Prova scritta PS3-STATISTICA 1 modulo 020204 GPST
!!Per essere considerate come valide, le risposte devono essere univoche, leggibili, strutturate in modo logico e ben motivate!! Se non lo sono, il punteggio
è a rischio!! L’esame scritto consiste di 5 esercizi da 7 punti; ottimizzate voi...
:-)
1) Siano X1 , ..., Xn iid con densità f (x) = 2x/ϑ2 , x ∈ [0, ϑ]. Trovare lo
stimatore di massima verosimiglianza di ϑ e calcolarne il valore atteso.
2) Siano X1 , ..., Xn iid con distribuzione N (µ, 1), H0 l’ipotesi {µ = 0} e HA
l’ipotesi {µ > 0}. La regione di rifiuto dell’ipotesi H0 è data da {|X1 +...+Xn | >
n}. Trovare il livello di questo test.
3) Sia s2 il classico stimatore non distorto della varianza s2 basato su un
campione X1 , ..., Xn . Dimostrare che, nel caso n = 2, vale 2s2 = (X1 − X2 )2 .
4) Siano Y1 , ..., Yn v.a. con struttura Yi = axi + bzi + ei , i = 1, ..., n,
dove {xi , zi } sono quantità note e {ei } iid N (0, σ 2 ) (un modello di regressione
lineare senza parte costante, insomma...). Trovare lo stimatore di massima
verosimiglianza di b e dedurne la distribuzione.
5) Sia C un cerchio in IR2 di raggio e centro ignoto e p1 , p2 e p3 tre punti
scelti con distribuzione uniforme e indipendenti sul perimetro di C. Trovare
uno stimatore del centro di C, basato su p1 , p2 e p3 . Descrivere valore atteso e
varianza di questo stimatore.
[Consigli: 1) qualche volta le cose vengono meglio senza troppe formule...
2) il pensiero puro geometrico è considerato da molti il metodo fondamentale
matematico... 3) non tutti i problemi in un compito di probabilità e statistica
devono essere necessariamente affrontati con metodi di probabilità e statistica...]
