08/03/2012
Esercizi sul calcolo delle
probabilità
Svolti
e da svolgere (per MAR 13 marzo)
Esercizio
• Dati due eventi A e B dello spazio
campionario Ω. Si sappia che P(Ac)=0,3
P(B)=0,4 e P(A ∩ Bc)=0,5 si determinino le
probabilità
• P(A) ?
P(A)=1-p(Ac)=1-0,3=0,7
• P(A ∩ B)?
• P(A U B)?
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P(A ∩ Bc)=0,5 P(A)=0,7 noti
Obiettivo P(A ∩ B)?
• Che cos’è P(A ∩ Bc)?
Ω
A
B
• P(A ∩ Bc)=P(A)-P(A ∩ B)
• P(A ∩ B)=P(A)-P(A ∩ Bc)=0,7-0,5=0,2
Esempio: superenalotto
• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,
40, 90}
• Prob di fare 6?
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Esempio: superenalotto
• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,
40, 90}
• Prob di fare 6?
• Casi favorevoli =1
• Casi possibili = Combinazioni di 90
elementi di classe 6 = C90,6
• C90,6=90*89*88*87*86*85/(6*5*4*3*2*1)=
• C90,6=90!/(6! 84!)= 622.614.630
Esercizio
• Un docente di statistica ha distribuito un
elenco di 20 domande da cui sceglierà a
caso quattro domande per l’esame finale.
Avendo poco tempo lo studente x prepara
solo 4 domande. Qual è la probabilità che
proprio queste costituiscano la prova di
esame
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Soluzione
• Casi favorevoli = 1
• Casi possibili C20,4=4845
• Pr = 1/4845=0,00021
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Si estrae una sola carta. Qual è la
probabilità di estrarre una carta di quadri
oppure una carta rossa?
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Soluzione
• Pr (carta di quadri U carta rossa) =
Pr (carta di quadri)
+Pr(carta rossa)
-P(carta di quadri ∩ carta rossa)=
13/52+26/52-13/52=26/52=1/2
Esercizio
• Da un mazzo di 52 carte da poker se ne
estraggono a sorte 5.
• Si determini la probabilità che delle 5 carte
3 siano assi
5
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Soluzione
• Casi favorevoli tre assi
C4,3
• Casi favorevoli due altre carte qualsiasi
C48,2
• Casi possibili =C52,5
• Pr richiesta = C4,3 × C48,2 / C52,5 =0,0017
Esercizio
• Un dado viene lanciato 2 volte. Si calcoli
– La probabilità che l’esito del primo lancio sia
5, se la somma dei punteggi è 7
– La probabilità che l’esito del secondo lancio
sia un numero doppio dell’esito del primo
lancio
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Soluzione (senza usare la
regola della prob. condizionata)
• Probabilità che l’esito del primo lancio sia 5, se
la somma dei punteggi è 7
•
•
•
•
•
Spazio degli eventi
Ω:{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
Casi possibili = 6
Casi favorevoli =1
Prob richiesta =1/6
Soluzione (usando la regola
della prob. condizionata)
• Probabilità che l’esito del primo lancio sia 5, se la
somma dei punteggi è 7
•
•
•
•
•
•
•
•
A= esito del primo lancio sia 5
B = somma dei punteggi è 7 Ob. P(A|B)?
P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)
B:{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
P(B)= 1/6
P(A)= 1/6
P(B|A)=1/6
P(A|B) = 1/6 × 1/6 / 1/6 = 1/6
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Esercizio 5.45
• Un’urna contiene 15 palline bianche e 8 nere.
Calcolare
• Probabilità di estrarre una pallina bianca alla prima
estrazione (evento A)?
• Probabilità in due estrazioni senza ripetizione di
estrarre una pallina bianca nella seconda estrazione
(evento B) dato che nella prima estrazione è stata
estratta una pallina bianca (evento A)?
• Probabilità di estrarre in entrambe le estrazioni una
pallina bianca
Soluzione
15Bianche
8Nere
• Formalizzazione
• A=estrazione pallina bianca prima estraz
• P(B|A)= estrazione pallina bianca seconda
estr. data prima estraz bianca?
