1 - Marco Riani

STATISTICA A – K
(63 ore)
Marco Riani
[email protected]
http://www.riani.it
Esercizi
•
•
•
•
•
•
•
•
Dati i tre insiemi
A={x: 0≤x ≤4}
B={x: 3≤x ≤10}
C={x: -1≤x ≤3}
Si determinino gli eventi
AUBUC
A∩B∩C
A ∩ B ∩ Cc
1
Soluzione
• A={x: 0≤x ≤4}
• B={x: 3≤x ≤10}
• C={x: -1≤x ≤3}
• A U B U C={x: -1≤x ≤10}
• A ∩ B ∩ C={x: x =3}
• A ∩ B ∩ Cc={x: 3<x ≤4}
Generalizzazione di intersezione ed unione ad una
collezione numerabile di insiemi o ad un numero
numerabilmente infinito di insiemi (p. 148)
• Es. Intersezione
2
A1
[1
A2
A3
[1/2
5/2)
[1/3
Intersezione
A1
7/3)
[1 -------------- 7/3)
[1
A2
A3
3)
3)
[1/2
5/2)
[1/3
An [1/n
Intersezione
7/3)
……
2+1/n)
[1 -------- 2]
3
A1
[1
A2
A3
3)
[1/2
5/2)
[1/3
7/3)
Unione [1/3 ------------------------------------- 3)
A1
[1
A2
A3
3)
[1/2
5/2)
[1/3
An [1/n
7/3)
……
2+1/n
Unione (0 ----------------------------------------- 3)
4
Esercizio
• Dati due eventi A e B dello spazio
campionario Ω. Si sappia che P(Ac)=0,3
P(B)=0,4 e P(A ∩ Bc)=0,5 si determinino le
probabilità
• P(A) ?
P(A)=1-p(Ac)=1-0,3=0,7
• P(A ∩ B)?
• P(A U B)?
P(A ∩ Bc)=0,5 P(A)=0,7 noti
Obiettivo P(A ∩ B)?
• Che cos’è P(A ∩ Bc)?
Ω
A
B
• P(A ∩ Bc)=P(A)-P(A ∩ B)
• P(A ∩ B)=P(A)-P(A ∩ Bc)=0,7-0,5=0,2
5
P(A U B)?
• P(A U B)=P(A) +P(B) -P(A ∩ B)
• P(A)=0,7
P(B)=0,4 P(A ∩ B)=0,2
• P(A U B)=0,7+0,4-0,2=0,9
Esempi
• Lancio di una moneta 3 volte
• Spazio degli eventi?
• Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC, CCC}
• Probabilità degli eventi:
– A=“Croce nel primo lancio”
– B=“Almeno due volte testa”
– C =A U B = “Croce nel primo lancio o almeno
due volte testa”
6
Probabilità dell’evento
A=“Croce nel primo lancio”
• Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC, CCC}
• P(A) = 4/8=0,5
Probabilità dell’evento
B=“Almeno due volte testa”
• Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC, CCC}
• P(B) = 4/8=0,5
7
Probabilità dell’evento
C=“A Croce nel primo lancio o
B almeno due volte testa”
• Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC, CCC}
• P(C) =P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• P(A)=0.5
P(B)=0.5
• P(A ∩ B)=1/8
• P(C)=7/8
Esercizio
• Calcolare la probabilità che l’esito del secondo
lancio sia un numero doppio dell’esito del primo
lancio
• Casi favorevoli coppie: (1,2) (2,4) (3,6)
• Casi possibili 36
• Prob(esito del secondo lancio sia un numero
doppio dell’esito del primo lancio)= 3/36
8
Soluzione
Probabilità che l’esito del secondo lancio sia un
numero doppio dell’esito del primo lancio
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Ω
• Casi
favorevoli=3
• Casi
possibili =36
• Prob
richiesta =
1/12
Esempio
• Titolari di patente classificati per sesso e
per l’obbligo di portare le lenti
Sesso\lenti S
N
Tot.
