Iperbole equilatera traslata ( ) ( ) ( ) ( )

Iperbole equilatera traslata
ax + b
dove i coefficienti a, b, c, d sono costanti assegnate e
cx + d
con c ≠ 0 rappresenta un’iperbole equilatera traslata avente:
La curva di equazione y =
 d a
1. come centro di simmetria il punto O′  − ; 
 c c
d
a
2. come asintoti le rette x = − e y =
c
c
 d a
Dimostrazione: basta operare una traslazione di assi che porti l’origine O in O′  − ;  e
 c c
ax + b
l’equazione y =
diventa del tipo XY = k .
cx + d
 d a
In questo caso le formule di traslazione che portano O in O′  − ;  sono:
 c c
d

 x = X − c

y = Y + a

c
Esempio: la curva di equazione y =
a=2
ha come coefficienti:
2x −1
−x +1
b = −1
c = −1 ( quindi c ≠ 0 )
d =1
Il centro di simmetria è:
 d a
O′  − ;  = (1; −2 )
 c c
Gli asintoti sono le rette x = −
d
=1 e
c
a
= −2
c
Per una migliore realizzazione del disegno è
opportuno trovare anche le intersezioni con
1 
gli assi cartesiani A  ; 0  e B = ( 0; −1)
2 
y=
Per dimostrazione operiamo una traslazione di assi che porti l’origine O in
 d a
O′  − ;  = (1; −2 )
 c c
d

x
=
X
−
= X +1

2( X + 1) − 1
c
si ha: Y − 2 =
da cui: − X (Y − 2) = 2 X + 1 e
le formule di traslazione sono: 
a
−
(
X
+
1)
+
1
y = Y + = Y − 2

c
1
infine: Y = −
che è proprio l’equazione di un’iperbole equilatera riferita agli asintoti nel piano XY
X