1 Valore atteso e varianza della v.c. binomiale La media della distribuzione binomiale si ricava come indicato di seguito: n X n! π x (1 − π)n−x x!(n − x)! x=0 n X n(n − 1)! = x π x (1 − π)n−x x(x − 1)![n − 1 − (x − 1)]! x=1 E(X) = = nπ x n−1 X (n − 1)! π y (1 − π)n−1−y y!(n − 1 − y)! y=0 dove nell'ultimo passaggio si è posto y = x − 1. Tenendo presente che n−1 X (n − 1)! π y (1 − π)n−1−y = 1 y!(n − 1 − y)! y=0 poiché è la somma delle probabilità di una distribuzione binomiale con parametri n − 1 e π si ottiene E(X) = nπ Per quanto riguarda la varianza si ha V AR(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 n X n! = x2 π x (1 − π)n−x − (nπ)2 x!(n − x)! x=0 n X n! = π x (1 − π)n−x − (nπ)2 [x(x − 1) + x] x!(n − x)! x=0 n X n! = x(x − 1) π x (1 − π)n−x + nπ − (nπ)2 x!(n − x)! x=0 n X n(n − 1)(n − 2)! = x(x − 1) π 2 π x−2 (1 − π)n−x + x(x − 1)(x − 2)![(n − 2) − (x − 2))]! x=0 +nπ − (nπ)2 = n(n − 1)π 2 n X (n − 2)! π x−2 (1 − π)n−x + nπ − (nπ)2 (x − 2)![n − 2 − (x − 2)]! x=2 Tenendo presente che n X n−2 X (n − 2)! (n − 2)! π x−2 (1−π)n−x = π y (1−π)n−2−y = 1 (x − 2)![n − 2 − (x − 2)]! y![n − 2 − y]! x=2 y=0 6 avendo posto y = x − 2, si ottiene V AR(X) = n(n − 1)π 2 + nπ − (nπ)2 = nπ(1 − π) Statistica (A-K) 60 ore Marco Riani Università di Parma http://www.riani.it 7