Compito e soluzione 21-12-04

UNIVERSITA’ DI BOLOGNA
Corso in Metodi quantitativi per l’analisi dello sviluppo Prova 21/12/2004
Soluzioni
Esercizio 1
Nella tabella sono riportati i dati relativi al comportamento di acquisto per i prodotti del commercio
equo e solidale nel periodo natalizio. E’ stata condotta un indagine in una bottega di bologna
intervistando 110 clienti ai quali è stato chiesto di rispondere a due domande:
se essi sono interessati ai problemi dei paesi in via di sviluppo, risposta (SI o NO), se sono
consumatori abituali della bottega risposta (SI o NO).
Interesse nello sviluppo
Si
No
Totale
Consumatori abituali
Si
No
40
30
70
Totale
15
25
40
55
55
110
Calcolare la probabilità che, estraendo un individuo a caso tra i 110 intervistati:
a) Questo sia interessato ai problemi dello sviluppo
P(Interessati)=55/110=0.5
b) Sapendo che l’individuo è interessato ai problemi dello sviluppo calcolare la probabilità che
sia un consumatore abituale;
P(AbitualiInteressati)=40/55=0.73
c) Cosa si intende per eventi mutuamente esclusivi:
A
B
L’unione dei due L’intersezione dei due
eventi
è eventi è l’insieme vuoto e
l’insieme vuoto. la probabilità dell’unione
dei due eventi è uguale
alla
somma
delle
probabilità dei singoli
eventi.
C
La probabilità
dell’intersezione
dei due eventi è
pari ad 1.
D
Gli eventi tra loro
sono incompatibili
e non è possibile
metterli in relazione
Esercizio 2
Supponete in una prova scritta con 10 quesiti e tre possibili risposte (A, B e C) di cui una è quella
esatta, si supera la prova se si risponde ad almeno 70% delle domande. Se in candidato risponde in
maniera casuale, si calcoli:
a) Probabilità di rispondere esattamente a tutte le domande;
10 
P   0.3310  0.0000153
10 
b) Probabilità di superare la prova;
10 
10 
10 
10 
10 10 
P X  7   k 7  0.33k 0.66 nk   0.337 0.66 3   0.338 0.66 2   0.339 0.661   0.3310 0.66 0 
k
7
8
9
10 
120(0.000457247)(0.296296296)  45(0.000141)(0.4356)  10(0.000046)(0.66)  0.0000153  0.019662
c) Qual è la speranza matematica (valore atteso) di una distribuzione Binomiale Bin(n,p):
A
p
B
p(1-p)
C
np(1-p)
D
np
Esercizio 3
Per determinare il numero medio di frutti per albero prodotti da un frutteto in una determinata
regione, si conduce un indagine campionaria su 70 alberi. Dall’indagine si ottiene un valore medio
di frutti per albero pari a 200 con uno scarto quadratico medio pari a 30.
a) Qual’é la precisione della nostra stima campionaria con una probabilità del 95% (errore
assoluto che ci aspettiamo di dover affrontare)?
s
Dobbiamo utilizzare la relazione P( x    z 0.025 
)  0.95
n
30
intervallo [192.97 ; 207.03] con un errore di 7 unità (circa) in valore assoluto
x  1.96 
70
b) Quanto grande dovrebbe essere il nostro campione se vogliamo un errore di 5 unità?
s
s2
2
e  1.96 
 n  1.96  2  138
e
n
c) Definire i parametri di una distribuzione Normale
A
e
B