M
0,2
0,4
0,6
F
0,1
0,3
0,4
Tot
0,3
0,7
1
• Prob. degli eventi
• P(M ∩ N)? P(M U N)
9
Esempio
• Titolari di patente classificati per sesso e
per l’obbligo di portare le lenti
Sesso\lenti S
N
Tot.
M
0,2
0,4
0,6
F
0,1
0,3
0,4
Tot
0,3
0,7
1
• P(M ∩ N)=0,4
Esempio
• Titolari di patente classificati per sesso e
per l’obbligo di portare le lenti
Sesso\lenti S
N
Tot.
M
0,2
0,4
0,6
F
0,1
0,3
0,4
Tot
0,3
0,7
1
P(M U N)= P(M)+P(N)-P(M ∩ N)=
0,6+0,7-0,4=0,9
10
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Si estrae una sola carta. Qual è la
probabilità di estrarre una carta di quadri
oppure un re?
Soluzione
• Pr(carta di quadra U un re)=
Pr (carta di quadri)
+Pr(re)
-P(carta di quadri ∩ un re)
• 13/52+4/52-1/52=16/52=0,31
11
Eserciziario p. 153
• Premessa: a volte elencare tuttti i possibili
risultati di un esperimento diventa
proibitivo se non impossibile
• Regole di enumerazione (combinazioni,
disposizioni, permutazioni …)
Targhe italiane: 2 lettere, 3 cifre,
2 lettere
• Quante sono le diverse targhe possibili?
• Quanto sono le targhe possibili se
nessuna cifra e nessuna lettera può
essere ripetuta?
• Ip. Alfabeto da 21 lettere
12
Targhe italiane: 2 lettere, 3 cifre,
2 lettere
• Quante sono le diverse targhe possibili?
(cifre e lettere possono ripetersi)
• Ip. Alfabeto da 21 lettere
• 21 × 21 × 10 × 10 × 10 × 21 × 21 =
194 481 000
Targhe italiane: 2 lettere, 3 cifre,
2 lettere
• quante sono le diverse targhe possibili?
(cifre e lettere non possono ripetersi)
• Ip. Alfabeto da 21 lettere
• 21 × 20 × 10 × 9 × 8 × 19 × 18 =
103 420 800
13
Esempio: superenalotto
• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,
40, 90}
• Prob di fare 6?
Esempio: superenalotto
• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,
40, 90}
• Prob di fare 6?
• Casi favorevoli =1
• Casi possibili = Combinazioni di 90
elementi di classe 6 = C90,6
• C90,6=90*89*88*87*86*85/(6*5*4*3*2*1)=
• C90,6=90!/(6! 84!)= 622.614.630
14
Esempio: superenalotto
• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,
40, 90}
• Prob di fare 6?
• Ei= indovino il numero i-esimo della
combinazione
• P(E1)=6/90 P(E2)=5/89 P(E3)=4/88 …
• (6 5 4 3 2 1 ) /(90 89 88 87 86 85)
• = 1 / 622.614.630
Esercizio
• Un docente di statistica ha distribuito un
elenco di 20 domande da cui sceglierà a
caso quattro domande per l’esame finale.
Avendo poco tempo lo studente x prepara
solo 4 domande. Qual è la probabilità che
proprio queste costituiscano la prova di
esame
15
Soluzione
• Casi favorevoli = 1
• Casi possibili C20,4=4845
• Pr = 1/4845=0,00021
Poker
• Mazzo da 52 carte
• L’ordine non è importante
• Numero mani possibili?
16
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Estraendo 5 carte a caso, qual è la
probabilità di avere due carte di quadri,
due di cuori e una di fiori?
