3 3! 7! 10 10! 4 π(π = 4) = ( ) π4 (1 − π)6 = π (1 − π)6 = 1.1 β 10−2 4 4! 6! 10 10! 5 π(π = 5) = ( ) π5 (1 − π)5 = π (1 − π)5 = 1.5 β 10−3 5 5! 5! 10 10! 6 π(π = 6) = ( ) π6 (1 − π)4 = π (1 − π)4 = 1.4 β 10−4 6 6! 4! 10 10! 7 π(π = 7) = ( ) π7 (1 − π)3 = π (1 − π)3 = 8.7 β 10−6 7 7! 3! 10 10! 8 π(π = 8) = ( ) π8 (1 − π)2 = π (1 − π)2 = 3.6 β 10−7 8 2! 8! 10 10! 9 π(π = 9) = ( ) π9 (1 − π) = π (1 − π) = 9 β 10−9 9 9! 1! 10 10! 9 π(π = 10) = ( ) π10 (1 − π)0 = π = 10−10 10 10! 0! 2 La probabilità di ottenere da 2 a 6 successi in 10 prove vale: π(2 < π < 6) = π(π = 3) + π(π = 4) + π(π = 5) = 6.9 β 10−2 Questo file può essere scaricato gratuitamente. Se pubblicato citare la fonte. Matilde Consales 3