1 Valore atteso e varianza della vc binomiale

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1 Valore atteso e varianza della v.c. binomiale
La media della distribuzione binomiale si ricava come indicato di seguito:
n
X
n!
π x (1 − π)n−x
x!(n
−
x)!
x=0
n
X
n(n − 1)!
=
x
π x (1 − π)n−x
x(x
−
1)![n
−
1
−
(x
−
1)]!
x=1
E(X) =
= nπ
x
n−1
X
(n − 1)!
π y (1 − π)n−1−y
y!(n
−
1
−
y)!
y=0
dove nell'ultimo passaggio si è posto y = x − 1. Tenendo presente che
n−1
X
(n − 1)!
π y (1 − π)n−1−y = 1
y!(n
−
1
−
y)!
y=0
poiché è la somma delle probabilità di una distribuzione binomiale con parametri n − 1 e π si ottiene
E(X) = nπ
Per quanto riguarda la varianza si ha
V AR(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2
n
X
n!
=
x2
π x (1 − π)n−x − (nπ)2
x!(n − x)!
x=0
n
X
n!
=
π x (1 − π)n−x − (nπ)2
[x(x − 1) + x]
x!(n
−
x)!
x=0
n
X
n!
=
x(x − 1)
π x (1 − π)n−x + nπ − (nπ)2
x!(n − x)!
x=0
n
X
n(n − 1)(n − 2)!
=
x(x − 1)
π 2 π x−2 (1 − π)n−x +
x(x
−
1)(x
−
2)![(n
−
2)
−
(x
−
2))]!
x=0
+nπ − (nπ)2
= n(n − 1)π 2
n
X
(n − 2)!
π x−2 (1 − π)n−x + nπ − (nπ)2
(x
−
2)![n
−
2
−
(x
−
2)]!
x=2
Tenendo presente che
n
X
n−2
X
(n − 2)!
(n − 2)!
π x−2 (1−π)n−x =
π y (1−π)n−2−y = 1
(x
−
2)![n
−
2
−
(x
−
2)]!
y![n
−
2
−
y]!
x=2
y=0
6
avendo posto y = x − 2, si ottiene
V AR(X) = n(n − 1)π 2 + nπ − (nπ)2 = nπ(1 − π)
Statistica (A-K) 60 ore
Marco Riani
Università di Parma
http://www.riani.it
7
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