ITIS “G.Galilei” – Crema
Lab. Calcolo e Statistica
Test di ipotesi
Test di ipotesi
Formulazione ipotesi
Popolazione X
Estrazione campione
campione
Analisi dati/parametri
campione
Test
Parametrico
Test NON
Parametrico
Ipotesi Accetta / Rifiutata
Ipotesi statistica
Affermazione o asserzione (congettura) su un parametro di
una popolazione
• Esempio se J è un parametro di una popolazione
Ipotesi
J = J0
Estraggo campione
Faccio una stima di J
• E’ abbastanza vicina a J0 ?
• Accetto l’ipotesi di partenza ?
Ipotesi nulla
E’ l’ipotesi da cui si parte in una verifica su una
popolazione
Indicata con H0
Es.
H0 : J = J0
Ogni altra ipotesi è detta ipotesi alternativa
( indicata con H1 )
Es.
H1 : J J0
oppure
H1 : J > J0
H1 : J < J0
Regole di decisione
In base al parametro (J) da verificare (sulla
popolazione) si sceglie una stimatore corretto e
si prende in considerazione la sua distribuzione di
probabilità
• ad esempio: se J è la media della
popolazione, lo stimatore è la media
campionaria
• se J è la probabilità, lo stimatore è la
frequenza campionaria
QUINDI…
Si considera la distribuzione dello stimatore (che
verosimilmente segue la distribuzione normale) per
calcolare la probabilità di ricavare dal campione una stima
diversa da J
OPERATIVAMENTE SI FISSA IL
Livello di significatività: a
(è la differenza massima ammessa tra lo stimatore e il
parametro)
Si indica la zona (1- a ) come livello di fiducia di
accettabilità dello stimatore
Infine si standardizza lo stimatore e si valuta Z
Dove cade Z?
accettazione
rifiuto
-z1-a/2
z1-a/2
1-a
a
Se |Z|>= Z1-a/2 si RIFIUTA l’ipotesi nulla:
Cioè con probabilità a si valuta eccessiva la differenza
tra il valore stimato e il valore del parametro
Se |Z|< Z1-a/2 si ACCETTA l’ipotesi nulla H0
Questa regola di decisione è chiamata
TEST DI SIGNIFICATIVITA’
(in questo caso test bilaterale o a due code)
Caso in cui H1 : J < J0
accettazione
rifiuto
-z1-a
Test unilaterale sinistro
1-a
a
Caso in cui H1 : J > J0
accettazione
rifiuto
z1-a
Test unilaterale destro
1-a
a
Convenzionalmente si fa riferimento a valori
particolari di significatività del Test:
a = 0,05
test SIGNIFICATIVO
a = 0,01
test MOLTO SIGNIFICATIVO
Errori di I e II specie
In base alla scelta di a si può incappare in due tipi di errore:
• I) rifiutare l’ipotesi nulla, quando questa è VERA
• II) accettare l’ipotesi nulla, quando questa è FALSA
Si definiscono le probabilità per i due errori:
P(rifiuto H0 | H0 )
= a
P(accetto H0 | H1 )
= b
Situazione reale
Decisione
H0 Vera
H0 Falsa
Accetto H0
Ok
P=1-a
Errore II specie
P=b
Rifiuto H0
Errore I specie
P=a
Ok
P=1-b
Un esempio : test unilaterale dx
H0
H1
Curva caratteristica
• E’ data dalla successione dei valori di b
quando l’ipotesi alternativa è composta n
ipotesi semplici
b1 , b2, b3, b4 … bn
• E’ definita anche la curva di POTENZA del
test, fatta dai punti
gi = 1- bi
Verifica di ipotesi su MEDIA
• Campione grande
• Campione piccolo (s2 nota)
x - 0
Z (x) =
s
n
• Campione piccolo (s2 non specificata)
distrib. di Student
gradi di libertà n = n-1
x - 0
t(x) =
s
n -1
Per calcolare il valore teorico della distribuzione di Student con
Excel bisogna tenere presente che :
a
n
livello di significatività
gradi di libertà = (n-1)
• nel caso di test a due code
nta
= INV.T(a , n)
• nel caso di test unil. DX
nta
= INV.T(2a , n)
• nel caso di test unil. SX
nta
= - INV.T(2a , n)
Verifica di ipotesi su frequenze
• Si pone l’ipotesi nulla (H0) sulla percentuale
della popolazione che ha una proprietà
• Si estrae un campione e si usa la frequenza
rilevata come elemento di confronto
• Approssimazione della distribuzione
binomiale con normale
Z (x) =
f - p0
p0 (1 - p0 )
n