Soluzione
• Casi favorevoli due carte di quadri=C13,2
• Casi favorevoli due carte di cuori=C13,2
• Casi favorevoli una carta di fiori=C13,1=13
• Casi possibili =C52,5
• Pr richiesta = C13,2 × C13,2 × 13 / C52,5
=79092/2598960=0,03
17
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Si estrae una sola carta. Qual è la
probabilità di estrarre una carta di quadri
oppure una carta rossa?
Soluzione
• Pr (carta di quadri U carta rossa) =
Pr (carta di quadri)
+Pr(carta rossa)
-P(carta di quadri ∩ carta rossa)=
13/52+26/52-13/52=26/52=1/2
18
Pr. Mani del poker
v. eserciziario
Esercizio
• Un dado viene lanciato 2 volte. Si calcoli
la probabilità che l’esito del primo lancio sia 5,
se la somma dei punteggi è 7
19
Soluzione (senza usare la
regola della prob. condizionata)
• Probabilità che l’esito del primo lancio sia 5, se
la somma dei punteggi è 7
•
•
•
•
•
Spazio degli eventi
Ω:{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
Casi possibili = 6
Casi favorevoli =1
Prob richiesta =1/6
Soluzione (usando la regola
della prob. condizionata)
• Probabilità che l’esito del primo lancio sia 5, se la
somma dei punteggi è 7
•
•
•
•
•
•
•
A= esito del primo lancio sia 5
B = somma dei punteggi è 7 Ob. P(A|B)?
P(A|B)=P(A ∩ B) /P(B)
B:{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
P(B)= 1/6
P(A ∩ B) =1/36
P(A|B) = 1/36 / 1/6 = 1/6
20
Esempio
• Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due
dei quali contengono un buono per un
nuovo boero. Probabilità di mangiare 3
boeri comprandone uno solo?
• A=“Il primo boero contiene il buono”
• B=“Il secondo boero contiene il buono”
• P(A ∩ B)=“entrambi i boeri contengono il
buono”
Esempio
• Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due
dei quali contengono un buono per un
nuovo boero. Probabilità di mangiare 3
boeri comprandone uno solo?
• A=“Il primo boero contiene il buono”
• B|A=“Il secondo boero contiene il buono dato
che il primo buono è già stato estratto”
• P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)= (2/30) (1/29)=0,0023
21
Legge della probabilità totale (p. 167)
Proprietà distributiva
•
B=B∩Ω=
22
Assioma dell’additività per eventi
incompatibili P(AUB)=P(A)+P(B)
Legge della probabilità
condizionata
23
Esempio totocalcio
• Gioco la schedina mettendo a caso i segni
1
X
2
• Qual è la prob. di fare 14?
Esempio
• Gioco la schedina mettendo a caso i segni (1
X 2). Qual è la prob. di fare 14?
• Ei= indovino il segno della partita
i=1, 2, …, 14
• P(Ei)= 1/3
• Prob. di fare 14=P(E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ … ∩ E14)=
P(E1) × P(E2) × P(E3) × … × P(E14)=(1/3)14
= 2,09075E-07 =1/4.782.969
24
Esercizio
• Dati due eventi incompatibili A e B tali che
P(A) =0,35 e P(B)=0,40 si trovino le
seguenti probabilità
• P(Ac)
• P(A ∩ B )
• P(A U B)
• P(Ac U Bc)
• P(Ac ∩ Bc)
Soluzione
•
•
•
•
•
P(Ac)=1-0,35=0,65
P(A ∩ B ) = 0
P(A U B) = 0,35+0,4 =0,75
P(Ac U Bc) =1-P(A ∩ B )=1
P(Ac ∩ Bc)=1- P(A U B) = 0,25
25
Esercizio
• Per i due eventi A e B sono note le
probabilità P(A)=0,48 P(B)=0,39
P(A ∩ B )=0,18 si determinino le
probabilità nella tabella che segue
A
Ac
B
Bc
• E si calcolino P(A ∩ Bc ) e P(Ac ∩ Bc )
Esercizio
• Per i due eventi A e B sono note le
probabilità P(A)=0,48 P(B)=0,39
P(A ∩ B )=0,18 si determinino le
probabilità nella tabella che segue
A
Ac
B
0,18
0,21
0,39
Bc
0,30
0,31
0,61
0,48
0,52
1
• P(A ∩ Bc )=0,3 e P(Ac ∩ Bc )=0,31
26
Esercizio
• Si calcoli la probabilità di ottenere un 2
almeno una volta in tre lanci consecutivi di
un dado.