C

D
,  e 
Esercizio 4
In un progetto di sviluppo rurale, si intende promuovere l’uso di una nuova macchina per la raccolta
della frutta per aumentarne la raccolta media giornaliera.
L’impresa produttrice sostiene che l’uso della nuova macchina aumenta la raccolta giornaliera
mediamente di 100 chilogrammi. Prima di adottare la nuova macchina si intende verificare
l’effettivo vantaggio della macchina, quindi si sperimenta la macchina per 30 giorni. Dalla
sperimentazione ne deriva che l’incremento medio è di 90 chilogrammi con uno scarto quadratico
medio di 10. Sulla base della sperimentazione dire se:
a) L’affermazione dell’impresa è plausibile al 5% di significatività;
L’ipotesi nulla H0: =100 e l’iporesi alternativa H1:   100 non conoscendo il valore della
deviazione standard di popolazione la stimiamo con il valore campionario e utilizziamo una
distribuzione normale perché abbiamo un campione sufficientemente grande n=30
Due soluzioni equivalenti:
Intervallo compreso nella zona di non rifiuto con =0.05 e z / 2  1.96 è:
10
intervallo [93.58 ; 86.42]
x  1.96 
30
quindi rifiutiamo l’ipotesi nulla in quanto 100 nella zona di rifiuto (nella coda destra), quindi
l’affermazione della impresa non è plausibile
Oppure possiamo standardizzare e calcolarci la probabilità
z
x
/ n

90  100
 5.47 molto maggiore del nostro 1.96 quindi rifiutiamo l’ipotesi nulla
10 / 30
b) Con gli stessi dati possiamo affermare che l’incremento medio sia al massimo di 88
chilogrammi?
L’ipotesi nulla H0: =88 e l’iporesi alternativa H1: 88, è un test unidirezionale e il valore soglia
della zeta è pari 1.645
Come prima posso calcolarmi l’intervallo (zona di non rifiuto)
10
intervallo [0;87]
x  1.645 
30
non rifiuto l’ipotesi nulla perché la media campionaria cade nella regione di non rifiuto
Oppure standardizzare e calcolarci la probabilità
z
x
/ n

90  88
 1.095 minore del nostro 1.645 quindi non rifiutiamo l’ipotesi nulla
10 / 30
c) Dire che cos’è α
A
La probabilità
di rifiutare
l’ipotesi nulla
H0 quando essa
è falsa
B
La probabilità
di non rifiutare
l’ipotesi nulla
H0 quando essa
è vera
C
La probabilità
di non rifiutare
l’ipotesi nulla
H0 quando essa
è falsa
D
La probabilità
di rifiutare
l’ipotesi H0
quando questa
è vera
Esercizio 5
Di seguito si riportano i dati circa il reddito (in migliaia di euro) medio di alcuni paesi in via di
sviluppo e la presenza di ONG (numero di organizzazioni attive nel territorio) che si occupano di
cooperazione negli stessi paesi.
X (numero ONG)
80
10
Y (reddito)
130
15
160
18
180
25
100
10
130
16
160
21
120
13
110
14
90
8
130
15
120
13
180
24
Ipotizzando che ci sia una relazione tra il reddito (Y) di un paese e la presenza di ONG (X),
calcolare:
a) Calcolare la stima dei parametri della retta di regressione e darne una interpretazione;
 x
n
b1 
j 1
j
 x  y j  y 
 x
n
j 1
 x
2
j

Cod  x; y 
 0.158
Dev  x 
Ad ogni ONG in più sul territorio corrisponde un incremento medio di reddito pari a 158 euro
a  y  bx  -5.01
Ipotizzando l’assenza di ONG il reddito teorico sarebbe di meno 3000 euro circa, un risultato
irrealistico in quanto i dati non sono veritieri ma inventati.
b) Calcolare la bontà di adattamento dei dati e commentare il risultato sapendo che:
la devianza residua (o devianza di dispersione) è pari a 61.4 e la devianza totale di Y è
uguale a 331.2;
R2=1-dev.disp/dev.tot=1-61.4/331.2=0.81
Circa l’80% della variabilità del reddito è spiegata dalla relazione lineare tra il numero di ONG
sul territorio e la ricchezza, la retta di regressione si adatta ai dati empirici per un buon 80%
c) Definire le proprietà dello stimatore ai minimi quadrati
A
E’ uno
stimatore
corretto ed
efficiente
B
E’ uno
stimatore
corretto e
efficiente tra la
classe degli
stimatori lineari
C
E’ il miglior
stimatore
corretto
(Best unbiased
estimator)
D
E’ uno
stimatore
efficiente tra gli
stimatori lineari