by ITALIANO MANUEL
A3 GEOMETRI DIURNO
A.S. 2000/2001
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Circonferenza goniometrica
Seno di un angolo
Coseno di un angolo
Tangente di un angolo
Cotangente di un angolo
Segno delle funzioni goniometriche
Relazioni fondamentali
Circonferenza con centro
nell’origine e avente per
raggio il segmento di misura
1; la sua equazione è:
x2 + y2 = 1.
Sia dato un angolo orientato
(in senso antiorario) ,
chiameremo il punto B punto
associato all’angolo sulla
circonferenza goniometrica.
Si dice seno di un angolo
l’ordinata del punto associato ad
nella circonferenza
goniometrica.
Quindi:
sen = yB = BH.
Al variare dell’angolo il
seno assume valori appartenenti
all’intervallo [-1; 1].
Il grafico della funzione
y=senx si chiama
sinusoide.
Il seno è una funzione
periodica con periodo
uguale a 360°, cioè:
sen( + k360°) = sen
(k Z).
Si dice coseno di un angolo
l’ascissa del punto associato ad
nella circonferenza goniometrica.
Quindi:
cos = xB = OH.
Al variare dell’angolo il coseno
assume valori appartenenti
all’intervallo [-1; 1].
Il grafico della funzione y=cos x
si chiama cosinusoide.
Il coseno è una funzione periodica
con periodo 360°, cioè:
cos( + k360°) = cos
(k Z)
Si definisce tangente dell’angolo
l’ordinata del punto T
d’intersezione tra il secondo lato
dell’angolo e la retta tangente alla
circonferenza goniometrica nel
punto A :
tg = yT = AT.
I triangoli OTA e OBH sono simili,
quindi:
AT : OA = HB : OH, Ma OA = 1,
AT = tg , HB = sen e OH = cos
; perciò:
sen
tg
cos
Se cos = 0, quindi se
= 90° + k180° (k Z)
la tangente non esiste.
La tangente è una funzione
periodica con periodo 180°,
cioè:
tg ( + k180°) = tg (k Z).
Si definisce cotangente
dell’angolo l’ascissa del
punto S d’intersezione tra il
secondo lato dell’angolo e la
retta tangente alla
circonferenza goniometrica
nel punto C :
cotg = xS = CS
Poiché i triangoli OCS e OBH
sono simili, risulterà che
cotg
cos
sen
Se sen = 0, quindi per
= k180° (k Z), la cotangente
non esiste.
La funzione cotangente è periodica
di periodo 180°, cioè:
cotg = cotg( + k180°) con k Z.
sen 45° = yB = HB e cos 45° = xB =
OH;
OA = OB = 1.
Essendo OHB un triangolo rettangolo
isoscele, è HB = OH.
Per il teorema di Pitagora, applicato al
triangolo OHB, si ha:
HB 2 OH 2 OB 2
2HB 2 1
HB 2
1
2
HB
2
2
2
2
e cos45 0
2
2
Si ha quindi sen45 0
sen45
Infine si avrà tg45
cos45
0
0
0
1
sen
B 1° quad. 0°<<90° +
B 2° quad. 90°<<180° +
B 3° quad. 180°<<270° B 4° quad. 270°<<360° -
cos
+
+
tg
+
+
-
1)
2)
Consideriamo una circonferenza ed un angolo
orientato (vedi D4). Sia B il punto ad esso associato.
Poiché il punto B appartiene alla circonferenza di
equazione x2 + y2 = 1, le sue coordinate devono
soddisfare a tale equazione. Si avrà dunque,
qualunque sia l’angolo , (sen )2 + (cos )2 = 1, cioè:
sen2 + cos2 = 1.
La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno
stesso angolo è uguale all’unità.
Il rapporto tra seno e coseno di uno stesso angolo è
uguale alla tangente dell’angolo stesso.
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Angoli opposti
Angoli supplementari
Angoli che differiscono di 180°
Angoli esplementari
Angoli complementari
Due angoli sono opposti
quando la loro somma è
zero.
cos(-x) = cos x
sen(-x) = -sen x
tg(-x) = -tg x
cotg(-x) = -cotg x
Angoli opposti hanno
coseno uguale, seno,
tangente e cotangente
opposti.
Due angoli si dicono
supplementari quando la somma
delle loro misure è uguale a 180°.
Le loro funzioni saranno
pertanto:
cos (180°- ) = -cos ,
sen (180°- ) = sen ,
tg (180°- ) = -tg ,
cotg (180°- ) = -cotg .
Angoli supplementari hanno seno
uguale e coseno, tangente e
cotangente opposti.
• sen (180° + ) = -sen
• cos (180° + ) = -cos
• tg (180° + ) = tg
• sen (360° - ) = -sen
• cos (360° - ) = cos
• tg (360° - ) = -tg
Due angoli si dicono
complementari quando la somma
delle loro misure è uguale a 90°.
sen (90° - x) = cos x
cos (90° - x) = sen x
tg (90° - x) = cotg x
cotg (90° - x) = tg x
Il coseno, il seno, la tangente e la
cotangente di un angolo sono
rispettivamente uguali al seno,
coseno, cotangente e tangente del
suo complementare.
gradi
0
30
45
60
90
180
270
360
radianti
seno
coseno
tg
cotg
0
0
1
0
non esiste
0,523598776
0,5
0,866025404 0,577350269 1,732050808
0,785398163 0,707106781 0,707106781
1
1
1,047197551 0,866025404
0,5
1,732050808 0,577350269
1,570796327
1
0
non esiste
0
3,141592654
0
-1
0
non esiste
4,71238898
-1
0
non esiste
0
6,283185307
0
1
0
non esiste
• sen150° = sen (180°- 30°) = sen30° = 0,5
• cos120° = cos (180°- 60°) = - cos60° = - 0,5
• tg135° = tg (180°- 45°) = - tg45° = -1
• cos300° = cos (360°- 60°) = cos60° = 0,5
• cos1260° = cos (3 * 360°+ 180°) = cos180° = -1