Soluzione
• Pr (un due almeno una volta in tre
lanci)=1-Pr(nessun due in tre lanci)
• Pr(nessun due in tre lanci)= (5/6)3
• Pr (un due almeno una volta in tre
lanci)=1- (5/6)3=0,42
27
Esercizio
• Delle 80 confezioni di yogurt esposte nel
bancone di un supermercato,
10 scadono fra una settimana,
50 fra due settimane
e le restanti 20 fra tre settimane.
Si calcoli la probabilità che su 5 confezioni
scelte a caso due scadano tra una
settimana, due scadano fra due settimane
e una fra tre settimane
Soluzione
10
1sett
50
2sett
20
3sett
• Casi favorevoli due che scadono tra una
settimana =C10,2
• Casi favorevoli due che scadono tra due
settimane= C50,2
• Casi favorevoli 1 che scade tra 3
settimane= C20,1
• Casi possibili =C80,5
• Pr richiesta = C10,2 × C50,2 × C20,1 / C80,5
=0,0459
28
Esercizio
• Si calcoli la probabilità che estraendo a
sorte due carte da un mazzo di 40
appaiano 2 assi.
– Nel caso che la prima sia reinserita nel mazzo
prima dell’estrazione della seconda
– Nel caso che la prima non sia reinserita nel
mazzo prima dell’estrazione della seconda
Soluzione
• Nel caso che la prima sia reinserita nel mazzo
prima dell’estrazione della seconda
• A = asso prima estrazione
• B = asso seconda estrazione
• P( A ∩ B) = P(A) P(B)
• Pr richiesta = 0.1*0.1 =0.01
29
Soluzione
• Nel caso che la prima non sia reinserita nel
mazzo prima dell’estrazione della seconda
• A = asso prima estrazione
• B = asso seconda estrazione
• P( A ∩ B) = P(A) P(B|A)
• (4/40) (3/39) = 0,0077
• Oppure
• Casi favorevoli due assi =C4,2
• Casi possibili =C40,2
• Pr richiesta = C4,2 × C36,0 / C 40,2 =0,0077
Esercizio
• Si dimostri che se due eventi A e B sono
indipendenti, allora A e l’evento
complementare di B (Bc) sono indipendenti
30
Esercizio
• Si dimostri che se due eventi A e B sono
indipendenti, allora A e l’evento
complementare di B (Bc) sono indipendenti
Soluzione
• Ip A e B indipendenti ossia P(A∩B)=P(A)P(B)
• Obiettivo: dimostrare che A e Bc indipendenti
ossia che P(A∩Bc)= P(A)P(Bc)
P(A ∩ Bc)=P(A)- P(A∩B)
=P(A)- P(A)P(B)
=P(A)(1-P(B))
Ω
=P(A)P(Bc)
A
B
31
Esercizio
• Un dado viene lanciato 2 volte. Si indichi
con A l’evento “al primo lancio esce un
numero minore o uguale a 2” e con B
l’evento “al secondo lancio esce un
numero uguale o superiore a 5”. Calcolare
la probabilità dell’evento unione di A e B.
P(A U B)?
A l’evento “al primo lancio esce un numero ≤2” è
costituito dai seguenti 12 eventi elementari
A  (11
, ),(1,2),(1,3),(1,4),(15
, ),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
B l’evento “al secondo lancio esce un numero ≥5
è costituito dai seguenti 12 eventi elementari
B  (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)
P( A)  P( B) 
12
.
