Trigonometria

Funzioni trigonometriche
1) Radianti e Gradi:
Definizione:
rad =
l
r
=
Lunghezza arco di circonferenza
Raggio
Proporzione gradi - radianti:
rad : = grad : 180
Per le corrispondenze tra particolari angoli in radianti e in gradi, vedi la
tabella dei valori di sen-cos-tg.
2) Circonferenza trigonometrica
E’ data una circonferenza di centro O nell’origine degli assi e con raggio unitario. Sono date anche
una retta r tangente alla circonferenza e perpendicolare all’asse delle x, e una retta s tangente alla
circonferenza e perpendicolare all’asse delle y.
Funzioni trigonometriche principali:
Seno: Sen = OB = DA = y D
Coseno: Cos = OA = DB = x D
sen
Tangente: Tg = cos OC
Funzioni reciproche delle funzioni trigonometriche:
1
1
CoSecante: cosec =
= sen
Secante: sec =
OB
1
1
= cos OA
CoTangente: cot g = OG =
1
tg
=
cos sen
3) Triangolo
Considerando un triangolo rettangolo qualsiasi, si ha:
DA
DA = DO $ sen e sen = DO
t cateto = ipotenusa $ sen(angolo opposto al cateto)
AO
OA = DO $ cos e cos = DO t cateto = ipotenusa $ cos(angolo adiacente al cateto)
DA
DA = OA $ tg e tg = OA
t cateto = cateto $ tg(angolo opposto al cateto)
Nella circonferenza trigonometrica, O è il centro degli assi, OA è il raggio unitario, che nei rapporti si
semplifica, e D è l’intersezione del raggio con la circonferenza.
4) Nomi e abbreviazioni
Italiano
Nome
Seno
Coseno
Tangente
Cosecante
Secante
Cotangente
Inglese
Abbreviazione
sen
cos
tg
cosec
sec
cotg
Nome
Sine
Cosine
Tangent
Cosecant
Secant
Cotangent
Funzione
Seno
Periodo
Abbreviazione
sin
cos
tan
cosec
sec
cotan
5) Periodi
2
2
2
2
Coseno
Tangente
Cosecante
Secante
CoTangente
6) Valori di angoli particolari
Rad Grad
0
0°
12
15°
10
18°
6
30°
4
45°
3
60°
2
Seno
Coseno
Tangente
0
1
0
6− 2
4
5 −1
4
1
2
6+ 2
4
1
4
10 + 2 5
2− 3
1−
2
5
3
3
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
90°
1
0
∞
180
0
-1
0
3
2
270°
-1
0
∞
5
3
I valori delle funzioni trigonometriche di molti altri angoli, come 36°, 72°, 75°, possono essere
ottenuti scomponendo questi angoli opportunamente.
Formule trigonometriche
1) Relazione fondamentale della goniometria
sen 2 + cos 2 = 1
2) Formule di addizione e sottrazione
cos( − ) = cos $ cos + sen $ sen
cos( + ) = cos $ cos − sen $ sen
sen( − ) = sen $ cos + cos $ sen
sen( + ) = sen $ cos − cos $ sen
tg + tg
1 − tg $ tg
tg − tg
tg( − ) =
1 + tg $ tg
tg( + ) =
3) Formule di duplicazione
sen2 = 2 $ sen $ cos cos 2 = cos 2 − sen 2 2 $ tg
tg2 =
1 − tg 2 4) Formule parametriche
sen = 2 $ t2
1 + t2
cos = 1 − t 2
1+t
dove t = tg
2
5) Formule di bisezione
sen = ! 1 − cos 2
2
1
+
cos
cos = !
2
2
tg = ! 1 − cos 2
1 + cos tg = sen
2 1 + cos − cos tg = 1 sen
2
6) Formule di prostaferesi
p+q
p−q
senp + senq = 2sen
cos
2
2
senp − senq = 2 cos
p+q
p−q
sen
2
2
p+q
p−q
$ cos
2
2
p+q
p−q
cos p − cos q = −2sen
$ sen
2
2
cos p + cos q = 2 cos
7) Formule di Werner
sen $ sen = 1 [cos( − ) − cos( + )]
2
cos $ cos = 1 [cos( + ) + cos( − )]
2
1
sen $ cos = [sen( + ) + sen( − )]
2
8) Formule di Eulero
i$x
−i$x
sen(x) = e − e
2$i
i$x + e −i$x
e
cos(x) =
2
i$x
e = cos(x) + i $ sen(x)
Dove vale che z c Š
Trigonometria e triangoli
1) Triangolo rettangolo
Considerando un triangolo rettangolo qualsiasi, si ha:
DA
DA = DO $ sen e sen = DO
t cateto = ipotenusa $ sen angolo opposto al cateto
AO
OA = DO $ cos e cos = DO
t cateto = ipotenusa $ cos angolo adiacente al cateto
DA
DA = OA $ tg e tg = OA t cateto = cateto $ tg angolo opposto al cateto
2) Triangolo qualsiasi
A) Area
A=
Cioè, scritto a parole:
B) Teorema di Carnot
Cioè, scritto a parole:
1
2
$ OA $ DO $ sen
A = (lato $ lato) $ (seno angolo compreso)
2
2
2
AC = CB + AB − 2 $ CB $ AB $ cos()
a 2 = b 2 + c 2 − 2 $ b $ c $ cos(angolo compreso tra b e c)
C) Triangolo inscritto in una circonferenza
Detto r il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo, si ha che:
CB
AC
AB
sen = sen = sen = 2r
Cioè, a parole:
AB
=diametro della circonferenza circoscritta al triangolo
seno dell’angolo opposto
D) Corda
Data la circonferenza del disegno, si ha che:
2r =
Cioè, a parole:
diametro =
AB
^
sen(ACB)
corda
sen(angolo al centro)