• P(A)=15/23
• P(B|A)= 14/22
• P(A ∩ B) =P(B|A) P(A)=(14/22)*(15/23)
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Soluzione
Probabilità che l’esito del secondo lancio sia un
numero doppio dell’esito del primo lancio
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Ω
• Casi
favorevoli=3
• Casi
possibili =36
• Prob
richiesta =
1/12
Esempio
• Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due
dei quali contengono un buono per un
nuovo boero. Probabilità di mangiare 3
boeri comprandone uno solo?
• A=“Il primo boero contiene il buono”
• B=“Il secondo boero contiene il buono”
• P(A ∩ B)=“entrambi i boeri contengono il
buono”
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Esempio
• Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due
dei quali contengono un buono per un
nuovo boero. Probabilità di mangiare 3
boeri comprandone uno solo?
• A=“Il primo boero contiene il buono”
• B|A=“Il secondo boero contiene il buono dato
che il primo buono è già stato estratto”
• P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)= (2/30) (1/29)=0,0023
Esercizi da svolgere
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Esempio totocalcio
• Gioco la schedina mettendo a caso i segni
1
X
2
• Qual è la prob. di fare 14?
Esercizio
• Dati due eventi incompatibili A e B tali che
P(A) =0,35 e P(B)=0,40 si trovino le
seguenti probabilità
• P(Ac)
• P(A ∩ B )
• P(A U B)
• P(Ac U Bc)
• P(Ac ∩ Bc)
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Esercizio
• Per i due eventi A e B sono note le
probabilità P(A)=0,48 P(B)=0,39
P(A ∩ B )=0,18 si determinino le
probabilità nella tabella che segue
A
Ac
B
Bc
• E si calcolino P(A ∩ Bc ) e P(Ac ∩ Bc )
Esercizio
• Si calcoli la probabilità di ottenere un 2
almeno una volta in tre lanci consecutivi di
un dado.
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Esercizio
• Delle 80 confezioni di yogurt esposte nel
bancone di un supermercato,
10 scadono fra una settimana,
50 fra due settimane
e le restanti 20 fra tre settimane.
Si calcoli la probabilità che su 5 confezioni
scelte a caso due scadano tra una
settimana, due scadano fra due settimane
e una fra tre settimane
Esercizio
• Si calcoli la probabilità che estraendo a
sorte due carte da un mazzo di 40
appaiano 2 assi.
– Nel caso che la prima sia reinserita nel mazzo
prima dell’estrazione della seconda
– Nel caso che la prima non sia reinserita nel
mazzo prima dell’estrazione della seconda
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Esercizio
• Si dimostri che se due eventi A e B sono
indipendenti, allora A e l’evento
complementare di B (Bc) sono indipendenti
Esercizio
• Un dado viene lanciato 2 volte. Si indichi
con A l’evento “al primo lancio esce un
numero minore o uguale a 2” e con B
l’evento “al secondo lancio esce un
numero uguale o superiore a 5”. Calcolare
la probabilità dell’evento unione di A e B.
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Esercizio
• Si hanno tre scatole che contengono: la
prima, 2 banconote da €100; la seconda, 1
banconota da € 100 e 1 da € 50; la terza,
2 banconote da € 50. Si scelga a caso una
delle tre scatole (tra loro equiprobabili) e si
estragga una banconota. Risulta estratta
una banconota da €100; qual è la
probabilità che la scatola dalla quale è
stata estratta sia la prima?
Esercizio
• Si considerino 3 urne, numerate da 1 a 3;
ogni urna contiene 5 palline. La generica
urna i contiene i palline bianche e (5-i)
palline nere, con i=1,2,3 (cioè, ad
esempio, l’urna numero 2 contiene 2
palline bianche e 5-2=3 palline nere). Si
estrae a caso un’urna, e da questa una
pallina. Calcolare la probabilità che la
pallina estratta sia bianca.
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