36
P( A  B)  P((1,5), (2,5), (1,6), (2,6)) 
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) 
4
36
12 12
4


.
36 36 36
32
Esercizio
• Si hanno tre scatole che contengono: la
prima, 2 banconote da €100; la seconda, 1
banconota da €100 e 1 da € 50, la terza, 2
banconote da €50. Si scelga a caso una
delle tre scatole (tra loro equiprobabili) e si
estragga una banconota. Risulta estratta
una banconota da €100; qual è la
probabilità che la scatola dalla quale è
stata estratta sia la prima?
Soluzione
• C = evento che indica l’estrazione di una
banconota da € 100
• Si = estrazione dalla scatola i (i=1, 2, 3)
• P(Si)=1/3
Obiettivo: calcolare P(S1|C)
Scatola 1
100
100
Scatola 2
Scatola 3
100
50
50
50
1
1
P( S1 ) P(C | S1 )
2
3
P( S1 | C ) 


P( S1 ) P(C | S1 )  P( S2 ) P(C | S2 )  P( S3 ) P(C | S3 ) 1  1  1  1  1  0 3
3
3 2 3
33
Esercizio
• Si considerino 3 urne, numerate da 1 a 3;
ogni urna contiene 5 palline. La generica
urna i contiene i palline bianche e (5-i)
palline nere, con i=1,2,3 (cioè, ad
esempio, l’urna numero 2 contiene 2
palline bianche e 5-2=3 palline nere). Si
estrae a caso un’urna, e da questa una
pallina. Calcolare la probabilità che la
pallina estratta sia bianca.
Soluzione
• B = evento che indica l’estrazione di una
pallina bianca
• Ui = estrazione dall’urna i (i=1, 2, 3)
• P(Ui)=1/3 Obiettivo: calcolare P(B)
Urna 1
B
NNNN
Urna 2
Urna 3
BB
NNN
BBB
NN
1 1 1 2 1 3 2
P( B)  P(U1) P( B | U1)  P(U 2) P( B | U 2)  P(U 3) P( B | U 3)       
3 5 3 5 3 5 5
34
Le variabili aleatorie
Capitolo 6 ESERCIZIARIO
Esempio
• 3 lanci di una moneta
• X= v.a. numero di uscite “testa” (prima
dell’esperimento)
• Quali valori assume?
• 0123
• Qual è la distribuzione di probabilità della
v.a. X?
35
ESEMPIO
Lancio di una moneta 3 volte. Indichiamo con E l’evento numero
totale delle teste:
E1 = CCC
E2 = CCT
E3 = CTC
E4 = CTT
E5= TCC
E6= TCT
E7= TTC
E8 = TTT
Valori di E
0
Probabilità
1
3/8
2
3/8
3
1/8
Totale
1
1/8
Spazio degli
eventi
elementari
71
Es.: X= numero di uscite “testa”
Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC}
Distribuzione di probabilità della v.a. X
xi
pi
pi
0
1/8
0,125
0.4
0.3
1
3/8
0,375
2
3/8
0,375
0.1
3
1/8
0,125
0
0.2
0
1
1
2
3
1
36
Distribuzione di probabilità di
una v.a. discreta X
Valori Probabilità Funz. di ripartizione
xi
pi
P(X ≤ xi)
x1
p1
F(x1)=p1
x2
p2
F(x2)=p1+p2
…
…
…
xi
pi
F(xi)=p1+p2+…+pi
…
….
…
xk
pk
F(xk)=1
1
Es. v.c. associata al lancio di un dado
Valori Probabilità
xi
pi
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
• Calcolare
• Rappresentare
graficamente la
funzione di ripartizione
F(3,14)? F(-0,37)?
F(3,57)? F(6,5)?
• E(X)?
• VAR(X)?
1
37
Rappresentazione grafica di F(x)
F(x)
F(3,14)?
F(-0,37)?
F(3,57)?
