Esame di Probabilità ed Inferenza Statistica – 18 marzo 2003
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docente: Prof.ssa J. Mortera
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I quesiti in corsivo hanno carattere teorico. La prova si ritiene superata se si raggiunge la sufficienza sia sugli
esercizi sia sulla parte teorica.
1. [4] In una indagine di mercato si è visto che il 15% dei consumatori acquista il prodotto A, mentre il
prodotto B è acquistato dal 30% dei consumatori. Dato che il prodotto A viene acquistato, il prodotto
B viene acquistato dal 50% dei consumatori. Se viene estratto un consumatore a caso:
a) qual è la probabilità che acquisti ambedue i prodotti
b) qual è la probabilità che acquisti almeno uno tra i prodotti A e B.
c) qual è la probabilità che non acquisti nè A nè B.
d) se B viene acquistato qual è la probabilità che anche A viene acquistato.
2. [8] Il peso dei barattoli di pelati prodotti dalla ditta "Broglio" si distribuisce normalmente con media
1kg e deviazione standard 0,009kg. Si assume che i pesi delle singole confezioni siano indipendenti
fra loro. Calcolare:
a. la probabilità che una scatola scelta a caso pesi meno di 0,98 kg.
b. La probabilità che fra 10 scatole scelte a caso ve ne siano almeno due che pesano meno di 0,98 kg.
Se il peso di un barattolo è distribuito normalmente con media 0,2 kg e deviazione standard 0,001kg,
calcolare:
c. il peso medio e la varianza del contenuto di 100 barattoli (cioe’ al netto del barattoli) .
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3. [4] Un indagine campionatria in Francia su 500 aziende ha accertato che 60 aziende non soddisfano
gli standard di qualità sul processo di produzione imposti dalla UE. In Italia, su un campione di 400
aziende, le aziende non in regola sono state 60.
a. Costruire l’intevallo di confidenza al 95% per la frazione di aziende che non soddisfa gli standard di
qualità in Francia
b. Le aziende italiane sono significativamente peggiori di quelle francesi in termine di conformità agli
standard EU? Usare un livello di significatività al 1%.
4. [7] Sia X1,…Xn un campione di ampiezza n ( n 4) estratto da una popolazione X con E(X)= e
varianza 2. Si considerino i seguenti stimatori alternativi per
T1
X X4
2 X1
X2 3
n
n
e T2 X 1
X2 X3 X4
n
a) Lo stimatore T1 è non distorto? In caso di risposta negativa proporre uno stimatore non distorto per
modificando T1.
b) Lo stimatore T2 è non distorto? In caso di risposta negativa proporre uno stimatore non distorto per
modificando T2.
c) Calcolare l’errore quadratico medio di T1 e T2
d) T1 e T2 sono consistenti in media quadratica?
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5. [5] Il numero di clienti che si presentano ad uno sportello bancario in un giorno è descritto da una
variabile casuale X con distribuzione di Poisson di parametro , cioè
f ( x; ) e
x
x!
, x0 e 0
Al fine di stimare , è stato rilevato per cinque giorni il numero di clienti che si sono presentati a questo
sportello e si è osservato: 12, 10, 4, 10, 18.
a) Determinate lo stimatore di massima verosimiglianza di .
b) Calcolarne la stima in corrispondenza del campione osservato.
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6 [3] Derivare la media e varianza della distribuzione binomiale.
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