Trigonometria

FORMULE TRIGONOMETRICHE
(V. Colagrande)
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β
sen ( α − β ) = sen α cos β − cos α sen β
cos( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β
cos( α − β ) = cos α cos β + sen α sen β
tg ( α + β ) =
tg α + tg β
tg ( α − β ) =
1 − tg α tg β
cotg ( α + β ) =
cotg α cotg β − 1
sen 2 α = 2 sen α cos α
2
tg α − tg β
tg 2 α =
cotg α cotg β + 1
cotg β − cotg α
sen p + sen q = 2 sen
cos p + cos q = 2 cos
p+q
cos
2
p+q
2
cos
p+q
sen p − sen q = 2 cos
2
p−q
p−q
sen
2
cos p + cos q = − 2 sen
2
tg
α
2
α
2
= ±
= ±
1 − cos α
cos
2
1 − cos α
α
p+q
p−q
sen
2
α
cotg 2α − 1
2 cotg α
1
2
2
[cos(α − β) − cos(α + β)]
[sen (α + β) + sen (α − β)]
[cos(α + β) + cos(α − β)]
FORMULE PARAMETRICHE
per α ≠ (2k + 1)
2
sen α =
1 + cos α
= ±
2
2
1
cosα cos β =
2
1 + cos α
= ±
2
cotg
1 + cos α
1
sen α cos β =
2
FORMULE DI BISEZIONE
sen
cotg 2 α =
1 − tg 2α
sen α sen β =
p−q
2
FORMULE DI WERNER
α−β = q
e
2
2 tg α
FORMULE DI PROSTAFERESI
posto α + β = p
2
cos 2 α = cos α − sen α = 2 cos α − 1 = 1 − 2 sen α
1 + tg α tg β
cotg ( α − β ) =
cotg β + cotg α
FORMULE DI DUPLICAZIONE
1 − cos α
posto t = tg
e
2t
cos α =
1 + t2
1 − t2
α
2
tg α =
1 + t2
2t
1 − t2
FUNZIONI GONIOMETRICHE ESPRESSE MEDIANTE UNA SOLA DI ESSE
sen α = ± 1 − cos2 α = ±
tg α
1 + tg 2α
tg α = ±
sen α
= ±
1 − sen 2α
1
= ±
1
cos α = ± 1 − sen 2α = ±
1 + cotg 2α
1 − cos 2 α
=
cos α
cotg α
= ±
1 + tg 2α
1
1 − sen 2α
cotg α = ±
cotg α
sen α
cos α
= ±
=
1 − cos2α
1 + cotg 2α
1
tg α
RISOLUZIONE DI TRIANGOLI RETTANGOLI
In un triangolo ABC, retto in C, avente a e b per cateti e c come ipotenusa, con α angolo opposto ad a e β angolo opposto a b, si ha:
a
IPOTENUSA: c =
sen α
a
=
b
=
cos β
sen β
=
b
CATETI: a = c ⋅ sen α = c ⋅ cos β
cos α
b = c ⋅ sen β = c ⋅ cos α
a = b ⋅ tg α = b ⋅ cotg β
b = a ⋅ tg β = a ⋅ cotg α
RISOLUZIONE DI TRIANGOLI QUALUNQUE
Considerato un triangolo ABC, siano a, b e c i suoi lati e α , β e γ i rispettivi angoli opposti; siano R il raggio della circonferenza circoscritta al
triangolo e r il raggio della circonferenza inscritta; siano S l’area e p il semiperimetro del triangolo.
a
1) Teorema dei seni:
sen α
3) Teorema di Carnot: a
1
2
ab ⋅ sen
=
c
sen γ
.
= b + c − 2 bc ⋅ cos ;
2
= a
=
2
b
sen β
2
c
4) Area: S =
=
1
2
2
2
2) Teorema della corda:
b
2
cos
sen
tg
cotg
α
π 2−α
2
=
b
sen
=
c
sen
= 2 R.
2
+ c − 2 ac ⋅ cos β ;
2
+ b − 2 ab ⋅ cos .
bc ⋅ sen =
1
2
ac ⋅ sen ;
S=
5) Raggi della circonferenza inscritta (r ) e circoscritta (R):
funzione
= a
a
sen
p ( p − a )( p − b )( p − c )
r =
ANGOLI ASSOCIATI
Angolo
π−α
π+α
π 2+α
S
p
;
R =
abc
4S
3 2π − α
(formula di Erone).
.
3 2π + α
−α
cos α
sen α
− sen α
− cos α
− cos α
− sen α
sen α
cos α
sen α
tg α
cos α
cotg α
cos α
− cotg α
sen α
− tg α
− sen α
tg α
− cos α
cotg α
− cos α
− cotg α
− sen α
− tg α
cotg α
tg α
− tg α
− cotg α
cotg α
tg α
− tg α
− cotg α