F(6,5)?
x
Soluzione
•
•
•
•
F(3,14)=0,50
F(-0,37)=0
F(3,57)=0,50
F(6,5)=1
38
Es. v.c. associata al lancio di un dado
Valori Probabilità
xi
pi
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
• E(X)= 1×1/6 +
2×1/6+…6×1/6=21/6=
3,5
1
Es. v.c. associata al lancio di un dado
Valo
ri xi
1
2
3
4
5
6
Probabi
lità pi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1
39
Esercizio
• Punto 5 euro alla
roulette su un numero
X = “guadagno”  prima
del gioco è una v.a.
Distribuzione della v.c.
guadagno
Calcolare il valore atteso
e la varianza della v.c.
guadagno
Esempio
Distribuzione della v.c.
X = “guadagno”
xi
pi
-5
36/37
175
1/37
1
E(X) = -5(36/37) + 175(1/37) = -0,135 €
VAR(X) =[-5 – (-0,135)]2(36/37) + [175-(-0,135)]2
(1/37) = 852 €
(X) = 29,19 €
40
Es. v.c. continua (p. 198)
• Verificare che
– f(x)=2x se x ϵ [0 1]
– f(x)=0 altrimenti
è una funzione di densità
• Calcolare la funzione di ripartizione F(x)
• Disegnare la funzione di densità e la
funzione di ripartizione
• F(0,4)? Pr(X>0.5)? Pr(0,1 < X < 0,4)?
• Pr(X ≤ 0,7 U X>0,3)? E(X)? VAR(X)?
f(x)=2x se x ϵ [0 1]
Per verificare che è una densità
• 2x nell’intervallo [0 1] è sicuramente >=0
41
f(x)=2x se x ϵ [0 1]
Calcolo della funz di
ripartizione
Rappresentazione grafica
f(x) e F(x)
42
Calcolo delle prob. Richieste
F(x)=x2
•
•
•
•
•
•
F(0,4)=?
F(0,4)=0,16
Pr(X>0.5)?
Pr(X>0.5)=1-0,52=0,75
Pr(0,1<X<0,4)?
Pr(0,1<X<0,4) = F(0,4)-F(0,1)=0,42-0,12=0,15
Calcolo delle prob. Richieste
F(x)=x2
• Pr(X ≤ 0,7 U X>0,3)=
Pr(X ≤0,7)+Pr(X >0,3)-Pr((X ≤ 0,7) ∩ (X > 0,3))
= 0,72+(1-0,32)-Pr(0,3 ≤ X ≤0,7)
= 0.49 + 1 -0,09 -(0,49 -0,09) = 1.
43
Calcolo del valore atteso
Calcolo della varianza
• In alternativa utilizzando la formula
VAR(X)= E(X2)-[E(X)]2
44
Esercizio
• Esperimento aleatorio: lancio di due dadi.
• v.a. X= somma dei numeri che appaiono
nelle due facce
• Costruire
– lo spazio degli eventi
– la distribuzione di probabilità della v.a. X e
rappresentarla graficamente
– la funzione di ripartizione
– E(X)? Moda? VAR(X)?
Esempio 1
Lancio di due dadi.
X è la somma dei numeri che appaiono nelle due
facce
X
P(X)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2
1/36
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3
2/36
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4
3/36
5
4/36
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
6
5/36
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
7
6/36
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Ω
8
9
10
11
12
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
90
45
Esempio 1
X = somma dei risultati nel lancio di 2 dadi
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(X)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
F(X)
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
1
91
Rappresentazione grafica f(x)
46
E(X)? VAR(X)? Moda?
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(X)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
F(X)
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
1
E(X)= 2×1/36 +
3×2/36+…+12×1/36=7
VAR(X)= E(X2)-[E(X)]2
VAR(X)= 54,83-72= 5,83
VAR(X)=(2-7)2(1/36)+(3-7)2(2/36)
+…+(12-7)2(1/36)=5,83
Moda(X)=7
ESERCIZIO: v.a. Binomiale
Si ritiene che una certa terapia medica
abbia effetti positivi con probabilità 0,3. La
terapia è somministrata a 20 pazienti (con
le stesse caratteristiche).
i) Prob. che la terapia abbia successo su
3 pazienti?
ii) Si scriva l’espressione della probabilità
che la terapia dia effetti positivi per
almeno 3 pazienti.
iii) Si dica per quanti pazienti ci si può
attendere che la terapia dia effetti
positivi.
47
Soluzione
 = 0,3
n = 20
XB(20; 0,3)
 20  3 203
 0,3 0,7
3
Pr(X=3)=
Soluzione
i)  = 0,3
n = 20
XB(20; 0,3)
 20  s 20 s
=   0,3 0,7
s 3  s 
20
Pr (X3)
96
48
Soluzione
i)  = 0,3
n = 20
XB(20; 0,3)
 20  s 20 s
=   0,3 0,7
s 3  s 
20
Pr (X3)
ii)E(X) = n  = 200,3 = 6
97
Esempio v.a. Normale
Lunghezza dei pezzi prodotti da una
macchina:  = 200 mm;  = 0,6 mm
XN(200; 0,62)
Limiti di tolleranza: (199; 200,8]
Calcolo della percentuale di pezzi scartati
P(X<199)? P(X>200,8)?
199
200
200,8
49
XN(200; 0,62)
• Z=(X-200)/0,6 ~N(0,1)
199
200
• Pr(X<199)=Pr((X-200)/0,6<(199-200)/0,6)
=Pr(Z <(199-200)/0,6)
=Pr(Z < -1,67)
= 0,04746  4,75% circa di
pezzi scartati perché inferiori alla
tolleranza
199
-1,67
200
200,8
0
1,33
z
• Pr (X > 200,8)
• Pr (Z>(200,8-200)/0,6)
F(z) = F(1,33) = 0,90824
1 – F(1,33) = 0,09176  9,18% circa
• Pezzi rifiutati: 0,04746+0,09176 = 0,13922 (13,9%)
• Pezzi accettati: F(1,33) – F(-1,67)=
= 0,90824 – 0,04746 = 0,86078  86,1%
50
Esercizi da svolgere per
LUN 8 aprile
Esercizio
• Dimostrare che
• f(x)=2(x-10)/50 se 10<x<15
• f(x)=2(20-x)/50 se 15<x<20
è una densità
• Rappresentare graficamente la funzione di
densità e di ripartizione
51
Calcolare
– Pr(X>12)
– Pr(X<10)
– Pr(X<11)
– Pr(14 < X < 18)
– E(X)?
– VAR(X)?
– Calcolare il quantile x0,95 ossia la coordinata x
che lascia alla sua destra una probabilità pari
a 0,05 e a sinistra una probabilità pari a 0,95
ESERCIZIO 2
• Un’azienda che assembla computer rileva difetti
di assemblaggio nel 20% dei casi. Con
riferimento ad un campione di 30 computer:
• si descrivano le caratteristiche delle variabili
aleatorie “numero di difetti” e “frequenza relativa
di difetti”;
• si scriva l’espressione (senza effettuare i calcoli)
che consente di determinare la probabilità che
nel campione vi sia un numero di pezzi difettosi
maggiore di 2 e un numero di pezzi difettosi
compreso fra 2 e 5.
104
52
Esempio 2
• Peso netto (in grammi) delle scatole di
un prodotto: XN(797; 16)
• Calcolo della percentuale di scatole
con peso nell’intervallo 790 – 800
• Calcolo del primo decile
Esempio
Durata di accensione di lampade di un
certo tipo: XN(; 2).
Il 10% delle lampade dura meno di 700
ore
Il 4% delle lampade ha una durata
superiore a 800 ore.
• Calcolo di media e varianza (?; 2?)
53